四兩撥千斤

轉(zhuǎn)化思想如同數(shù)學思維的“變形術”，能將復雜問題巧妙切換視角求解.本文結(jié)合初中階段轉(zhuǎn)化思想的具體要求，通過三個典型案例揭秘其神奇應用，提煉出“觀察聯(lián)想-策略選擇 驗證反思-易錯分析”的思維鏈條，為初中生打造打開數(shù)學解題奧秘之門的“萬能鑰匙”.

1 二次根式比大小

1. 1 平方消根法

例1 比較 與 的大小.

觀察聯(lián)想求差法和求商法在這個例子中不是很適用，通過觀察兩個式子中的被開方數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們的和相等，可以嘗試把兩個式子先平方，再比較大小.

策略選擇 因為 ，

又因為 ，

所以

驗證反思 兩個正的二次根式之和（差）比較（被開方數(shù)之和相等），可以同時平方，減少根號的個數(shù)，比較平方后的數(shù)值.

易錯分析 ① 正性優(yōu)先：正數(shù)表達式可以使用平方法； ② 完全平方：嚴格展開平方項，避免遺漏平方項.

1.2 有理化變形法

例2 比較 與 的大小.

觀察聯(lián)想用求差法、求商法和平方消根法在這個例子中顯然不適用，我們可以將分子分母分別乘以一個式子，把分母或分子中的根號去掉，轉(zhuǎn)化成分母或分子為有理數(shù)，再進行比較.

策略選擇

同理 1

又因為 ，

所以 中

所以

驗證反思把二次根式的分子或分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的過程叫有理化變形，我們常常通過這種等值變形進行轉(zhuǎn)化，再比較大小.

易錯分析 ① 嚴格符號管理：記錄每一步的符號變化，避免正負混淆； ② 精準選擇：確保分子或分母通過共軛乘法消除根號.

2 最短路徑

例3如圖1，在平面直角坐標系中，點 A 的坐標為（0，8），點 B 為 x 軸上的任意一點，連接 AB ，在線段 AB 的右側(cè)作等邊三角形 ABC ，連接 ，則OC 的最小值為

觀察聯(lián)想 在此問題中要注意不變的是坐標軸和點 A 的位置，變化的是隨著點 B 的移動而變化的點 c .如果能把兩個動點轉(zhuǎn)化成一個動點，就可以使問題簡單化.

策略選擇如圖2，把線段 AO ，以 A 為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn) 60^° 到 AO^′ ，連接 BO^′ ·

所以 ΔBAO^′?ΔCAO 所以 BO^′=OC ·

這樣就把兩個動點轉(zhuǎn)化成一個動點，把問題

OC 最短轉(zhuǎn)化成 x 軸外一點 ω^′ 到 x 軸的最短距離

（垂線段最短原理）.過點 ω^′ 作 O^′D⊥s 軸，垂足為 D ，在 RtΔO^′AD 中，因為 ∠OAO^′=60^° ，所以 ∠AO^′D=30^° ，所以 ，所以 OD=4 ，即 的最小值為4.

驗證反思利用旋轉(zhuǎn)變換的幾何性質(zhì)，將動點的復雜運動軌跡轉(zhuǎn)化為靜態(tài)或簡單路徑，使問題簡化為尋找固定點到直線的最短距離（垂線段最短原理）.

易錯分析 ① 旋轉(zhuǎn)方向混淆：需明確順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)，避免坐標符號錯誤； ② 忽略幾何約束：旋轉(zhuǎn)后需檢查動點軌跡是否仍滿足原問題條件.

3截長補短

例4如圖3，在等邊三角形ABC中，點 E 在AB 邊上，點 D 在 CB 的延長線上，且 DE=EC .若AB=12，AE=2 ，求 CD 的長.

觀察聯(lián)想在此問題中以現(xiàn)有圖形難以直接求出 CD 的長度.利用等邊三角形可知 BC=AB= 12，從而可將求 CD 的長轉(zhuǎn)化為求 BD 的長，可借助構(gòu)造輔助線，利用已知求未知.

策略選擇

如圖4，延長 EB 至 F ，使 BF=AE ，

所以 BF+BE=AE+BE ，

即 EF=AB=AC

因為 DE=EC ，

所以 ∠EDC=∠ECD

又因為 ∠DEF+∠EDC=∠ACE+∠ECD=60^° 所以 ∠DEF=∠ACE ，

所以 ΔDEF?ΔECA ，

所以 DF=AE=2 ，

所以 DF=BF ·

又因為 ∠DBF=∠ABC=60^°

所以 ΔBDF 為等邊三角形.

所以 DB=DF=2 ，

所以

驗證反思通過截取長線段或補足短線段構(gòu)造全等三角形，轉(zhuǎn)化邊角關系.適用于線段和差等問題，關鍵在輔助線位置選擇與圖形完整性保持，體現(xiàn)了幾何變換思想.

易錯分析 ① 隨意截補破壞圖形結(jié)構(gòu)，導致條件丟失； ② 忽略截補后新邊角關系，或未驗證全等條件，引發(fā)邏輯斷裂.需嚴格匹配原始條件與構(gòu)造條件.

4結(jié)語

總之，轉(zhuǎn)化思想通過“化未知為已知、化復雜為簡單”的策略，利用平方法和有理化法比較二次根式的大小，強化邏輯推理與運算能力；將幾何難題中的線段通過轉(zhuǎn)化求得未知長度，提升數(shù)學推理能力.這種思維遷移過程，不僅深化知識理解，更培養(yǎng)創(chuàng)新意識，契合新課標“用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”的培養(yǎng)素養(yǎng)目標，可以助力學生核心素養(yǎng)發(fā)展.

【本文系山東省齊魯名師建設工程（2022一2025）研修課題“基于雙減背景下的初中數(shù)學學生錯題資源開發(fā)和利用研究”研究成果】