聚焦折紙思維，探尋數(shù)學(xué)之美

折紙作為一種傳統(tǒng)手工藝，蘊(yùn)含著豐富的幾何變換原理，近年來(lái)逐漸成為數(shù)學(xué)教育中連接動(dòng)手操作與抽象思考的重要載體.中考幾何試題常以折疊問題為背景，考查學(xué)生對(duì)圖形對(duì)稱性、相似性及空間關(guān)系的綜合應(yīng)用能力.本文以南京市中考第16題為例，聚焦菱形紙片的折疊過(guò)程，體現(xiàn)“做中學(xué)”的理念，通過(guò)多種解法探究折痕與圖形屬性的內(nèi)在聯(lián)系.全文從試題解析出發(fā)，系統(tǒng)呈現(xiàn)五種解題路徑，結(jié)合課標(biāo)要求與教學(xué)實(shí)踐，為幾何教學(xué)與學(xué)習(xí)提供啟發(fā).

1試題呈現(xiàn)

例題 （南京中考第16題）如圖1，在菱形紙片ABCD中，點(diǎn) E 在邊 AB 上，將紙片沿 CE 折疊，點(diǎn) B 落在 B^′ 處， CB^′⊥AD ，垂足為 F ，若 CF=4cm，F(xiàn)B^′ =1cm ，則 BE=cm =

2解法探究

2.1 依據(jù)平行 + 角平分線，尋覓等腰三角形

解法1如圖2，延長(zhǎng) DA，CE 交于點(diǎn) G .根據(jù)題

中所給條件，易證 CD=5，DF=3 ，由 DG // BC ，

∠BCE=∠B^′CE ，可證 ∠G=∠B^′CE ，所以 GF=

FC ，繼而求出 GA=2 ，由 ∠G=∠BCE ， ∠GAE=

∠CBE ，可得 ΔGAE～ΔCBE ，因?yàn)?_GA=2，_BC=

5，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例 （204號(hào) ，求出 號(hào)

2.2 聯(lián)想角平分線模型，構(gòu)造相似三角形

解法2 如圖3，延長(zhǎng) B^′E 、CB交于點(diǎn) G ，易證（2 （204號(hào)

ΔB^′HFΔΔDCF ，可得 ，所以 B^′F= 0

易證 ΔB^′HF～ΔB^′GC ，可得 中

所以 （204號(hào) . 易證 ΔAHE～ （20

ΔBGE ，可得 所以 =

解法3 如圖3，由 ΔB^′HF～ΔDCF 和

ΔB^′HF?ΔB^′GC ，求出 0 ，利用

角平分線模型 解得 因?yàn)檎?img alt="" src="https://cimg.fx361.com/images/2025/0707/AvynXPX2NXECeLMWQ7dqB6.webp"/> （202

疊，所以：

2.3立足角平分線的性質(zhì)，添加輔助線

解法4如圖4，過(guò)點(diǎn) E 作 EG⊥BC，G 為垂足，

易證 ΔBGE～ΔDFC ，可得 ，設(shè) BG

=3x ，則 GE=4x ， BE=5x ，由 ∠BCB^′=90^° ，

∠BCE=∠B^′CE 可得 ΔGCE 為等腰直角三角形，

所以 GC=GE=4x .因?yàn)?BC=BG+GC=5 ，所以

4x+3x=5 ，解得 ，則 業(yè)

2.4以\"數(shù)”解\"形”，建立平面直角坐標(biāo)系

解法5 如圖5建立平面直角坐標(biāo)系，可得

，所以yAB=

，因?yàn)?∠BCB^′=90^° ∠BCE=

∠B^′CE ，可得 ∠BCE=45^° ，所以 y_CE=-x ，點(diǎn) E 是AB CE y_AB=y_CE

，可得 ，所以 ，計(jì)

算 BE 兩點(diǎn)之間的距離，可得 （204號(hào)·

3 試題評(píng)價(jià)

本題探究的是圖形的變換（包括圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱）等一系列問題，是近幾年中考的熱點(diǎn)問題.21年考點(diǎn)為平行四邊形的旋轉(zhuǎn)問題，今年是菱形的折疊問題，此類問題立意新穎，變化巧妙，凸顯素養(yǎng)，主要考查學(xué)生的探究能力，空間想象能力，抽象思維能力以及邏輯推理能力.作為整張?jiān)嚲淼奶羁諌狠S題，試題文字表述簡(jiǎn)潔，圖形簡(jiǎn)約熟悉，題目立意寓數(shù)學(xué)于折紙之中，讓學(xué)生在欣賞數(shù)學(xué)美的同時(shí)，體會(huì)憨拙中的靈巧、樸素中的華麗、簡(jiǎn)單中的豐富，簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單.

4 教學(xué)導(dǎo)向

發(fā)展核心素養(yǎng)的幾何學(xué)習(xí)，就是要展現(xiàn)出解題思維的全過(guò)程，盡可能探究各種解法并探尋本質(zhì)，從“一解”到\"多解”，再到“回顧”，系統(tǒng)思考并形成整體觀念[2].本題多樣化的構(gòu)圖方式能夠?qū)λ季S產(chǎn)生良好的啟發(fā)，作為菱形的折紙問題，在教學(xué)時(shí)可以動(dòng)手操作.如圖6所示，用動(dòng)態(tài)的眼光來(lái)看待折疊，如果折痕 CE 上的點(diǎn) E 由 B 運(yùn)動(dòng)向A，折疊的過(guò)程則是一個(gè)運(yùn)動(dòng)與變化的過(guò)程，此過(guò)程中圖形的某些結(jié)論會(huì)隨著圖形的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生改變，同樣的，圖形的不變性也會(huì)蘊(yùn)藏其中，例如 B^′ 的運(yùn)動(dòng)軌跡在以 C 為圓心， CB 為半徑的圓的一段弧上，而原題中 CB^′⊥ AD ，只是其中某個(gè)特殊的情況.從整體視角回顧、審視、探究，感受問題的走向，實(shí)現(xiàn)“做一題、會(huì)一類、通一片”的有效解題研究.

【本文系南京市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2024年度立項(xiàng)課題“基于超學(xué)科理論的數(shù)理融合課程校本實(shí)踐路徑研究\"（課題編號(hào)：L/2024/050）的階段性研究成果】