4個運(yùn)動解耦的單回路兩自由度三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)的拓?fù)湓O(shè)計及其位置封閉解研究

中圖分類號：TH112 DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2025.06.008

0 引言

單回路并聯(lián)機(jī)構(gòu)被視為兩支鏈的、結(jié)構(gòu)最為簡單的一類并聯(lián)機(jī)構(gòu)，這類機(jī)構(gòu)自由度少、能耗低，是構(gòu)成復(fù)雜空間多回路機(jī)構(gòu)的單元和基礎(chǔ)[-3]，有著重要的學(xué)術(shù)價值和廣泛的應(yīng)用前景4。但相比于以多自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)為代表的空間多回路機(jī)構(gòu)研究而言，目前，學(xué)術(shù)界對單回路機(jī)構(gòu)的拓?fù)洹⑦\(yùn)動學(xué)和動力學(xué)的研究相對較少，特別是對由純低副組成的單回路機(jī)構(gòu)。

少輸入-多輸出機(jī)構(gòu)是一類特殊的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，這類機(jī)構(gòu)的自由度少于其輸出構(gòu)件的運(yùn)動類型和數(shù)目（方位特征，Positionand OrientationCharacteristics，POC），故可用于篩分、混合、攪拌等需要復(fù)雜、多維的空間運(yùn)動，且對精度要求不高的場合[5-7]。若能結(jié)合單回路機(jī)構(gòu)與少輸入-多輸出機(jī)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)，則能夠得到結(jié)構(gòu)簡單、能耗低，同時又能實(shí)現(xiàn)空間復(fù)雜運(yùn)動的機(jī)構(gòu)，顯著提高生產(chǎn)效率，在實(shí)際應(yīng)用中具有顯著優(yōu)勢。

單回路機(jī)構(gòu)只有兩條支鏈，支鏈間相互約束的能力小。當(dāng)運(yùn)動副數(shù)量較多時，位置求解較為復(fù)雜、困難。位置求解是所有機(jī)構(gòu)研究的基礎(chǔ)，主要求解方法有數(shù)值法（ n 維搜索法，逐次逼近法等）、解析法（矢量分析法，序單開鏈法等）[8-9。如能求得其解析解，則會為機(jī)構(gòu)的后續(xù)研究，如工作空間、誤差分析以及動力學(xué)研究，帶來方便[0-1]

為此，本文構(gòu)造了一類4個新型單回路的兩自由度三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)，它們都具有部分運(yùn)動解耦性。計算了其自由度；導(dǎo)出了它們位置正解的一元八次方程（封閉解）以及符號式位置反解，并用數(shù)值法驗(yàn)證了其準(zhǔn)確性；同時，通過正解方程分析了其動平臺輸出運(yùn)動間的關(guān)聯(lián)性，為后續(xù)研究提供了技術(shù)支持。

1機(jī)構(gòu)拓?fù)湓O(shè)計與分析

為使機(jī)構(gòu)能夠用于篩分、混合、攪拌等需要復(fù)雜、多維的空間運(yùn)動的場合，動平臺的輸出元素應(yīng)不小于3個位移量。據(jù)此原則，初步確定所構(gòu)造新型機(jī)構(gòu)的末端P0C集為3T（3平移），支鏈數(shù)目為2（即單回路），自由度為2。

1.1拓?fù)湓O(shè)計的基本方程

機(jī)構(gòu)支鏈末端串聯(lián)POC集（ （M_bi） 與機(jī)構(gòu)動平臺并聯(lián)POC集 （M_pa） 方程[12]3，56[1313分別為

M_bi=?_k=1^mM_Jk

M_pa=?_i=1ⁿM_bi

式中， M_Jk 為第 k 個運(yùn)動副的POC集； ?_m 為運(yùn)動副數(shù)；M_bi 為第 i 條支鏈末端的POC集； n 為支鏈數(shù)； M_pa 為機(jī)構(gòu)動平臺的POC集。

