考慮關(guān)節(jié)摩擦特性的足式機(jī)器人單腿模型動(dòng)態(tài)參數(shù)辨識(shí)及控制

中圖分類號(hào)：TH39 DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2025.06.002

0 引言

足式機(jī)器人依靠離散的落足點(diǎn)行進(jìn)，對(duì)野外復(fù)雜地形環(huán)境具有很強(qiáng)的適應(yīng)性，在山地運(yùn)輸、勘探、搜救，乃至遂行軍事作戰(zhàn)等領(lǐng)域都具有巨大的應(yīng)用潛力[]。當(dāng)前，足式機(jī)器人的發(fā)展重點(diǎn)在于提高機(jī)器人的移動(dòng)速度和機(jī)動(dòng)性，由此對(duì)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)跟蹤精度和響應(yīng)速度提出了高要求[2。跟蹤誤差大將導(dǎo)致足端偏離期望落足點(diǎn)，引發(fā)機(jī)器人失穩(wěn)傾翻。在足式機(jī)器人的關(guān)節(jié)中，尤其是帶減速器的旋轉(zhuǎn)電動(dòng)關(guān)節(jié)，傳動(dòng)摩擦是影響關(guān)節(jié)跟蹤精度的主要因素。準(zhǔn)確辨識(shí)含非線性摩擦環(huán)節(jié)的單腿動(dòng)力學(xué)特性是基于模型的單腿控制器的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)。

摩擦在傳動(dòng)系統(tǒng)中往往是不可避免的[3。常用的摩擦模型有庫(kù)侖-黏性模型、LuGre模型和Stribeck模型等4。在工業(yè)機(jī)械臂中，為了簡(jiǎn)化控制器的設(shè)計(jì)，往往將摩擦特性描述為線性庫(kù)侖-黏性摩擦，這種簡(jiǎn)化對(duì)于關(guān)節(jié)工作行程較大、速度較高的場(chǎng)合是適用的5，例如，SWEVERS等在探索工業(yè)機(jī)械臂動(dòng)態(tài)模型參數(shù)辨識(shí)的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法時(shí)，將KUKA機(jī)械臂的摩擦特性簡(jiǎn)化描述為庫(kù)侖-黏性摩擦，設(shè)計(jì)了大行程、中高速的激勵(lì)軌跡，對(duì)機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)參數(shù)和摩擦參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)一辨識(shí)，有效提高了機(jī)械臂的控制精度。LEE等在機(jī)器人的關(guān)節(jié)摩擦測(cè)量試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，關(guān)節(jié)黏性摩擦并不完全與速度無(wú)關(guān)。在高轉(zhuǎn)速段，黏性摩擦隨著轉(zhuǎn)速的增大而發(fā)生斜率的變化，為此采用多項(xiàng)式模型對(duì)高速段的摩擦特性進(jìn)行了擬合。然而，該方法并未涉及低速段的摩擦特性。

針對(duì)轉(zhuǎn)速較低的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)工況，雖然LuGre模型能夠較為準(zhǔn)確地刻畫(huà)低速段摩擦非線性行為，但該模型包含了涉及微觀非線性摩擦動(dòng)力學(xué)的參數(shù)。這給摩擦特性的辨識(shí)帶來(lái)極大的困難。因此，在機(jī)器人關(guān)節(jié)控制器的設(shè)計(jì)上常采用靜態(tài)摩擦模型。例如，SZABO等將Stribeck摩擦模型表示為參數(shù)線性形式，將摩擦參數(shù)作為附加參數(shù)納入動(dòng)力學(xué)辨識(shí)參數(shù)集并進(jìn)行了統(tǒng)一辨識(shí)，較好地描述了低速下的摩擦負(fù)阻尼效應(yīng)。張鐵等[o在Stribeck模型的基礎(chǔ)上，在關(guān)節(jié)低速區(qū)間引入線性函數(shù)，解決了摩擦模型在零關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)速時(shí)不連續(xù)的問(wèn)題。上述方法為大工作行程下的關(guān)節(jié)低速運(yùn)動(dòng)摩擦提供了整體性描述，但在行程較小的工作場(chǎng)合中，其適用性受到較大的限制。為了刻畫(huà)小行程運(yùn)動(dòng)下的系統(tǒng)摩擦，CHEN等[1]I12-122對(duì)某型慣性穩(wěn)定平臺(tái)改進(jìn)Tustin模型進(jìn)行泰勒展開(kāi)，按低、高速區(qū)間分別作線性化處理，描述了振動(dòng)工況微小行程內(nèi)各速度區(qū)間的摩擦行為，顯著提高了平臺(tái)的穩(wěn)定精度；但泰勒展開(kāi)使控制器的設(shè)計(jì)較為復(fù)雜。

