齒輪傳動變位系數(shù)選擇的封閉線圖限制條件修正研究

中圖分類號：TH122 DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2025.06.012

0 引言

齒輪傳動具有傳動平穩(wěn)可靠、傳動效率高、傳動比恒定、結構緊湊、使用壽命長等特點，被廣泛應用于各種機械裝置中。隨著科技的發(fā)展和創(chuàng)新，齒輪傳動技術也在不斷進步。新材料、新工藝和新設計方法的應用將進一步提升齒輪傳動的性能和效率。同時，智能化和自動化的趨勢將推動齒輪傳動與其他系統(tǒng)的集成，實現(xiàn)更高級別的控制和優(yōu)化。

在齒輪傳動裝置中，變位齒輪的應用非常廣泛。而正確地選擇變位系數(shù)（包括選定一對嚙合齒輪的變位系數(shù)之和 x_Σ 以及將 x_Σ 適當?shù)胤峙錇辇X輪1的變位系數(shù) x₁ 和齒輪2的變位系數(shù) x₂ 是設計變位齒輪的關鍵[2]8-14。選擇變位系數(shù)的方法有很多，例如，利用經驗公式、封閉線圖、線圖（表格）等選擇變位系數(shù)。利用封閉線圖有可能綜合考慮各種性能指標，較合理地選擇變位系數(shù)[2J8-14。對齒輪根切機制的研究表明，根切過程中各根切點（標準齒條型插刀基本齒廓與被加工齒輪已經加工好的漸開線齒廓的交點[3]154）的位置在不斷變化，根切半徑（根切點到齒輪回轉中心的距離）從根切開始時的最小值，逐漸增大到最大根切半徑 r_gmax 。過了最大根切半徑 r_gmax 這一位置以后，標準齒條型插刀基本齒廓與被加工齒輪漸開線齒廓就會分離。所以，對于根切齒輪而言，如圖1所示，最大根切半徑 r_gmax 不等于 B₂ 點的半徑 ，而是等于 O₁B₂^′（B₂^′ 為被加工齒輪齒廓漸開線起始點，由齒輪加工而定）。以模數(shù) m=20mm 、齒數(shù) z=10 、變位系數(shù) x=-0.5 的正常直齒圓柱齒輪為例， ，而 □

漸開線齒輪變位系數(shù)選擇的封閉線圖中一般有13條限制曲線，所有限制曲線都是按對應的限制條件繪制而成的[3]156。而修正前限制條件中計算最大根切半徑時，是按圖1所示的 O₁B₂ 確定的。因為最大根切半徑 r_gmax 不等于 ，變位系數(shù)選擇的封閉線圖出現(xiàn)誤差，影響到變位系數(shù)選擇的范圍及準確性。如圖2所示，可供正確選擇變位系數(shù)的陰影部分在修正前的封閉線圖中被丟掉了。具體來說，變位系數(shù)的選擇范圍受限可能意味著工程師在優(yōu)化齒輪傳動性能時面臨更多的限制。例如，在某些情況下，可能需要通過調整變位系數(shù)來改善齒輪的嚙合特性，實現(xiàn)等強度、等磨損，減小齒輪的應力集中等。但如果選擇范圍受限，這些優(yōu)化措施可能無法實現(xiàn)。另外，變位系數(shù)選擇和分配的準確性對齒輪傳動的穩(wěn)定性、可靠性和壽命都有重要影響。如果變位系數(shù)的選擇和分配不準確，齒輪在傳動過程中可能出現(xiàn)振動、噪聲、過度磨損等問題，從而影響整個傳動系統(tǒng)的性能。

曲線 ① ——修正后根切至齒輪1漸開線齒廓工作段起始點的限制曲線和齒輪1齒根處不發(fā)生過渡曲線干涉的限制曲線；曲線 ② 修正前根切至齒輪1漸開線齒廓工作段起始點的限制曲線；曲線 ③ 一修正后根切至齒輪2漸開線齒廓工作段起始點的限制曲線和齒輪2齒根處不發(fā)生過渡曲線干涉的限制曲線；曲線 ④ —修正前根切至齒輪2漸開線齒廓工作段起始點的限制曲線。