1. 2 支鏈設(shè)計

1.2.1 支鏈I的設(shè)計

由式（2）易知，機(jī)構(gòu)的每條支鏈都必須至少包含3個移動元素。將一個移動副 P₁₁ 和兩個轉(zhuǎn)動副組 依次首尾相連，組成支鏈 I^[14-15] 。根據(jù)移動副與靜平臺0、動平臺1的連接關(guān)系，支鏈I可有4種形式，分別如圖1（a）＼～圖1（d）所示。其中，支鏈I-1、I-2、I-3的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可記為： ；支鏈I-4的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可記為： 。

由式（1）可知，上述4種支鏈I末端構(gòu)件的POC 集為

M_bl=M_p∪M₁∪M₂=[t¹（//P₁₁）]∪[t²（⊥R₁₂）]∪

因此，支鏈I末端輸出運(yùn)動為3T2R（3平移2轉(zhuǎn)動），包含設(shè)計所需的3T位移元素。

1.2.2 支鏈Ⅱ的設(shè)計

為使結(jié)構(gòu)簡單，采用最簡易的由一個P副與兩個軸線相互平行的轉(zhuǎn)動副平行串聯(lián)組成的方式，如圖2所示。其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可記為：支鏈Ⅱ 。

由式（1）可得，支鏈Ⅱ的POC集為

因此，支鏈 I 末端輸出運(yùn)動為3T1R（3平移1轉(zhuǎn)動），包含設(shè)計所需的3T位移元素。

1.3 機(jī)構(gòu)構(gòu)造

為得到三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)，需消除支鏈I、支鏈I 中各自存在的轉(zhuǎn)動元素。為此，將支鏈I中 R₁₃ 、R₁₅ 副軸線與支鏈Ⅱ中 R₂₃ 副軸線均作垂直布置。根據(jù)這一原則，可以組成4種單回路空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)，分別如圖3（a）＼～圖3（d）所示。

由式（2）可知，這4個機(jī)構(gòu)動平臺的P0C集均為

因此，該機(jī)構(gòu)動平臺具有三平移的特性。

1. 4 自由度分析

非瞬時自由度（亦稱全周自由度）的計算式[121713140為

式中， F 為機(jī)構(gòu)自由度； f_k 為第 k 個運(yùn)動副的自由度（不含局部自由度）； Φ_ν 為獨(dú)立回路數(shù) （ν=m-p+1 ，p 為機(jī)構(gòu)所含的構(gòu)件數(shù)）； ξ_?Lj 為第 j 個回路的獨(dú)立位移方程數(shù)； ?_i=1^jM_bi 為由前 j 條支鏈組成的子并聯(lián)機(jī)構(gòu)的POC集； M_b（j+1） 為第 j+1 條支鏈末端構(gòu)件的POC集。

由式（4）可知，上述4個機(jī)構(gòu)的獨(dú)立位移方程數(shù)均為

因此，由式（3）求得，這4個機(jī)構(gòu)的自由度均為

這樣，當(dāng)取靜平臺上的 P₁₁ 、 P₂₁ 為驅(qū)動副時，動平臺1可實(shí)現(xiàn)三平移輸出，但只有兩個移動是獨(dú)立運(yùn)動量，另一個移動量為派生的運(yùn)動量。

下面分別對這4個單回路機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動學(xué)位置分析與求解。

2 運(yùn)動學(xué)分析

2.1機(jī)構(gòu)1位置正反解分析

機(jī)構(gòu)1的運(yùn)動學(xué)建模如圖4所示。

以靜平臺0導(dǎo)軌上一點(diǎn) o 為原點(diǎn)建立笛卡兒靜坐標(biāo)系 O-XYZ ， X 軸垂直于 P₂₁ 軸線方向， Y 軸與 P₂₁ 軸線方向重合， Z 軸方向由右手定則確定；動坐標(biāo)系_o-xyz 原點(diǎn)位于動平臺1幾何中心 σ_o ， x 軸、 y 軸、 z 軸分別平行于 X 軸、 Y 軸、 Z 軸。