基于模型的控制策略能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)機(jī)器人的響應(yīng)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)有效控制[]。STUECKELMAIER等3]辨識(shí)了KUKA機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型，并將模型辨識(shí)結(jié)果用于計(jì)算力矩控制，改善了比例-積分-微分控制器的控制性能，減小了關(guān)節(jié)的速度跟蹤誤差。基于辨識(shí)出的較為準(zhǔn)確的動(dòng)力學(xué)模型，孫玉陽(yáng)在三閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上增加了力矩前饋控制部分，提高了重載機(jī)械臂作業(yè)任務(wù)過(guò)程中的位置跟蹤精度和響應(yīng)速度。

足式機(jī)器人關(guān)節(jié)常工作在低速段，行程較短且換向頻繁，摩擦特性更為復(fù)雜，單腿控制器的設(shè)計(jì)應(yīng)力求簡(jiǎn)單高效。為此，在前期工作的基礎(chǔ)上[I121-130，為了有效描述足式機(jī)器人的關(guān)節(jié)摩擦特性，提升關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的跟蹤精度，本文提出了一種考慮關(guān)節(jié)摩擦特性的足式機(jī)器人單腿動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)及前饋-反饋控制策略。根據(jù)求解自標(biāo)的不同將辨識(shí)過(guò)程分為兩步：摩擦辨識(shí)步和動(dòng)力學(xué)辨識(shí)步。在摩擦辨識(shí)步中，基于實(shí)測(cè)關(guān)節(jié)摩擦特性建立關(guān)節(jié)摩擦分段擬合模型，對(duì)摩擦參數(shù)進(jìn)行分段估計(jì)；基于摩擦辨識(shí)結(jié)果，在動(dòng)力學(xué)辨識(shí)步中采用拉格朗日法建立機(jī)器人單腿動(dòng)力學(xué)回歸模型；以觀測(cè)矩陣條件數(shù)最小為優(yōu)化目標(biāo)設(shè)計(jì)動(dòng)力學(xué)參數(shù)激勵(lì)軌跡；采用半正定規(guī)劃對(duì)動(dòng)力學(xué)參數(shù)進(jìn)行物理一致性辨識(shí)；在分步辨識(shí)結(jié)果的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了基于模型的單腿前饋-反饋控制器，并通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證了方法的有效性。

1足式機(jī)器人構(gòu)型及單腿動(dòng)力學(xué)模型

1.1 足式機(jī)器人構(gòu)型

本文以四足機(jī)器人為例展開(kāi)討論。如圖1所示，機(jī)器人腿部構(gòu)型為前膝后肘式，各單腿由2根連桿（大腿和小腿）和3個(gè)關(guān)節(jié)（髖部側(cè)擺/內(nèi)收、髖部前伸/后屈和膝部前伸/后屈）組成，髖部側(cè)擺/內(nèi)收關(guān)節(jié)的近端與機(jī)身固連。

1.2足式機(jī)器人單腿動(dòng)力學(xué)模型

在單腿讠 i=1 ，2，3，4）與機(jī)身的連接點(diǎn)處建立該單腿的基坐標(biāo)系，擺動(dòng)狀態(tài)下的動(dòng)力學(xué)方程可表示為

式中， 分別為廣義坐標(biāo)系下的關(guān)節(jié)角度、角速度和角加速度矢量； M∈R^3×3 為慣性矩陣； 為科氏矩陣； 和 τ_f∈R³ 分別為重力矩和摩擦力矩矢量； τ∈R³ 為驅(qū)動(dòng)力矩矢量。

2關(guān)節(jié)摩擦特性測(cè)試及分段擬合模型

2.1摩擦特性測(cè)試方法

為了對(duì)機(jī)器人單腿關(guān)節(jié)摩擦進(jìn)行精確建模，首先需要確定其摩擦特性。在運(yùn)動(dòng)行程內(nèi)，單腿各關(guān)節(jié)執(zhí)行從初始位置至終點(diǎn)位置的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，應(yīng)滿足兩個(gè)條件： ① 每次只運(yùn)動(dòng)單個(gè)關(guān)節(jié)，以避免科里奧利效應(yīng)，使 的影響可以忽略不計(jì)； ② 最大化勻速運(yùn)動(dòng)的范圍，使加/減速階段在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的占比盡可能小，以忽略慣性力矩 的影響?；谏鲜鰲l件對(duì)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行規(guī)劃，使關(guān)節(jié)速度在行程內(nèi)呈現(xiàn)出“梯形”變化趨勢(shì)。

