從一道中考題談垂美四邊形的性質(zhì)

對四邊形的性質(zhì)進行研究是初中數(shù)學(xué)平面幾何中的重要內(nèi)容.教材重點研究的四邊形有平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形，它們都具有特殊的性質(zhì).而對角線互相垂直的四邊形也具有一些特殊性質(zhì)，但教材并未對其進行重點研究.2023年南通市中考數(shù)學(xué)題中出現(xiàn)了對角線互相垂直的四邊形，這引發(fā)我們深入探究這類特殊四邊形的性質(zhì).

1 試題呈現(xiàn)及解析

例題（2023年江蘇省南通市中考數(shù)學(xué)第18題）如圖1，四邊形ABCD的兩條對角線 AC，BD 互相垂直， .AC=4，BD=6 ，則 AD+BC 的最小值是

此題是2023年南通市中考數(shù)學(xué)填空題的最后一題，難度較大，涉及的知識點較多，且要根據(jù)題目信息靈活作出輔助線才能順利解答.考察的主要知識點有：直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、平行四邊形的判定、矩形的判定、勾股定理等平面幾何知識.

解析設(shè) AC，BD 的交點為 O，AB，BC，CD .DA的中點分別是 ，連接 PQ，QR，RS .PS，SQ，OS，OQ

因為 AC，BD 互相垂直，

所以 ΔAOD 和 ΔBOC 為直角三角形，且 AD ，BC分別為斜邊，

所以 AD=2OS，BC=2OQ ，所以 AD+BC=2（OS+OQ）

所以要使 AD+BC 最小，只需當 OS+OQ 最小即可.

又因為 OQ+OS?QS ，且當點 O 在線段QS上時， OQ+OS 最小，故問題轉(zhuǎn)化為求線段QS的長.

因為 P?Q 分別為 AB，BC 的中點，所以 PQ 是 ΔABC 的中位線，由中位線定理可知

類似地，分別在 ΔBCD，ΔACD，ΔABD 中應(yīng)用中位線定理可得QR// BD ， .

從而 PQ//AC//RS，QR//BD//SP A所以四邊形 PQRS 是平行四邊形.

又因為 AC⊥BD ，且 PQ//AC，SP//BD 所以 PQ⊥SP ，

所以平行四邊形 PQRS 是矩形.

在 RtΔPQS 中，根據(jù)勾股定理得

（2

所以 ，所以 AD+BC 的最小值為

2 涉及的幾何模型

以上問題的解決過程用到了如下常見的模型（稱為中點四邊形模型）.

模型1如圖3，在任意四邊形中取各邊中點，再依次連接各邊中點得到一個新的四邊形，則此四邊形是平行四邊形.

簡證如圖4，設(shè)四邊形ABCD各邊中點分別為 E，F(xiàn)，G，H .連接四邊形ABCD的對角線AC和BD ，根據(jù)三角形中位線定理可知 EF // _AC，GH， /AC ，所以 EF//GH .同理 ，所以四邊形EFGH是平行四邊形.

模型2如圖5，在對角線互相垂直的四邊形中取各邊中點，再依次連接各邊中點得到一個新的四邊形，則此四邊形是矩形.

簡證根據(jù)模型1的結(jié)論可知四邊形EFGH是平行四邊形，又由模型1的證明過程可知EF//AC，EH//BD ．根據(jù)條件有 AC⊥BD ，從而 EF⊥EH ，所以由矩形的判定定理可知四邊形EFGH是矩形.

3 垂美四邊形的性質(zhì)

試題1和模型2中的四邊形的對角線互相垂直，這樣的四邊形稱為垂美四邊形.將例1一般化，可以得到垂美四邊形的如下性質(zhì).

性質(zhì)1如圖1，已知四邊形ABCD的兩條對角線AC、BD互相垂直，設(shè) AC=a ， BD=b ，則 AD+ BC的最小值為

簡證如圖2，類似試題1的解答可知 AD+BC= a ，且三角形SPQ為直角三角形，其中SQ為斜邊，故

性質(zhì)2如圖1，已知四邊形ABCD 的兩條對角線 AC，BD 互相垂直，設(shè) AC=a 業(yè) BD=b ，則 ^AB+ CD 的最小值為

簡證證明方法與性質(zhì)1類似，不再贅述.

4結(jié)語

垂美四邊形作為一種特殊的四邊形，有其獨特的性質(zhì).通過對2023年南通市中考題的詳細分析及引申，我們對垂美四邊形有了更深人的認識和理解.同時，中點四邊形模型是探究垂美四邊形的有力工具.在平時的學(xué)習(xí)中，同學(xué)們要重點掌握一些常見的幾何模型，以便提高解題效率，

參考文獻：

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