設(shè) ， ， ， ， ， ，

2.1.1 機(jī)構(gòu)1位置正解分析

設(shè) ， ，向量 l_B4B5 與 x 軸正方向的夾角為 α 。該機(jī)構(gòu)位置正解可歸結(jié)為：已知靜平臺0上A₁A 、 B₁B 的位移距離 ，求動平臺1上原點(diǎn) Σ_o 坐標(biāo) 。

在靜坐標(biāo)系 O-XYZ 中， ， A₂= （x₁，-a，l₁），B₁=（x₂，a，0），B₂=（x₂，a，l₆）

在動坐標(biāo)系中， b，z），B₄=（x-l₃cosα，y+b，z-l₃sinα），

因桿 A₂A₃ 在運(yùn)動過程中始終與 X 軸垂直，桿 B₂B₃ 在運(yùn)動過程中始終平行于水平面，則有

由幾何約束 ， ，分別建立位置方程，有

由式（7）得

將式（5）、式（8）代入式（6），化簡可得

式中， J₁=l₄-l₁+l₆;K₁=a-b;L₁=x₁-x₂;M₁=

進(jìn)一步，化簡得

式中， n₁=n₂=l₃⁴;n₃=-2l₃⁴;n₄=4J₁l₃³;n₅=4L₁l₃³; （20

令 u=tan（α/2） ，代入式（9），整理可得

因 （1+u²）⁴≠0 ，所以

式中， T₀=n₁+n₅+n₉+n₁₂+n₁₃;T₁=2n₆+2n₁₀+ （204 2n11； T₂=4n₃-4n₁-2n₅+4n₇+4n₈+2n₁₂+4n₁₃; （2 T₃=8n₄-2n₆+2n₁₀+6n₁₁;T₄=6n₁+16n₂-8n₃+ （204號 （204號 T₆= 4n₃-4n₁+2n₅-4n₇+4n₈-2n₁₂+4n₁₃;T₇=2n₆- （204號 2n₁₀+2n₁₁;T₈=n₁-n₅+n₉-n₁₂+n₁₃₀ （204號

式（11）為一元八次非線性方程，可用迭代法求解所有實(shí)數(shù)解，再由 u=tan（α/2） 求解變量 α ，故正解為

由式（12）可知，機(jī)構(gòu)1動平臺在 x 方向上的移動僅由 x₁ 決定，因此，機(jī)構(gòu)具有部分運(yùn)動解耦性； y 方向上運(yùn)動由 決定；而在 z 方向上的移動量與驅(qū)動輸人不直接相關(guān)，是γ方向運(yùn)動量的派生量。

2.1.2 機(jī)構(gòu)1位置反解分析

機(jī)構(gòu)1的位置反解可歸結(jié)為：已知動平臺1質(zhì)心 ，求驅(qū)動副 P₁₁ 、 P₂₁ 的輸入位置 x₁ 、 x₂ 。

由式（5）可得

x₁=x

將式（14）代入式（7）并化簡，可得

式（13）、式（15）即為機(jī)構(gòu)1的反解。

2.1.3機(jī)構(gòu)1正反解數(shù)值算例

設(shè)機(jī)構(gòu)1的尺寸參數(shù)： a=50mm，b=30mm，l₁= 20mm，l₂=40mm，l₃=20mm，l₄=20mm，l₅= 20mm ， l₆=20mm 。

為此，建立機(jī)構(gòu)1的三維CAD模型，從中測量得到，兩個驅(qū)動副 P₁₁ 、 P₂₁ 的初始輸入位置分別為 x₁= -31.5975、 x₂=-65.3866 ，相對應(yīng)基點(diǎn) σ_o 的輸出值分別為 x=-31.5975 ！ y=7.7796 ！ z=48.7889 。