測(cè)試中，單腿各關(guān)節(jié)軸線在跟蹤速度軌跡時(shí)與地面保持平行，關(guān)節(jié) j（j=1 ，2，3）的采樣力矩為

式中， τ_f，j，g_j 分別為關(guān)節(jié) j 的摩擦力矩和重力矩； q_j和 分別為關(guān)節(jié) 的采樣角度和角速度。

為了從關(guān)節(jié)采樣力矩中提取摩擦力矩分量，在處理數(shù)據(jù)時(shí)，一方面僅考慮關(guān)節(jié)勻速運(yùn)動(dòng)區(qū)間的數(shù)據(jù)子集，另一方面需消除采樣力矩中的重力矩分量。以相同速度作正、反向勻速運(yùn)動(dòng)的腿部關(guān)節(jié)在同一位置的采樣力矩應(yīng)滿足

式中， τ_f，j⁺，τ_f，j^- 分別為關(guān)節(jié) j 正、反向勻速運(yùn)動(dòng)的摩擦力矩。

在關(guān)節(jié)摩擦滿足對(duì)稱性的情況下，即

取

由此可得到不同轉(zhuǎn)速對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)摩擦力矩。

2.2摩擦特性擬合模型

由試驗(yàn)機(jī)器人關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)速與摩擦力矩的對(duì)應(yīng)關(guān)系可得其關(guān)節(jié)摩擦特性，測(cè)試結(jié)果表明，足式機(jī)器人關(guān)節(jié)摩擦存在與轉(zhuǎn)速相關(guān)的非線性，且各速度區(qū)間內(nèi)的非線性影響不同，隨速度變化呈現(xiàn)出分段特性。采用摩擦分段擬合模型，能夠提高對(duì)足式機(jī)器人關(guān)節(jié)摩擦特性的擬合精度。

靜態(tài)摩擦模型可通過(guò)數(shù)學(xué)函數(shù)之和的形式來(lái)定義，合適的數(shù)學(xué)函數(shù)能夠表征摩擦的1個(gè)或多個(gè)特征[?；跍y(cè)試的關(guān)節(jié)摩擦特性，建立的摩擦分段擬合模型為

式中， f_s 為靜摩擦； f_sc 為庫(kù)侖摩擦和靜摩擦之差； f_v 為黏性摩擦因數(shù)； 為關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)速閾值；下標(biāo)1和h用以對(duì)速度段進(jìn)行區(qū)分，其中，1代表低速，h代表高速； 為對(duì)符號(hào)函數(shù) 的連續(xù)化近似，有

式中， K_ν 為壓縮因子[17]

為高速段的摩擦非線性分量，且

式中， f₁，f₂ 和 f₃ 均為非線性影響系數(shù)。

依據(jù)提出的摩擦分段擬合模型對(duì)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)速閥值進(jìn)行設(shè)置，以此劃分關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的低、高速段，分段描述關(guān)節(jié)的摩擦特性。在轉(zhuǎn)速閾值以下，關(guān)節(jié)摩擦表現(xiàn)出以“負(fù)阻尼”特性為主的非線性， 函數(shù)能夠擬合該部分的影響，有助于關(guān)節(jié)低速運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性的提升。在轉(zhuǎn)速閾值以上，隨著關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)速的增大，黏性摩擦逐漸占據(jù)主導(dǎo)地位，同時(shí)還伴有非線性影響；通過(guò) 項(xiàng)，該部分摩擦行為能夠得到準(zhǔn)確描述。

2.3摩擦參數(shù)的分段估計(jì)

基于建立的摩擦分段擬合模型，分別采用優(yōu)化粒子群算法和加權(quán)最小二乘法對(duì)低、高速段摩擦參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

模型在低速段是關(guān)于關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)速的非線性函數(shù)，通過(guò)最小二乘法無(wú)法獲得對(duì)摩擦參數(shù)的準(zhǔn)確估計(jì)。因此，基于關(guān)節(jié)低速段的摩擦特性，采用優(yōu)化粒子群算法對(duì)低速段摩擦參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，算法步驟如下：

1）根據(jù)關(guān)節(jié)摩擦變化趨勢(shì)選取參數(shù)初始范圍，確定種群規(guī)模、最大迭代次數(shù)、搜索速度等參數(shù)，初始化種群。

