圖象法在確定一元二次方程近似根中的應(yīng)用

1引言

一元二次方程在數(shù)學(xué)中具有重要地位.然而，在某些實(shí)際問(wèn)題或復(fù)雜情況下，精確求解可能較為困難或不必要，此時(shí)確定方程的近似根就具有重要意義.圖象法作為一種直觀且有效的方法，能夠幫助學(xué)生快速地得到一元二次方程的近似根，這有助于對(duì)問(wèn)題進(jìn)行初步分析與估算.

2 圖象法的理論基礎(chǔ)

一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0) 的解對(duì)應(yīng)于二次函數(shù) y=ax²+bx+c=0(a≠0) 的圖象與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).當(dāng)圖象與 x 軸相交時(shí)，交點(diǎn)的坐標(biāo) (x，0) 中 x 的值即為一元二次方程的根.若圖象與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則方程有兩個(gè)不同的實(shí)根；若有一個(gè)交點(diǎn)，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)根(即重根)；若沒(méi)有交點(diǎn)，則方程無(wú)實(shí)根.下面主要討論運(yùn)用圖象法求解實(shí)根的近似值.

3根據(jù)列出的圖表信息確定近似根

例1已知 x²+3x-1=0 ，依據(jù)表1，它的其中一個(gè)解的范圍是

解析 因?yàn)楫?dāng) x=0 時(shí)，x²+3x-1=-1<0， 當(dāng) x=0.5 時(shí)，x²+3x-1=0.75>0，

所以當(dāng) x 在 02+3x-1=0 ，

所以方程 x²+3x-1=0 的一個(gè)解的范圍是0

點(diǎn)評(píng)本題考查了運(yùn)用圖象法求一元二次方程的近似根，根據(jù)圖表信息確定出代數(shù)式的值為0的 x 的取值范圍是解題的關(guān)鍵.觀察表格可以發(fā)現(xiàn)x²+3x-1 的值一1和0.75最接近0，再看對(duì)應(yīng)的x 的值即可.

4根據(jù)坐標(biāo)信息確定近似根

例2如圖1，點(diǎn) ，0.54）在函數(shù) y=ax²+bx+c(a≠0) 的圖象上，則方程 ax²+bx+c=0 的一個(gè)近似值可能是（ ）

(A)2.18. (B)2.68. (C)0.54. (D)2.45.

解析因?yàn)?A(2.18，-0.51) 1 .B(2.68，0.54) 在函數(shù)圖象上，

當(dāng) x=2.18 時(shí)， y=-0.51 ：

當(dāng) x=2.68 時(shí)， y=0.54 ：

當(dāng) y=0 時(shí)， 2.18

點(diǎn)評(píng)本題主要考查利用函數(shù)圖象分析一元二次方程近似解的方法，依據(jù)自變量的兩個(gè)取值所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是一0.51和0.54，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)函數(shù)

值為0時(shí)， x 的取值應(yīng)在所給的這兩個(gè)自變量值之間.

5根據(jù)近似根求整數(shù)解

例3已知二次函數(shù) y=a(x-x₁)(x-x₂) （20與 x 軸的交點(diǎn)是(1，0）和 (3，0)，-1 和5分別是關(guān)于 x 的方程 α(x-x₁) (x-x₂)=m （其中 m>0 ）的兩個(gè)解，若關(guān)于 x 的方程 α(x-x₁) ） (x-x₂)= n （其中 0

解析由題意可知二次函數(shù) ·(x-x₂) 與 x 軸的交點(diǎn)分別為（1，0）和（3，0），

與 y=m 的交點(diǎn)分別為 (-1，m) 和 (5，m) ，設(shè)與 y=n 的交點(diǎn)分別為 Ξ(Λ_P，nΛ) 和 (q，n) ，

因?yàn)?0

所以直線 y=n 在 x 軸和直線 y=m 之間，如圖2所示.

由圖可知， -1

所以 p=0，q=4 ，

故答案為：0和4.

點(diǎn)評(píng)本題考查二次函數(shù)與一元二次方程.解決問(wèn)題的關(guān)鍵是畫(huà)出圖象，熟練掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系.先確定二次函數(shù)與 x 軸和直線y=m 的交點(diǎn)，畫(huà)出大致圖象，然后根據(jù)二次函數(shù)與y=n 的交點(diǎn)位置，判斷 α(x-x₁) (x-x_Π2)=n 兩個(gè)根的大小范圍即可求解.

6近似根實(shí)際應(yīng)用分析

例4通常情況下， 10m 跳臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員需在距離水面 5m 的臨界高度前完成既定技術(shù)動(dòng)作并調(diào)整入水姿態(tài)，否則將顯著增加動(dòng)作失敗概率.運(yùn)動(dòng)學(xué)研究表明，運(yùn)動(dòng)員身體重心與水面之間的垂直距離h（m）與起跳后的運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng) Ψ_t (s)存在確定的函數(shù)關(guān)聯(lián)關(guān)系，這一運(yùn)動(dòng)學(xué)模型可表述為： h=10+2.5t- 5t² ，則當(dāng) h=5 時(shí)， 10+2.5t-5t²=5 ，即 2t²-t- 2=0 .由表2的數(shù)據(jù)可確定運(yùn)動(dòng)員完成動(dòng)作的時(shí)間最多不超過(guò) S.(精確到 0.1mΩ ）

解析 依題意，當(dāng) h=5 時(shí)，即 2t²-t-2=0

根據(jù)表格可得 2t²-t-2=0 的解在1.2和1.3之間，

所以，可以確定運(yùn)動(dòng)員完成動(dòng)作的時(shí)間最多不超過(guò)1.3s.

點(diǎn)評(píng)本題考查了運(yùn)用圖象法求解一元二次方程近似根的應(yīng)用.由表中數(shù)據(jù)可得，當(dāng) h=5 時(shí)，2t²-t-2=0 的解在1.2和1.3之間.

7結(jié)語(yǔ)

圖象法在確定一元二次方程近似根方面具有獨(dú)特的價(jià)值.通過(guò)合理繪制一元二次函數(shù)圖象或圖表，并運(yùn)用直接觀察圖象、二分法結(jié)合圖象等手段，可以有效地得到方程的近似根.雖然圖象法存在一定的局限性，但在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、初步分析問(wèn)題以及對(duì)精度要求不是特別高的應(yīng)用場(chǎng)景中，仍然是一種非常實(shí)用的方法.在教學(xué)中，應(yīng)重視圖象法的教學(xué)，讓學(xué)生掌握這種直觀的數(shù)學(xué)工具，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解決問(wèn)題的能力；在實(shí)際應(yīng)用中，可根據(jù)具體需求，將圖象法與其他精確求解方法相結(jié)合，以達(dá)到更好的應(yīng)用效果.

參考文獻(xiàn)：

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[2」孫朝仁，朱桂鳳.理解教材、教法、學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課—以“二次函數(shù)的圖像與一元二次方程的近似根”為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2013(14)：12—15.