1）封閉式正解的驗(yàn)證當(dāng) x₁=-31.5975 、 x₂=-65.3866 時，有

利用二分法對 f（u） 進(jìn)行迭代求解，得到8組解，其中，2組實(shí)數(shù)解 u 及其對應(yīng)的 α 值如表1第2、第3列所示。

將 α 值代人式（12），得到機(jī)構(gòu)1對應(yīng)的位置正解，如表1右邊兩列所示。顯然，表1中第2組解 y= 7.7945、 z=48.7979 ，與三維模型測量值的誤差在1% 之內(nèi)。因此，機(jī)構(gòu)1的一元八次方程（封閉解）推導(dǎo)正確。

2）符號式反解的驗(yàn)證

將3D模型中測量的動平臺基點(diǎn) Σ_o 的輸出值 x= -31.5975、 y=7.779 6 、 z=48.7889 ，代入式（13）、式（15），得到對應(yīng)的2組輸入值，如表2所示。

由表2可知，第1組理論值 x₁=-31.5975 、 x₂= -65.3952與三維模型測量值的相對誤差在 1% 之內(nèi)。因此，機(jī)構(gòu)1位置反解的公式推導(dǎo)正確。

2.2機(jī)構(gòu)2位置正反解分析

機(jī)構(gòu)2的運(yùn)動學(xué)建模如圖5所示。靜坐標(biāo)系 O- XYZ 與動坐標(biāo)系 _o-xyz 的建立與第2.1節(jié)所述相似。進(jìn)一步，設(shè) ， ， ， ， l₃ ， ， ， 。

2.2.1 機(jī)構(gòu)2位置正解分析

設(shè) ， ，向量 l_B3B2 與 x 軸正方向的夾角為 α 。

該機(jī)構(gòu)位置正解可歸結(jié)為：已知靜平臺0上 A₁A ）B₁B 的位移距離 ，求動平臺1上基點(diǎn) σ_o 的坐標(biāo) 。

在靜坐標(biāo)系 O-XYZ 中， ）， A₂= （x₁，-a，l₁），B₁=（x₂，a，0），B₂=（x₂，a，l₆） ， B₃= （x-l5 cosα，a， l₆+l₅sinα， ）， a， l₆+ l₅sinα+l₄）

由動平臺基點(diǎn) ，得

因桿 A₂A₃ 在運(yùn)動過程中始終與 X 軸垂直，桿 B₄B₅ 在運(yùn)動過程中始終平行于水平面，則有

由幾何約束 ，分別建立方程，有

（y-b+a）²+（z-l₁）²=l₂²

（x-x₂+l₅cosα）²+（y+b-a）²=l₃²

由式（18）得

將式（16）、式（19）代入式（17），化簡可得

式中， J₂=l₄-l₁+l₆;K₂=a-b;L₂=x₁-x₂;M₂= 1

進(jìn)一步，化簡得

式中， n₁=n₂=l₅⁴;n₃=-2l₅⁴;n₄=4J₂l₅³;n₅=4L₂l₅³; n₆=-4J₂l₅³;n₇=-4L₂l₅³;n₈=2l₅²（2J₂²+M₂）;n₉= 1-2l₅²（M₂-8K₂²-2L₂²）;n₁₀=-8J₂L₂l₅²;n₁₁=4J₂M₂l₅; n₁₂=-4L₂l₅（M₂-8K₂²）;n₁₃=-N_2^°

令 u=tan（α/2） ，代入式（20），整理可得

因 （1+u²）⁴≠0 ，所以

式中， T₀=n₁+n₅+n₉+n₁₂+n₁₃;T₁=2n₆+2n₁₀+ （204號 2n₁₁ ； T₂=4n₃-4n₁-2n₅+4n₇+4n₈+2n₁₂+4n₁₃ T₃=8n₄-2n₆+2n₁₀+6n₁₁;T₄=6n₁+16n₂-8n₃+ （204號 T6= 4n₃-4n₁+2n₅-4n₇+4n₈-2n₁₂+4n₁₃;T₇=2n₆- 2n₁₀+2n₁₁;T₈=n₁-n₅+n₉-n₁₂+n₁₃° （20