2）以模型擬合誤差為目標(biāo)函數(shù)，計(jì)算種群個(gè)體目標(biāo)函數(shù)值，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)值計(jì)算個(gè)體適應(yīng)度，由適應(yīng)度確定個(gè)體最優(yōu)解和全局最優(yōu)解，更新適應(yīng)度最高的為當(dāng)前群體最優(yōu)解。

3）更新所有粒子的搜索速度和當(dāng)前位置。

4）計(jì)算進(jìn)化后粒子的適應(yīng)度。

5）若算法達(dá)到所設(shè)的迭代次數(shù)，結(jié)束循環(huán)，輸出全局最優(yōu)解；否則返回步驟2）繼續(xù)計(jì)算。

在高速段，分段擬合模型具有參數(shù)線性形式，即

其中，

通過(guò)加權(quán)最小二乘法，可對(duì)其摩擦參數(shù)進(jìn)行有效估計(jì)，即

式中， 為正定加權(quán)矩陣； Ω_m 為關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)速采樣數(shù)； 和 T_ih∈R^m 分別為關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)速矢量和高速段的摩擦力矩，有

3考慮關(guān)節(jié)摩擦的單腿動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)

3.1足式機(jī)器人單腿動(dòng)力學(xué)模型分解

在摩擦模型擬合的基礎(chǔ)上，對(duì)單腿動(dòng)力學(xué)模型[式（1）]中的摩擦分量 進(jìn)行描述，則單腿動(dòng)力學(xué)方程可表示為

基于摩擦參數(shù)擬合結(jié)果，通過(guò)確定的摩擦參數(shù)可計(jì)算出期望軌跡下的關(guān)節(jié)摩擦力矩，由此可對(duì)關(guān)節(jié)力矩中的摩擦和基本動(dòng)力學(xué)分量進(jìn)行分解，獲得僅包含基本動(dòng)力學(xué)分量的表達(dá)式，即

式中， 、 及 分別為關(guān)節(jié)摩擦在分段擬合模型描述下的單腿慣性矩陣、科氏矩陣及重力矩矢量； 為相應(yīng)的驅(qū)動(dòng)力矩矢量。

3.2單腿動(dòng)力學(xué)模型的線性化

基于分解后的單腿動(dòng)力學(xué)模型，由動(dòng)力學(xué)參數(shù)的線性特性，式（15）可改寫(xiě)為參數(shù)線性形式[18]，即

式中， 為回歸矩陣； n_p 為單腿各連桿的動(dòng)力學(xué)參數(shù)個(gè)數(shù)； 為動(dòng)力學(xué)標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)矢量，由單腿連桿慣性參數(shù)和電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子慣量組成，即

式中， m_i 為連桿質(zhì)量； 為1階慣性矩； I_xxⁱ. ， I_xyⁱ， （20 I_xzⁱ ）I_yyⁱ， ： I_yzⁱ 人 I_zzⁱ 為相對(duì)于連桿坐標(biāo)原點(diǎn)的各向慣性張量；J_i 為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子慣量。

通過(guò)QR分解等數(shù)值方法可減小動(dòng)力學(xué)參數(shù)集 p 的規(guī)模，獲得由最小參數(shù)集完全描述的動(dòng)力學(xué)表達(dá)式[9]，即

式中， β 為最小參數(shù)集向量； Y_b 為由Y中線性無(wú)關(guān)列構(gòu)成的矩陣； ?_Pb 為與Y中線性無(wú)關(guān)列對(duì)應(yīng)的基本參數(shù)集； σ_Pd 為與 Y 中線性相關(guān)列對(duì)應(yīng)的依賴參數(shù)集； K_d 為常矩陣。

3.3激勵(lì)軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)

為了提高采樣數(shù)據(jù)的信噪比，減小機(jī)器人腿部啟停時(shí)的振動(dòng)沖擊，將五次多項(xiàng)式與五次傅里葉級(jí)數(shù)相結(jié)合并作為激勵(lì)軌跡，軌跡表達(dá)式為

式中， T_F 為傅里葉級(jí)數(shù)周期； ω_F=2π/T_F 為傅里葉級(jí)數(shù)基頻； N 為級(jí)數(shù)諧波數(shù)； 均為傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)； c_i，? ，為五次多項(xiàng)式系數(shù)。

