借助構(gòu)造法，巧解數(shù)學(xué)題

構(gòu)造法是解題時(shí)利用常規(guī)方式難以解答，可以結(jié)合已知條件和問題，從另一個(gè)角度入手，觀察、分析和解決問題，分析已知和問題之間的關(guān)系，有效利用已知數(shù)據(jù)、形狀等特點(diǎn)，構(gòu)造新的數(shù)學(xué)對(duì)象，完成問題的解答[1].在初中數(shù)學(xué)解題中，對(duì)于一些難題或者利用常規(guī)方式、正向思維難以解決的問題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用構(gòu)造法，根據(jù)題目構(gòu)造新的對(duì)象，有效解決數(shù)學(xué)問題

1構(gòu)造方程解決數(shù)學(xué)問題

從小學(xué)階段開始，學(xué)生已經(jīng)接觸了方程知識(shí)，在進(jìn)入初中之后，學(xué)習(xí)了更多有關(guān)方程的內(nèi)容，如一元一次方程、一元二次方程、方程組以及分式方程等，在解題中常常被使用.在初中數(shù)學(xué)解題中，對(duì)于一些難度大的問題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目構(gòu)造方程，找到新的解題思路，對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，快速解決數(shù)學(xué)問題，

例1已知三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù) x，y，z ，且 x （20 gt;ygt;z ，滿足 x+y+z=1，x²+y²+z²=1 ，求 解 x+y 的取值范圍.

分析通過觀察題目，可以看出題目中的方程關(guān)系是一種特殊的關(guān)系，屬于三元一次方程和三元二次方程，采取常規(guī)的方式難以解答.因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用構(gòu)造法，將已知條件和所求問題聯(lián)系起來，結(jié)合方程知識(shí)解題.

解根據(jù) x+y+z=1 ，可以得到 x+y=1-z ，兩邊同時(shí)平方可以得到：x²+2xy+y²=1-2z+z²， 因?yàn)?x²+y²+z²=1 得到 xy=z²-z ，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，可以得出 x，y 是方程 m²+（z-1）m+（z²-z）=0 的兩

個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù) Δgt;0 .所以－1 ，即 又 xgt;ygt;8 ，得出 x+y 的取值范圍是 =

2構(gòu)造不等式解決數(shù)學(xué)問題

對(duì)于不等式知識(shí)，學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)有了初步了解.在初中數(shù)學(xué)中，不等式知識(shí)內(nèi)容難度增加，深度和廣度也有所提升，不少數(shù)學(xué)問題中都涉及不等式知識(shí).在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)時(shí)，對(duì)于部分題目需要引導(dǎo)學(xué)生分析其中的關(guān)鍵詞，構(gòu)造相應(yīng)的不等式模型，有效解決問題.

例2在某工廠內(nèi)有甲、乙兩種原料，甲原料質(zhì)量為 360kg . z 原料的質(zhì)量為 290kg 準(zhǔn)備利用這兩種原料生產(chǎn) A，B 商品50件，生產(chǎn) A 商品需要甲原料 9kg ，需要 z 原料 3kg ，產(chǎn)生700元的利潤(rùn).生產(chǎn) B 商品需要甲原料 4kg ，乙原料 10kg ，產(chǎn)生1200元的利潤(rùn).

（1）根據(jù)題目中的條件和要求，有多少方案可供進(jìn)行兩種商品生產(chǎn)？

（2）設(shè)兩種商品的總利潤(rùn)是 元， A 商品生產(chǎn) x 件，寫出 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，并且結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，說一說哪種生產(chǎn)方案的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？

分析在解題時(shí)，需要仔細(xì)閱讀題目，將題目條件轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)語言，構(gòu)建相應(yīng)的不等式組，根據(jù)不等式知識(shí)解決問題，確定最佳的方案.

解 （1）設(shè) A 商品生產(chǎn) x 件，則 B 商品生產(chǎn)50-x 件，

根據(jù)題意可以列出不等式組：

求解得出 30?x?32

因?yàn)?x 的值為正整數(shù)，所以 x 的值為30，31，32，可以得出 B 商品的生產(chǎn)數(shù)量為20，19，18.所以一共存在三種生產(chǎn)方案.

（2）根據(jù)題意可以得出 y=700x+1200（50- x）=-500x+60000 ，利用一次函數(shù)性質(zhì)可以得知此，隨著 x 的增加 減小.因此，當(dāng) x=30 時(shí)，存在最大利潤(rùn)，即 A 商品生產(chǎn)30件， B 商品生產(chǎn)20件，最大利潤(rùn)為45000元.即 與 x 的關(guān)系式為 y=-500x+ 60000，最大利潤(rùn)是45000元.

3構(gòu)造圖形解決數(shù)學(xué)問題

在初中數(shù)學(xué)課程中，分為代數(shù)和幾何兩個(gè)部分.在解決初中數(shù)學(xué)問題時(shí)，不僅可以構(gòu)造代數(shù)式子，還能夠構(gòu)造幾何圖形，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想，有效解決數(shù)學(xué)問題[2].

例3如圖1所示，在四邊形ABCD中，兩條對(duì)角線 AC，BD 的交點(diǎn)是 O ，并且 AC=BD ，AB的中點(diǎn)為 _E，CD 的中點(diǎn)為 F，EF 與 BD 相交于點(diǎn) _G，EF 與AC相交于點(diǎn) H .求證： OG=OH ：

分析對(duì)于幾何圖形中存在多個(gè)中點(diǎn)的情況，大多運(yùn)用中位線性質(zhì)解題，因此可以找出 BC 的中點(diǎn) M ，連接 ME，MF ，由于 E，F(xiàn)，M 分別是 AB，CD ，BC 的中點(diǎn)，構(gòu)造中位線 EM，MF ，利用三角形中位線定理，證明 ΔEMF 是等腰三角形，利用等邊對(duì)等角的性質(zhì)，證明 ∠MEF=∠MFE ，結(jié)合平行線性質(zhì)，得出 ∠OGH=∠OHG ，最后通過等角對(duì)等邊，完成解題.

證明 如圖1所示，取 BC 的中點(diǎn) M ，連接ME，MF ，

因?yàn)?M 為 BC 的中點(diǎn)， F 為 CD 的中點(diǎn)

所以 MF / BD ，且

同理得出

因?yàn)?AC=BD ，

得出 ME=MF ， ∠MEF=∠MFE ，

因?yàn)?MF//BD ，

得出 ∠MFE=∠OGH ，

同理得出 ∠MEF=∠OHG ，

所以 ∠OGH=∠OHG ，

所以 OG=OH

4結(jié)語

初中數(shù)學(xué)部分題目的難度大，采取常規(guī)方式難以解題，因此對(duì)于此類問題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用構(gòu)造法，結(jié)合題目已知條件和問題，構(gòu)造方程、不等式以及圖形等，將問題清楚展示，結(jié)合結(jié)論與條件的關(guān)系，準(zhǔn)確找出問題突破點(diǎn)，幫助學(xué)生準(zhǔn)確解題.

參考文獻(xiàn)：

[1]李宏.靈活運(yùn)用構(gòu)造法，提升初中數(shù)學(xué)解題效率[J].數(shù)學(xué)之友，2023，37（17）：79—81.

[2]張梅.構(gòu)造法在初中數(shù)學(xué)解題中的有效運(yùn)用[J].數(shù)學(xué)大世界（中旬），2020（4）：80-81.