1修正前的限制條件、限制曲線、封閉線圖

圖3為修正前齒數(shù) z₁=25 ！ z₂=38 的變位系數(shù)選擇的封閉線圖。從圖3可以看出，齒輪傳動變位系數(shù)選擇的封閉線圖（封閉線圖形狀與配對齒數(shù) z₁ ： z₂ 有關，不同的配對齒數(shù)，封閉線圖的形狀截然不同）一般是由根切至齒輪1齒廓工作段起始點的限制曲線（齒輪1齒根處不發(fā)生過渡曲線干涉的限制曲線） |AB| 段、齒輪2齒根處不發(fā)生過渡曲線干涉的限制曲線 BC 和 IA 段、重合度等于1的限制曲線 CD 段、齒輪1齒根處不發(fā)生過渡曲線干涉的限制曲線 DF 和HI段、根切至齒輪2齒廓工作段起始點的限制曲線（齒輪2齒根處不發(fā)生過渡曲線干涉的限制曲線） FG 段、齒輪1齒頂厚度等于0的限制曲線 GH 段等8段曲線圍成。設計齒數(shù) z₁= 25、 z₂=38 的變位齒輪傳動時，兩齒輪的變位系數(shù)可以在這8段曲線圍成的封閉線圖的范圍內選取。

在這8段曲線上分別選取I＼～VⅢ的8個點，并確定各點所對應的坐標 ，將坐標代人每一條限制曲線給定的限制條件計算式，計算結果如下所述。

1.1 AB 段曲線上I點的計算值

AB 段曲線既是根切至齒輪1齒廓工作段起始點的限制曲線，也是齒輪1齒根處不發(fā)生過渡曲線干涉的限制曲線。 AB 段曲線上I點的坐標為（-0.54522，0.20042）。

1.1.1計算根切至齒輪1齒廓工作段起始點的 B₁ 、C₁ 值

根切至齒輪1齒廓工作段起始點的限制條件計算式為

式中， z₁ 為齒輪1的齒數(shù)； z₂ 為齒輪2的齒數(shù)； α 為分度圓壓力角，標準齒輪 α=20^° ； α^′ 為嚙合角， （^°） ：α_a2 為齒輪2齒頂圓壓力角， （^°） ； h_a^? 為齒頂高系數(shù)，正常齒的 h_a^*=1 ； x₁ 為齒輪1的變位系數(shù)。

用VB.NET語言編寫“根切至齒輪1齒廓工作段起始點的 B₁ 、 C₁ 值”子程序塊（其他限制條件計算式類同），如圖4所示。

將I點的坐標（-0.54522，0.20042）代入式（1）、式（2）或者輸入子程序塊（編制程序時，設定的精確度為0.001）窗口進行計算，得出 B₁=11.748 69 、C₁=11.74866 。 B₁≈C₁ ，說明I點是根切至齒輪1齒廓工作段起始點的極限點之一。

1.1.2計算齒輪1齒根處不發(fā)生過渡曲線干涉的 E₁ 、 F₁ 值

齒輪1齒根處不發(fā)生過渡曲線干涉的限制條件計算式為

將I點的坐標（-0.54522，0.20042）代入式（3）、式（4）進行計算，得出 E_?1=0.020 77 、 F₁= -0.02066 ?？梢?E₁≠F₁ ，說明I點不是齒輪1齒根處不發(fā)生過渡曲線干涉的極限點。

相嚙合兩齒廓的接觸點與齒廓工作段的起始點重合時，為干涉的極限情況[4213，也就是說，曲線 AB 既是根切至齒輪1齒廓工作段起始點的限制曲線，也是齒輪1齒根處不發(fā)生過渡曲線干涉的限制曲線。所以，I點的坐標除了應滿足 B₁≈C₁ 外，也應滿足 E₁≈ F₁ 。實際計算結果顯示 E₁≠F₁ ，這是修正前封閉線圖出現(xiàn)的錯誤之一。

1.2計算 BC 和 IA 段曲線上Ⅱ、V點的 E₂ 、 F₂ 值

BC 和 IA 段曲線是齒輪2齒根處不發(fā)生過渡曲線干涉的限制曲線， BC 段曲線上Ⅱ點的坐標為（-0.20222，1.33342）， IA 段曲線上Ⅲ點的坐標為（-0.39022，-0.21158）。

