初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題解題方法探究

在初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，二次函數(shù)占據(jù)關(guān)鍵地位，而二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題更是中考的重點(diǎn)與難點(diǎn).深入探究初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題的解題方法，對(duì)提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成效具有重要意義.

1 數(shù)形結(jié)合法

1. 1 方法概述

數(shù)形結(jié)合法是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形相結(jié)合，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化.在二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題中，利用函數(shù)圖象的直觀性，能夠清晰地展現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡和相關(guān)幾何圖形的變化情況，從而幫助學(xué)生找到解題思路，

1.2 實(shí)例分析

例1已知二次函數(shù) y=x²-2x-3， 點(diǎn) P 是該函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 (-2，0) ，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(4，O).求：當(dāng)△PAB的面積是6時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo).

其對(duì)稱軸為 ，令 y=0 即 x²-2x-3=0 ，可求得該函數(shù)與 x 軸的交點(diǎn)是(-1，0) 和(3，0).圖象如圖1所示.

然后確定底邊長(zhǎng)度和 P 點(diǎn)坐標(biāo)：設(shè) P 點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，ΔPAB 以 AB 為底邊， .AB=4-(-2)=6 ，三角形面積公式 ah(a為底，h 為高)，因?yàn)槿切蚊娣e為6，所以 ，解得 ∣y∣=2 ，故 y=2 ，或 y=-2 ：

解方程求 P 點(diǎn)坐標(biāo)，需要分情況討論：

當(dāng) y=2 時(shí)，解方程，可求得 ，得到 P 點(diǎn)坐標(biāo) 和

當(dāng) y=-2 時(shí)，解方程 x²-2x-3=-2 ，可求得 ，得到 P 點(diǎn)坐標(biāo) 和 ：

所以 P 點(diǎn)的坐標(biāo)有4個(gè)： （2

檢驗(yàn)解的合理性：依據(jù) P 點(diǎn)的4個(gè)坐標(biāo)分別求三角形的高，再代人三角形面積公式檢驗(yàn)，4個(gè)解均符合要求，因此 P 點(diǎn)可能有4個(gè)坐標(biāo)點(diǎn).

通過數(shù)形結(jié)合，將函數(shù)問題與幾何圖形面積問題相結(jié)合，使問題解決方法更加直觀、清晰.

2 分類討論法

2.1 方法概述

分類討論法是根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為不同種類，再分別求解的一種數(shù)學(xué)思想方法.

2.2 實(shí)例分析

解析 首先畫出函數(shù)的圖象：

例2在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)一 x²+

2x+3=0 的圖象與 x 軸交于 A，B 兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B 左側(cè))，與 軸交 C 點(diǎn).點(diǎn) P 是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) ΔPAC 的是以 AC 為腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo).

解析首先，求 A，B，C 三點(diǎn)坐標(biāo)：令 2x+3=0 ，可求得 x=-1 或 x=3 ，所以 A 點(diǎn)的坐標(biāo)為 (-1，0)，B 點(diǎn)為(3，0)，令 x=0 ，得 y=3 ，所以C 點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，3)，可求出函數(shù)的對(duì)稱軸為 x=1 即 P 點(diǎn)橫坐標(biāo)為1.

假設(shè) P 點(diǎn)坐標(biāo)是 (1，m) .因?yàn)?ΔPAC 是等腰三角形，所以需要分兩種情況討論：

情況1當(dāng) AC=AP 時(shí)，過 P 點(diǎn)作 PD⊥x 軸于 D 點(diǎn)，則 D(1，0) .在 RtΔAOC 中， OA=1，OC= 3，根據(jù)勾股定理可得 .在RtΔADP 中， AD=1-(-1)=2，PD=|m| .由勾股定理可知 AP²=AD²+PD² ，因?yàn)? ，所以 ，所以 ·

情況2當(dāng) AC=CP 時(shí)，過 P 點(diǎn)作 PD⊥y 軸于 E 點(diǎn)，則 E(0，m).OC=3 ， OE=|m| ， CE= ∣3-m∣，EP=1. 在 RtΔCEP 中，由勾股定理可知CP²=CE²+EP² ，因?yàn)? ，所以 ，所以 m=0 或6.

所以 P 點(diǎn)的坐標(biāo)為： (1，0)，(1，6) .經(jīng)檢驗(yàn)四個(gè)解均符合要求.