觀測(cè)矩陣條件數(shù)反映了軌跡的抗噪性能[2]。以最小化觀測(cè)矩陣條件數(shù)為目標(biāo)函數(shù)，并將運(yùn)動(dòng)空間及軌跡邊界條件作為約束，軌跡參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題可表述為

式中， L_i 為 I_i 在連桿坐標(biāo)系下的表示。

考慮單腿各連桿質(zhì)量的取值范圍，需滿足以下不等式約束

式中， A_i 為連桿理論質(zhì)量； δ 為連桿質(zhì)量的誤差容限。

同時(shí)，關(guān)節(jié)電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)子慣量 J_i 需滿足

J_igt;0

將連桿質(zhì)量與轉(zhuǎn)子慣量統(tǒng)一納人物理一致性約束區(qū)域內(nèi)，對(duì)應(yīng)于足式機(jī)器人單腿動(dòng)力學(xué)參數(shù)集在完整物理一致性約束下的線性矩陣不等式為

式中， 為單腿連桿 i 對(duì)應(yīng)于式（22）的線性矩陣形式； A_ui 、 A_li 均為與式（23）對(duì)應(yīng)的線性矩陣形式。

3.4.2基于半正定規(guī)劃的動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)

基于激勵(lì)軌跡下的關(guān)節(jié)反饋數(shù)據(jù)，構(gòu)建的觀測(cè)矩陣 及觀測(cè)向量 T 分別為

式中， Y_b（?） 為對(duì)應(yīng)于動(dòng)力學(xué)最小參數(shù)集的回歸矩陣；t_n 為采樣時(shí)間；關(guān)節(jié)加速度 通過(guò)對(duì)速度中心差分獲得。

式中， 為觀測(cè)矩陣； s 為機(jī)器人單腿運(yùn)動(dòng)空間； t_f 為單腿運(yùn)動(dòng)的終止時(shí)刻； q_max 、 、 分別為關(guān)節(jié)位置、速度和加速度的上限； q_min 、 、 分別為關(guān)節(jié)位置、速度和加速度的下限； 為單腿運(yùn)動(dòng)軌跡集合。

3.4滿足物理一致性約束的半正定規(guī)劃辨識(shí)方法

3.4.1物理一致性約束的線性矩陣不等式表示

機(jī)器人腿部各連桿的物理一致性約束可描述為

式中， gt;0 表示矩陣具有正定性。

約束條件 I_igt;0 可進(jìn)一步表述為線性矩陣不等式[21，即

基于動(dòng)力學(xué)辨識(shí)模型[式（16]，物理一致性約束下的單腿動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)可描述為半正定規(guī)劃問(wèn)題，即

4足式機(jī)器人單腿前饋-反饋控制器設(shè)計(jì)

基于摩擦與動(dòng)力學(xué)參數(shù)分步辨識(shí)結(jié)果，對(duì)單腿采用基于模型的前饋-反饋控制。對(duì)于足式機(jī)器人的擺動(dòng)腿，其力矩前饋?lái)?xiàng) τ_ff 為

（28）式中， ; n_r 為關(guān)節(jié)減速比； M、 、 和 分別為等效轉(zhuǎn)子慣量、慣性矩陣、科氏矩陣、重力矩矢量和關(guān)節(jié)摩擦力矩矢量的估計(jì)值； 、 分別為關(guān)節(jié)期望角速度和期望角加速度。

引入力矩前饋的單腿前饋-反饋控制器，即

式中， τ_m 為各關(guān)節(jié)期望力矩； K_p ！ K_d 均為增益矩陣。

單腿控制器系統(tǒng)框架如圖2所示。

5 試驗(yàn)驗(yàn)證

5.1試驗(yàn)系統(tǒng)設(shè)置

物理試驗(yàn)平臺(tái)的硬件結(jié)構(gòu)如圖3所示。

在四足機(jī)器人單腿上進(jìn)行試驗(yàn)，各關(guān)節(jié)由含旋轉(zhuǎn)電動(dòng)機(jī)和減速器的關(guān)節(jié)模組驅(qū)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)控制算法部署在英特爾微型計(jì)算機(jī)上；關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)前饋算法使用 C++ 語(yǔ)言在個(gè)人計(jì)算機(jī)上開(kāi)發(fā)，并通過(guò)Twin-CAT3軟件部署到倍?？刂破魃?。英特爾微型計(jì)算機(jī)通過(guò)用戶數(shù)據(jù)包（UDP）協(xié)議與倍福控制器通信，通信頻率為 1kHz 。倍?？刂破髋cElmo驅(qū)動(dòng)器之間通過(guò)DS402協(xié)議實(shí)現(xiàn)信息的傳遞，通信頻率為 2kHz ○驅(qū)動(dòng)器以 20kHz 的控制頻率實(shí)時(shí)控制腿部電動(dòng)機(jī)，并通過(guò)32位絕對(duì)式光電編碼器讀取關(guān)節(jié)反饋數(shù)據(jù)。輸入指令與反饋信號(hào)在英特爾微型計(jì)算機(jī)、倍?？刂破鳌Ⅱ?qū)動(dòng)器及關(guān)節(jié)電動(dòng)機(jī)之間形成信息流。