齒輪2齒根處不發(fā)生過渡曲線干涉的限制條件計算式為

式中， α_al 為齒輪1齒頂圓壓力角， （^°） ； x₂ 為齒輪2的變位系數(shù)。

1.2.1計算Ⅱ點的 E₂ 、 F₂ 值

將Ⅱ點的坐標（-0.20222，1.33342）代入式（5）、式（6）進行計算，得出 E_?2=0.41857 、 F₂= 0.41857 ?？梢?E₂≈F₂ ，說明 I 點是齒輪2齒根處不發(fā)生過渡曲線干涉的極限點之一。

1.2.2 計算V點的 E₂ ， F₂ 值

將VⅢ點的坐標（-0.39022，-0.21158）代入式（5）、式（6）進行計算，得出 E₂=0. 165?58 、 F₂= 0.16556 ?？梢?E₂≈F₂ ，說明V點是齒輪2齒根處不發(fā)生過渡曲線干涉的極限點之一。

1.3 CD 段曲線上Ⅲ點的計算值

CD 段曲線是重合度等于1的限制曲線，Ⅲ點的坐標為（1.21278，1.47242）。

重合度等于1時的限制條件計算式為 （7）

將Ⅲ點的坐標（1.21278，1.47242）代入式（7）進行計算，得出 ε_a=1.000 00 。這說明Ⅲ點是重合度等于1時的極限點之一。

1.4計算 DF 和 HI 段曲線上 IV 、VII點的 E₁ 1 F₁ 值

DF和 HI 段曲線是齒輪1齒根處不發(fā)生過渡曲線干涉的限制曲線， DF 段曲線上 IV 點的坐標為（1.17778，-0.20158）， HI 段曲線上VII點的坐標為（0.22978，-0.60958）。

1.4.1計算V點的 E₁ 、 F₁ 值

將V點的坐標（1.17778，-0.20158）代入式（3）式（4）進行計算，得出 E₁=0.408 23 、 F₁=0.408 22 □可見 E₁≈F₁ ，說明 IV 點是齒輪1齒根處不發(fā)生過渡曲線干涉的極限點之一。

1.4.2計算VI點的 E₁ 、 F₁ 值

將VI點的坐標（0.22978，-0.60958）代入式（3）、式（4）進行計算，得出 E₁=0. 172 25 、 F₁= 0.17225?？梢?E₁≈F₁ ，說明VII點是齒輪1齒根處不發(fā)生過渡曲線干涉的極限點之一。

1.5FG段曲線上V點的計算值

FG段曲線既是根切至齒輪2齒廓工作段起始點的限制曲線，也是齒輪2齒根處不發(fā)生過渡曲線干涉的限制曲線。 FG 段曲線上V點的坐標為（1.19178，-1.526 58）。

1.5.1計算根切至齒輪2齒廓工作段起始點的 B₂ ）C₂ 值

根切至齒輪2齒廓工作段起始點的限制條件計算式為

將 ΔV 點的坐標（1.19178，-1.52658）代入式（8）、式（9）進行計算，得出 B₂=17.876 32 、 C₂=17.876 27 。B₂≈C₂ ，說明 ΔV 點是根切至齒輪2齒廓工作段起始點的極限點之一。

1.5.2計算齒輪2齒根處不發(fā)生過渡曲線干涉的 E₂ 、 F₂ 值

將 ΔV 點的坐標（1.19178，-1.52658）代入式（5）、式（6）進行計算，得出 E_?2=0.04984 、 F₂= -0.04978 。 E₂≠F₂ ，說明V點不是齒輪2齒根處不發(fā)生過渡曲線干涉的極限點。如前所述，這也是修正前封閉線圖出現(xiàn)的錯誤之一。

1.6GH段曲線上VI點的計算值

GH段曲線是齒輪1齒頂厚度等于0的限制曲線，GH段曲線上VI點的坐標為（1.45078，-1.38958）。

齒輪1齒頂厚度等于0的限制條件計算式為

式中， s₁ 為齒輪1的分度圓齒厚， mm . r_al 為齒輪1的齒頂圓半徑， mm 。

將V點的坐標（1.45078，-1.38958）代入式（10）進行計算，結果 s_al=0. 000 96 。這說明V點是齒輪1齒頂厚度等于0的極限點之一。

1.7 驗算結論

在張展主編的《漸開線變位齒輪傳動》中的235幅封閉線圖中隨機抽取25幅，對限制曲線上的極限值進行驗算，發(fā)現(xiàn) AB 段曲線上I點處的 E₁≠F₁ ， FG 段曲線上V點處的 E₂≠F₂ 。而理論上應該是相等的，這說明限制條件計算式有誤，需要對封閉線圖中根切至齒輪1、2齒廓工作段起始點限制條件和齒輪1、2齒根處不發(fā)生過渡曲線干涉的限制條件進行修正。