在本題求解中，通過分類討論，全面考慮了等腰三角形不同腰的情況，避免了漏解.

3建立函數(shù)模型法

3.1 方法概述

建立函數(shù)模型法就是將問題中的數(shù)量關(guān)系用函數(shù)表達(dá)式表示出來(lái)，建立函數(shù)模型，通過對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究來(lái)解決問題.

3.2 實(shí)例分析

例3在矩形ABCD中， AB=6 BC=8 ，點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā)，沿AB邊以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向 B 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn) Q 從點(diǎn) B 出發(fā)，沿 BC 邊以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向 c 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn) Q 到達(dá)點(diǎn) C 時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 Ψ_t 秒， ΔPBQ 的面積為 s .如圖3所示.

（1）求 s 與 Ψ_tΨ_Ψ 之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 Ψ_t 的取值范圍；

（2）當(dāng) Ψ_t 為何值時(shí)， ΔPBQ 的面積最大？最大值是多少？

解析在兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中， AP=t PB=6- t ，BQ=2t ：

（1）根據(jù)三角形面積公式， ，因?yàn)辄c(diǎn) Q 從 B 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C 點(diǎn)需要的時(shí)間為 8÷2=4 （秒)，所以 Ψ_t 的取值范圍是 0?t?4

（2）對(duì)于二次函數(shù) S=-t²+6t ，其二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，函數(shù)圖象開口向下，其對(duì)稱軸為 t= ，所以當(dāng) x=3 時(shí)， S 有最大值，其最大值為 -3²+6×3=9

本題通過建立函數(shù)模型，將幾何圖形中的面積問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值.

4利用相似三角形法

4. 1 方法概述

相似三角形在解決二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題中具有重要作用.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中出現(xiàn)可判定的相似三角形時(shí)，可利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，建立等式關(guān)系，從而求解.

4.2 實(shí)例分析

例4如圖4所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線 x-2的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn) A 在點(diǎn) B 左側(cè))，與 軸交 C 點(diǎn).點(diǎn) P 是拋物線上位于 x 軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) P 作 PD⊥ x 軸于 D 點(diǎn)，交直線 BC 于點(diǎn) E .當(dāng) ΔPEC 與ΔAOC 相似時(shí)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo).

解析首先容易求出 A，B，C 三點(diǎn)的坐標(biāo)， A 點(diǎn)坐標(biāo)是 (- 1，0)，B 點(diǎn)坐標(biāo)是 (4，0)，C 點(diǎn)坐標(biāo)是(0，-2) ·

設(shè)直線 BC 的解析式為 y=kx+b ，將 B，C 兩點(diǎn)坐標(biāo)值代入其中，可求出直線 BC 的解析式為 y= x-2，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x， 2x-2)，則點(diǎn)E 點(diǎn)坐標(biāo)是 .

因?yàn)?∠PEC=∠AOC=90^° ，所以當(dāng) x=5 與△AOC相似時(shí)，需要分兩種情況：

情況1 當(dāng) 時(shí)， AO=1，OC=2，PE= EC= x ·則 ，即 x²-5x=0 ，解得 x=0( 舍去)，或 x=5 ，當(dāng) x=5 時(shí)， 3，所以 P 點(diǎn)坐標(biāo)為(5，3).情況2 當(dāng) 時(shí)，則 ，即（20號(hào)（20 x²-4x=4x ， x²-8x=0 ，解得 x=0 （舍去）或 x= 8，當(dāng) x=8 時(shí)， ，所以 P 點(diǎn)坐標(biāo)為(8，18).

綜上，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(5，3）或(8，18).

總之，初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)提出了較高要求.教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)、注重思路引導(dǎo)、開展針對(duì)性練習(xí)以及培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力，有助于學(xué)生更好地掌握這些解題方法，提升解決二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題的能力.

5 結(jié)語(yǔ)

總之，初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題以其綜合性與復(fù)雜性，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)提出了較高要求.本文對(duì)數(shù)形結(jié)合、分類討論、建立函數(shù)模型以及利用相似三角形等多種解題方法的深入探究，為學(xué)生提供了系統(tǒng)的解題方法.

參考文獻(xiàn)：

[1]馬生林.二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題解題方法指導(dǎo)[J].科學(xué)中考，2024(3):26-27.

[2]高學(xué)賢.初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題解題方法探究[J].數(shù)理天地(初中版)，2023(17)：8-9.