式（22）為一元八次非線性方程，可用迭代法求解所有實(shí)數(shù)解，再由 u=tan（α/2） 求解變量 α ，故正解為

由式（23）可以看出，機(jī)構(gòu)2動平臺在 x 方向上的移動僅由 x₁ 決定，因此，機(jī)構(gòu)具有部分運(yùn)動解耦性；y 方向上運(yùn)動由 決定；而在 z 方向上的移動量與驅(qū)動輸入不直接相關(guān)，是 y 方向運(yùn)動量的派生量。

2.2.2 機(jī)構(gòu)2位置反解分析

機(jī)構(gòu)2的位置反解可歸結(jié)為：已知動平臺1質(zhì)心 ，求驅(qū)動副 P₁₁ 、 P₂₁ 的輸入位置 x₁ 、 x₂， 。

由式（16），可得

將式（25）代入式（18）并化簡，可得

式（24）、式（26）即為機(jī)構(gòu)2的反解。

2.2.3機(jī)構(gòu)2正反解數(shù)值算例

設(shè)機(jī)構(gòu)2的尺寸參數(shù)為： a=50mm ， b=30mm l₁=20mm，l₂=40mm，l₃=20mm，l₄=20mm 1，l₅=20mm，l₆=20mm 。

為此，建立機(jī)構(gòu)2的三維CAD模型，從3D模型中測量得到，兩個驅(qū)動副 P₁₁ 、 P₂₁ 的初始輸入位置分別為 x₁=-52.5246 、 x₂=-48.9037 ，相對應(yīng)基點(diǎn) σ_o 的輸出值分別為x=-52.5246、y=4.5236、 z= 51.617 4。

1）封閉式正解的驗(yàn)證當(dāng) x₁=-52.5246 、 x₂=-48.9037 時，有

利用二分法對 f（u） 求解，得到8組解，其中，2組實(shí)數(shù)解 u 及其對應(yīng)的 α 值如表3第2、第3列所示。將 α 值代入式（23），得到機(jī)構(gòu)2對應(yīng)的正解如表3右邊兩列所示。

顯然，表中第4組解 x=-52.524 6 1 y=4.5240 z=51.6039 ，與三維模型測量值的誤差在 1% 之內(nèi)。因此，機(jī)構(gòu)2的一元八次方程（封閉解）推導(dǎo)正確。

2）符號式反解的驗(yàn)證

將3D模型中測量的動平臺基點(diǎn) σ_o 的輸出值 x= -52.5246、 y=4.523 6 、 z=51.6174 ，代入式（24）、式（26），得到對應(yīng)的2組輸入值，如表4所示。

由表4可知，第2組理論值 x₁=52.524 6 、 x₂= -48.9128與三維模型測量值的相對誤差在 1% 之內(nèi)。因此，機(jī)構(gòu)2位置反解的公式推導(dǎo)正確。

2.3機(jī)構(gòu)3位置正反解分析

機(jī)構(gòu)3的運(yùn)動學(xué)建模如圖6所示。靜坐標(biāo)系 O- XYZ 與動坐標(biāo)系 _o-xyz 的建立與第2.1節(jié)所述相似。進(jìn)一步，設(shè) ， ， ， ，

2.3.1 機(jī)構(gòu)3位置正解分析

設(shè) ， ，向量 l_B4B5 與 x 軸正向的夾角為 α 。

該機(jī)構(gòu)位置正解可歸結(jié)為：已知靜平臺0上 ） 的位移距離 ，求動平臺1上基點(diǎn) σ_o 的坐標(biāo)（2號 。

在靜坐標(biāo)系 O-XYZ 中， ， A₂= （x₁，-a，l₁），B₁=（0，y₁，0），B₂=（0，y₁，l₆）

在動坐標(biāo)系中，由動平臺基點(diǎn) 可得 ，進(jìn)一步，點(diǎn)B₄ 、 B₃ 的坐標(biāo)： （204號

因桿 A₂A₃ 在運(yùn)動過程中始終與 X 軸垂直，桿 B₂B₃ 在運(yùn)動過程中始終平行于水平面，則有

由幾何約束 ，分別建立方程，有

（y-b+a）²+（z-l₁）²=l₂²

（x-l₃cosα）²+（y+b-y₁）²=l₅²

由式（29）得

將式（27）、式（30）代人式（28），化簡可得

式中， J₃=l₄-l₁+l₆;K₃=a-2b;L₃=l₅²-x₁²; （204號M₃=J₃²+K₃²+L₃+2K₃y₁+y₁²-l₂²;N₃=2K₃²+2y₁²+ （2號4K₃y₁-M₃;O₃=4L₃y₁²-M₃²+8K₃L₃y₁+4K₃²L₃₀