5.2摩擦分段擬合模型參數(shù)確定與驗(yàn)證

為測(cè)得機(jī)器人單腿各關(guān)節(jié)的實(shí)際摩擦特性，在周期同步速度模式下驅(qū)動(dòng)各關(guān)節(jié)軸線保持水平，分別執(zhí)行運(yùn)動(dòng)行程內(nèi)的往復(fù)勻速擺動(dòng)，勻速段速度逐次遞增，同時(shí)固定其他關(guān)節(jié)不動(dòng)。以左前腿為例，各關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)設(shè)置如表1所示。

各關(guān)節(jié)重復(fù)60次上述測(cè)試試驗(yàn)，對(duì)多組數(shù)據(jù)取平均，利用式（6）分段擬合低、高速的關(guān)節(jié)摩擦特性。摩擦參數(shù)擬合結(jié)果及摩擦擬合曲線分別如表2和圖4所示。

圖4（a）、圖4（b）和圖4（c）所示為由摩擦測(cè)試結(jié)果、庫(kù)侖-黏性模型、Stribeck模型及分段擬合模型所描述的各關(guān)節(jié)摩擦特性。以均方誤差為擬合精度的評(píng)價(jià)指標(biāo)，不同模型下各關(guān)節(jié)摩擦的擬合均方誤差如表3所示。所提出的摩擦分段擬合模型針對(duì)關(guān)節(jié)摩擦在低、高速段的不同非線性影響分別建模，同時(shí)考慮了摩擦在低速段的負(fù)阻尼及高速段的黏性非線性特性。因此，均方誤差越小，擬合效果越優(yōu)，能夠更準(zhǔn)確地描述足式機(jī)器人的關(guān)節(jié)摩擦特性。

為了驗(yàn)證摩擦分段擬合模型的準(zhǔn)確性，在力矩模式下驅(qū)動(dòng)各關(guān)節(jié)依次沿式（30）所示驗(yàn)證軌跡運(yùn)動(dòng)，同時(shí)保持其他關(guān)節(jié)固定不動(dòng)，基于摩擦模型對(duì)關(guān)節(jié)力矩進(jìn)行補(bǔ)償。

式中， 和 q₂ 分別為側(cè)擺、髖和膝關(guān)節(jié)的驗(yàn)證軌跡。

圖5所示為各關(guān)節(jié)在不同摩擦模型下的補(bǔ)償效果，通過(guò)關(guān)節(jié)軌跡跟蹤誤差表征。對(duì)關(guān)節(jié)摩擦進(jìn)行補(bǔ)償后，各關(guān)節(jié)的軌跡跟蹤誤差明顯減小，其中，基于分段擬合模型的補(bǔ)償效果最優(yōu)。與無(wú)摩擦補(bǔ)償相比，側(cè)擺、髖和膝關(guān)節(jié)的跟蹤均方誤差分別減小了65. 25% 、 86.92% 及 93.51% ；與基于庫(kù)侖-黏性模型的補(bǔ)償效果相比，各關(guān)節(jié)的跟蹤均方誤差分別減小了 40.34% 、 83.98% 及 90.64% ；與基于參數(shù)線性Stribeck模型的補(bǔ)償效果相比，各關(guān)節(jié)的跟蹤均方誤差分別減小了 29.38% 、 86.85% 及 79.87% 。該結(jié)果表明，摩擦分段擬合模型能夠有效描述機(jī)器人的關(guān)節(jié)摩擦特性。

5.3動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果驗(yàn)證

本文在Matlab軟件中對(duì)激勵(lì)軌跡進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化后的各關(guān)節(jié)期望激勵(lì)軌跡如圖6所示?；诩?lì)軌跡下的關(guān)節(jié)采樣數(shù)據(jù)，利用摩擦辨識(shí)步的參數(shù)估計(jì)結(jié)果計(jì)算相應(yīng)的摩擦力矩，在Matlab軟件中通過(guò)YALMIP工具箱完成對(duì)單腿動(dòng)力學(xué)參數(shù)的辨識(shí)。