2修正前限制條件及計算式出錯原因分析

2.1修正前根切至齒輪齒廓工作段起始點的限制條件計算式推導和極限限制條件

如圖5所示，以相嚙合的一對漸開線直齒圓柱齒輪傳動中的齒輪1為例分析。齒輪嚙合過程中，每一對齒進入嚙合瞬時，是由主動齒輪（齒輪1）的齒根部分撥動從動齒輪（齒輪2）的齒頂。進入嚙合瞬時的第1個接觸點應為從動齒輪齒頂圓與嚙合線的交點（ ?_B2 點）。每一對齒退出嚙合瞬時，是由主動齒輪（齒輪1）的齒頂撥動從動齒輪（齒輪2）的齒根部分。退出嚙合瞬時的最后1個接觸點應為主動齒輪齒頂圓與嚙合線的交點 （B₁） 點）。所以，進入嚙合瞬時的第1個接觸點，即主動齒輪1齒廓工作段起始點（由齒輪嚙合傳動而定），為 B₂ 點，該點在齒輪1漸開線齒廓上的位置可以用該點的半徑 O₁B₂ 表示。

在 ΔO₂N₂B₂ 和 ΔO₂N₂C 中，

0.5mz₂cosα（tanα_a2-tanα^′）

主動齒輪1的節(jié)圓半徑為

整理得出

圖6所示為用標準齒條型插刀加工的漸開線齒輪（已產生根切），修正前是以 O₁B₂^′ 為最大根切半徑（標準齒條型插刀基本齒廓與被加工齒輪的漸開線齒廓到達Ⅲ位置時，兩齒廓分離）。在ΔO₁KB₂^′ 中，

令圖5中的 ，圖6中的 ，則得到根切至齒輪1齒廓工作段起始點的計算式為

根切點與齒廓工作段的起始點重合時，為合理根切的極限情況[4]213。根切至齒輪1齒廓工作段起始點的極限限制條件是 B₁=C₁ 。用相同的方法也可以推導出相嚙合一對齒輪中的齒輪2的限制條件計算式及極限限制條件。

2.2修正前不產生齒根過渡曲線干涉的限制條件計算式推導和極限限制條件

當一齒輪的齒頂與另一齒輪根部的過渡曲線接觸時，不能保證傳動比為常數(shù)，此種情況稱為過渡曲線干涉[2]8-14

如圖5所示，以相嚙合的一對漸開線直齒圓柱齒輪傳動中的齒輪1為例分析。 B₂ 為齒輪1齒廓工作段起始點（由齒輪嚙合傳動而定）， 為齒廓工作段起始點 B₂ 至嚙合線與齒輪1基圓的切點 N_?1 的距離。圖7所示為用標準齒條型插刀加工的漸開線齒輪。 B₂^′ 點為齒廓漸開線的起始點（由齒輪加工而定）， 為齒廓漸開線起始點 B₂^′ 至嚙合線與齒輪1基圓的切點 N₁^′ 的距離。為了避免齒根過渡曲線干涉發(fā)生，要求 點在實際嚙合線 B₁B₂ 以外，不會發(fā)生過渡曲線干涉； B₂ 點與 B₂^′ 點重合時，即為過渡曲線干涉的極限情況），即可保證在齒輪1齒廓（包括齒根過渡曲線部分和漸開線部分5）工作段起始點 B₂ 處的半徑大于齒廓漸開線的起始點 B₂^′ 處的半徑，也就是 ，如圖8所示。

在圖5中有

在圖7中有

相嚙合兩齒輪齒廓的接觸點與齒廓工作段的起始點重合時，為干涉的極限情況[4213。令 ， ，齒輪1未根切時不產生齒根過渡曲線干涉的極限限制條件是 E₁=F₁ 。因為 E₁ 、 F₁ 中都含有r_bl ，所以，只比較括號內的值即可。用相同的方法也可以推導出相嚙合一對齒輪中齒輪2的限制條件計算式和極限限制條件。