關(guān)節(jié)力矩預(yù)測(cè)誤差表示關(guān)節(jié)預(yù)測(cè)力矩與實(shí)際力矩之間的差值，以此作為辨識(shí)效果的評(píng)價(jià)指標(biāo)。驅(qū)動(dòng)單腿關(guān)節(jié)沿驗(yàn)證軌跡[式（30）]一同運(yùn)動(dòng)，并與基于庫(kù)侖-黏性摩擦模型及基于參數(shù)線性形式Stribeck摩擦模型[224-5的統(tǒng)一辨識(shí)效果進(jìn)行比較。圖7所示為各關(guān)節(jié)的辨識(shí)效果比較，預(yù)測(cè)力矩對(duì)實(shí)際力矩的相對(duì)誤差列于表4。分步辨識(shí)方法更充分地考慮了關(guān)節(jié)的實(shí)際摩擦特性，對(duì)關(guān)節(jié)摩擦特性進(jìn)行分段擬合，提供了更準(zhǔn)確的描述，從而促進(jìn)了動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)精度的提高。與基于庫(kù)侖-黏性摩擦模型及文獻(xiàn)[22]4-5摩擦模型的統(tǒng)一辨識(shí)法相比，分步辨識(shí)法具有更高的力矩預(yù)測(cè)精度。與統(tǒng)一辨識(shí)法相比，各關(guān)節(jié)力矩預(yù)測(cè)精度分別為 78% 、 88% 和 84% 。相比于基于庫(kù)侖-黏性摩擦模型的統(tǒng)一辨識(shí)法，各關(guān)節(jié)的力矩預(yù)測(cè)誤差分別減小38.95% 、 45.72% 和 46.86% ；相比于基于參數(shù)線性形式Stribeck摩擦模型的統(tǒng)一辨識(shí)法，各關(guān)節(jié)的力矩預(yù)測(cè)誤差分別減小 41.58% 、41. 18% 和41. 79% 。由于符號(hào)函數(shù)的連續(xù)化近似有效避免了換向時(shí)的力矩突變，因此，在關(guān)節(jié)換向處的力矩預(yù)測(cè)誤差明顯減小。

5.4基于前饋-反饋控制的單腿關(guān)節(jié)軌跡跟蹤試驗(yàn)

根據(jù)對(duì)單腿關(guān)節(jié)摩擦和動(dòng)力學(xué)參數(shù)分步辨識(shí)的結(jié)果，設(shè)計(jì)了基于模型的單腿前饋-反饋控制器。為驗(yàn)證控制器在提升關(guān)節(jié)軌跡跟蹤精度方面的性能，在驅(qū)動(dòng)器力矩模式下，利用所設(shè)計(jì)的前饋-反饋控制器控制機(jī)器人單腿對(duì)期望軌跡的跟蹤，同時(shí)與無(wú)動(dòng)力學(xué)力矩前饋條件下的軌跡跟蹤效果進(jìn)行了對(duì)比。另外，為了評(píng)估分步辨識(shí)結(jié)果在實(shí)際應(yīng)用中的有效性，還與基于庫(kù)侖-黏性摩擦模型的統(tǒng)一辨識(shí)結(jié)果下的力矩前饋效果進(jìn)行了比較。

試驗(yàn)中采用相同的反饋增益，關(guān)節(jié)反饋控制器增益設(shè)置為 K_p=[1500 ，1000，1000]， K_d= [800，500，500]，期望驗(yàn)證軌跡為

式中， k 為諧波次數(shù)； k和 ，1，2）均為軌跡系數(shù)； ω 為軌跡角頻率，設(shè)置為 2.4rad/s ； χ_t 為運(yùn)行時(shí)間，設(shè)置為 60s 。