但是，當 x₁1min （根切）時， B₂ 點在 N₁^′ 點之外，已經不能用 E_?1=F_?1 來保證不產生齒根過渡曲線干涉了。

2.3最大根切半徑的提出及驗證

張偉等[3]156提出了最大根切半徑的概念。過了產生最大根切半徑這一位置以后，標準齒條型插刀基本齒廓與被加工齒輪漸開線齒廓就會分離，齒廓漸開線起始點位置實際上取決于刀具的齒頂線與嚙合線的交點 B₂ 的位置，這一描述是錯誤的。

委托國家齒輪產品質量檢驗檢測中心按照給定齒輪參數(shù)加工出齒輪樣品并進行檢測，相對誤差值在 -0.01%～-0.44% ，如表1所示。從而驗證了計算機模擬計算出的最大根切半徑 r_gmax 是正確的。

2.4 出錯原因分析

不產生齒根過渡曲線干涉的限制條件計算式和極限限制條件，當 x₁‰ （不根切）時是正確的。但是，根切至齒輪齒廓工作段起始點的限制條件計算式和極限限制條件以及 x₁1min （根切）時，不產生齒根過渡曲線干涉的限制條件計算式和極限限制條件是錯誤的。綜前所述，不根切時齒廓漸開線起始點是標準齒條型插刀的齒頂線（去掉齒頂圓弧部分）與嚙合線的交點 B₂（B₂ 點在最大理論嚙合線長度 N₁N₂ 范圍內）。但是，產生根切時，齒廓漸開線起始點應該是最大根切半徑 r_gmax 與嚙合線的交點 B₂^′（ 。由此可見，出錯的原因是齒輪發(fā)生根切時，確定齒廓工作段起始點的位置不正確。

3對限制條件計算式進行修正

3.1對根切至齒輪1齒廓工作段起始點的限制條件計算式進行修正

關于“根切至齒輪齒廓工作段起始點”這一問題，首先研究的是根切后的齒輪，所以齒廓工作段起始點就應該是最大根切半徑 r_gmax1 與齒輪漸開線齒廓的交點 B₂^′ ，如圖9所示。

由圖1可知，C，=O，B=rgmax10

根切至齒輪1齒廓工作段起始點的限制條件計算式為

同理，根切至齒輪2齒廓工作段起始點的限制條件計算式為

修正前、后根切至齒輪齒廓工作段起始點的限制曲線對比，如圖2和圖10所示?？梢?，修正后變位系數(shù)的選擇范圍比修正前變大了。

3.2對 x₁1min （根切）時不產生齒根過渡曲線干涉的限制條件計算式進行修正

如圖9所示，最大根切半徑 r_gmax1 與嚙合線的交點為 B₂^′ 點。從圖9可以看出， B₂^′ 點為齒廓漸開線起始點，按圖1中的直角三角形 ΔO₁N₁^′B₂^′ ，則可以推導出

令 ，所以，根切時不產生齒根過渡曲線干涉的極限限制條件是 E₁=F₁^′

曲線 ① ——修正后根切至齒輪1漸開線齒廓工作段起始點的限制曲線和齒輪1齒根處不發(fā)生過渡曲線干涉的限制曲線；曲線 ② —修正前根切至齒輪1漸開線齒廓工作段起始點的限制曲線；曲線 ③ 修正后根切至齒輪2漸開線齒廓工作段起始點的限制曲線和齒輪2齒根處不發(fā)生過渡曲線干涉的限制曲線；曲線 ④ —修正前根切至齒輪2漸開線齒廓工作段起始點的限制曲線。