圖8所示為單腿各關(guān)節(jié)在有無(wú)力矩前饋下的軌跡跟蹤誤差比較結(jié)果。無(wú)前饋?zhàn)饔孟?，各關(guān)節(jié)的軌跡最大跟蹤誤差分別為0.209、0.101、 0.082rad ；利用基于庫(kù)侖-黏性摩擦模型的統(tǒng)一辨識(shí)結(jié)果，力矩前饋下各關(guān)節(jié)的軌跡最大跟蹤誤差減小為0.049、0.045、0.045rad ；利用基于摩擦分段擬合模型的分步辨識(shí)結(jié)果，力矩前饋下各關(guān)節(jié)的軌跡最大跟蹤誤差進(jìn)一步減小至0.019、0.017、0.016rad。通過(guò)引入含摩擦的動(dòng)力學(xué)力矩前饋，力矩控制下的關(guān)節(jié)軌跡跟蹤誤差大幅減小。其中，在基于摩擦分段擬合模型的分步辨識(shí)結(jié)果下，前饋效果最優(yōu)，與無(wú)力矩前饋的跟蹤效果相比，各關(guān)節(jié)的軌跡最大跟蹤誤差分別減小 92.24% 、82.76% 和 77.11% ；與基于庫(kù)侖-黏性摩擦模型的統(tǒng)一辨識(shí)結(jié)果相比，前饋?zhàn)饔孟赂麝P(guān)節(jié)的軌跡最大跟蹤誤差分別減小 60.33% 、 60.67% 和 63.09% 。

6結(jié)論

提出了一種考慮關(guān)節(jié)摩擦特性的足式機(jī)器人單腿模型動(dòng)態(tài)參數(shù)分步辨識(shí)方法。在摩擦辨識(shí)步中，基于實(shí)測(cè)的關(guān)節(jié)摩擦特性，建立摩擦分段擬合模型，對(duì)低、高速段摩擦參數(shù)進(jìn)行了分段估計(jì)，提高了關(guān)節(jié)摩擦的擬合精度；在摩擦辨識(shí)步的基礎(chǔ)上，考慮關(guān)節(jié)摩擦特性，對(duì)機(jī)器人單腿動(dòng)力學(xué)參數(shù)進(jìn)行了物理一致性辨識(shí)。試驗(yàn)結(jié)果表明，與統(tǒng)一辨識(shí)法相比，分步辨識(shí)法下的力矩預(yù)測(cè)精度明顯提升，各關(guān)節(jié)力矩預(yù)測(cè)精度分別為 78% 、 88% 和 84% 。將辨識(shí)結(jié)果用于單腿的動(dòng)力學(xué)前饋-反饋控制，各關(guān)節(jié)在驗(yàn)證軌跡下的軌跡跟蹤誤差顯著減小，最大跟蹤誤差分別為0.019、0.017、0.016rad，與無(wú)前饋相比分別減小了 92.24% 、 82.76% 和 77.11% ，與基于庫(kù)侖-黏性摩擦模型的統(tǒng)一辨識(shí)結(jié)果下的前饋相比分別減小了 60.33% 、 60.67% 和 63.09% 。所提方法可有效提高足式機(jī)器人單腿關(guān)節(jié)的軌跡跟蹤精度，有助于其移動(dòng)速度和機(jī)動(dòng)性的提升。

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Dynamic parameter identification and control of legged robots’ single-leg model consideringjoint friction characteristics

XIAO Haoyang QIANLetian LUO Xin （SchoolofMechanicalScienceandEngineering，Huazhong UniversityofScienceandTechnologyWuhan430o74，China）

Abstract：[Objective]Theincreasingofthemotionspeedand themanoeuvrabilityofleggedrobotsposeshighlevel requirementsforjointrackingaccuracyThejintsofleggedobotsoftenorkintheonditionsoflowspeed，smallstrokeand frequentdirectionswitching.Thepresenceoftransmision friction hasastrong nonlinear influenceonthe jointcontrol. Accuratelyidentifyingthenonlinearfrictionofitsjointsisveryimportantforimprovingthejointtrackingauracyoflegged robots.Methods]Forthelow-speedmotionconditionsofjoints，themotiondataofasinglelegoftheheavy-loadquadruped robot wasrecordedbythedriver，andthedatawasprocessdonapersonalcomputer.Asegmentedfitingmodelofjointfriction wasbuiltbasedonthemeasuredfrictioncharacteristicsofjointsunderlow-speedmotionconditions，andthejointfrictionand dynamicparametersofsinglelegofleggedrobots wereidentified.Basedontheidentificationresults，afeedforward-feedback control strategywascarriedout.[Results]Testsonaheavy-dutyquadrupedrobotidicatethatthepredictionerrorof joint torques utilizing the proposed method is reduced by about 40% ，and the trajectory trackingaccuracy is improved bymore than 60% ，comparing to those obtained bythe existing identificationand control method basedonthe linear friction model.

Keywords：Singlelegcontrolof leggedrobots；Joint friction fiting;Parameter identificationofthedynamicmodel; Feedforward-feedback controller design