由此得到，齒輪1不產生齒根過渡曲線干涉的限制條件計算式為

當 x₁gtrsimx_lmin （不根切）時

當 x₁lmin （根切）時

同理，齒輪2不產生齒根過渡曲線干涉的限制條件計算式為

當 x₂≥x_2min （不根切）時

當 x₂2min （根切）時

3.3檢驗修正后封閉線圖上根切至齒廓工作段起始點的限制曲線和不產生齒根過渡曲線干涉的限制曲線上的計算值

圖11所示為修正后的變位系數(shù)選擇的封閉線圖。表2所示為限制曲線上的計算值。

從表2可以看出，在 AB 段曲線和 FG 段曲線上，B₁=C₁ ， E₁=F₁^′ 和 B₂=C₂ 、 E₂=F₂₀^′ 可以得出，在 AB 段，根切至齒輪1齒廓工作段起始點的限制曲線和齒輪1齒根處不發(fā)生過渡曲線干涉的限制曲線是重合的；同理，在FG段，根切至齒輪2齒廓工作段起始點的限制曲線和齒輪2齒根處不發(fā)生過渡曲線干涉的限制曲線是重合的。這也就論證了“相嚙合兩齒廓的接觸點與齒廓工作段的起始點重合時，為干涉的極限情況”[4]213的觀點是正確的，也證明了修正前封閉線圖上根切至齒廓工作段起始點的限制曲線和不發(fā)生齒根過渡曲線干涉的限制曲線是錯誤的，同時也說明了對封閉線圖限制條件進行修正的必要性。

注：曲線1——根切至齒輪1齒廓工作段起始點的限制曲線；曲線2——齒輪1齒根處不發(fā)生過渡曲線干涉的限制曲線；曲線3—根切至齒輪2齒廓工作段起始點的限制曲線；曲線4——齒輪2齒根處不發(fā)生過渡曲線干涉的限制曲線。

4結論

經過計算機編程、計算以及模擬分析，深入探討了齒輪變位系數(shù)選擇過程中封閉線圖上根切至齒廓工作段起始點的限制曲線和不發(fā)生齒根過渡曲線干涉的限制曲線所存在的錯誤。為驗證這一發(fā)現(xiàn)，進行了試驗驗證。結果顯示，錯誤的根源在于齒輪加工過程中齒廓漸開線起始點位置的確定存在偏差。當 x≥x_min （不發(fā)生根切）時，標準齒條型插刀齒頂線（去掉齒頂圓弧部分）與嚙合線會在 B₂ 點相交，此時的齒廓漸開線起始點應確定為以齒輪回轉中心為圓心、以回轉中心到 B₂ 點的距離為半徑所繪制的圓與齒輪齒廓漸開線的交點。相反，當 xmin （發(fā)生根切）時，齒廓漸開線的起始點則應為最大根切半徑與齒輪漸開線齒廓的交點。基于這一發(fā)現(xiàn)，推導出了準確的限制條件計算式，確保了齒輪傳動變位系數(shù)選擇的封閉線圖能夠精確繪制。這一研究為變位齒輪設計時能夠采用封閉線圖正確選擇變位系數(shù)、優(yōu)化齒輪傳動性能、改善嚙合特性、近似實現(xiàn)等強度等提供了堅實的基礎和技術支撐。

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Research on the correction of enclosed line diagram limiting conditions for theselection of geartransmission modification coefficients

ZHANG Wei'HOU Xiaochen2 HOU Keqing3 （1.Information Engineering Department，Changzhi VocationalandTechnical Collge，Changzhi O460l1，China） （2.Huaxin Gas Group Shanxi Natural Gas Co.，Ltd.， Taiyuan O30o32， China） 3.Mechanicalamp;ElectricalEngineeringDepartment，Changzhi VocationalandTechnicalCollge，ChangzhiO46oChina）

Abstract：[Objective]Todeterminethemodificationcoeffcient usingawell-definedandcomprehensiveenclosed line diagrammethd，theaimistooptiizethetransmissionperformaneofmodifiedgears，mprovemeshingcharacteristicseduce structuraldimensions，andapproximatelyfulfilldesignrequirementssuchasequalstrength.[Methods]Averificationwas conductedonthelimitvaluesof235enclosedlinediagramsonthelimitingcurveinInvoluteModifiedGearTransmissionedited byZhangZhan.Duringthisprocess，itwasdiscoveredthattheoriginalenclosedlinediagramhaderors indeterminingthe starting point positionof theinvolute profileworking sectionwhen setting certain limitingconditions.Inresponseto this technicalchalenge，the problem of determining the starting point positionof the involuteprofileworking section was succesfullysolved，andtheorrespondingcalculationformulaforthelimitingconditionswasderived.Onthisbasis，the “EnclosedDiagram Software for Gear Modification Coefficient Selection V2.0”was developed using VB.NETlanguage. [Results]The vector enlosed line diagramwas accurately drawn onthe AutoCADplatform，and necessarycorections were made to the original erroneous enclosed line diagram.

Keywords：Enclosed line diagram;Starting pointof tooth profileworkingsegment;Maximumundercutradius;Limiting condition