進(jìn)一步，化簡得

式中， n₁=n₂=l₃⁴;n₃=-2l₃⁴;n₄=4J₃l₃³;n₅=-4l₃³x₁ （20（204號 n₆=-4J₃l₃³;n₇=4l₃³x₁;n₈=2l₃²（2J₃²+M₃）; n₉= 2l₃²（N₃+2x₁²）;n₁₀=8J₃l₃²x₁;n₁₁=4J₃M₃l₃; n₁₂= -4N₃l₃x₁;n₁₃=-O₃₀ （204號

令 u=tan（α/2） ，代入式（31）整理可得

因 （1+u²）⁴≠0 ，所以

式（33）為一元八次非線性方程，可用迭代法求解所有實(shí)數(shù)解，再由 u=tan（α/2） 求解變量 α ，故正解為

由式（34）可以看出，機(jī)構(gòu)3動平臺在 x 方向上的移動僅由 x₁ 決定，因此，機(jī)構(gòu)具有部分運(yùn)動解耦性；y 方向上運(yùn)動由 決定；而在 z 方向上的移動量與驅(qū)動輸入不直接相關(guān)，是 y 方向運(yùn)動量的派生量。

2.3.2機(jī)構(gòu)3位置反解分析

機(jī)構(gòu)3的位置反解可歸結(jié)為：已知動平臺1質(zhì)心 ，求驅(qū)動副 P₁₁ 、 P₂₁ 的輸入位置 。

由式（27），可得

x₁=x

將式（36）代入式（29）并化簡，可得

式（35）、式（37）即為機(jī)構(gòu)2的反解。

2.3.3機(jī)構(gòu)3正反解數(shù)值算例

設(shè)機(jī)構(gòu)3的尺寸參數(shù)為： a=50mm ， b=30mm l₁=20mm，l₂=40mm，l₃=20mm，l₄=20mm l₅=20mm，l₆=20mm □

為此，建立機(jī)構(gòu)3的三維CAD模型，從3D模型中測量得到，兩個驅(qū)動副 P₁₁ 、 P₂₁ 的初始輸入位置分別為 _{x1=22.638 1} 、 y₁=19.549 9 ，相對應(yīng)基點(diǎn) σ_o 的輸出值分別為 _x=22.6381 、 y=9.0394 、 z=47.521 0 。

1）封閉式正解的驗(yàn)證當(dāng) x₁=22.638 1 、 y₁=19.5499 時，有

用二分法對 f（u） 求解，得到8組解，其中，2組實(shí)數(shù)解 u 及其對應(yīng)的 α 值如表5第2、第3列所示。將α 值代入式（34）得到，機(jī)構(gòu)3對應(yīng)的正解如表5右邊兩列所示。

顯然，表中第2組解 x=22.6381.y=9.1332、z= 47.4099，與三維模型測量值的誤差在 1% 之內(nèi)。因此，機(jī)構(gòu)3的一元八次方程（封閉解）推導(dǎo)正確。

2）符號式反解的驗(yàn)證

將3D模型中測量的動平臺基點(diǎn) σ_o 的輸出值 x= 22.6381、 y=9.039 4 、 z=47.521 0 ，代入式（35）、式（37），得到對應(yīng)的2組輸入值，如表6所示。

由表6可知，第2組理論值 x₁=22.638 1 、 y₁= 19.4674與三維模型測量值的相對誤差在 1% 之內(nèi)。因此，機(jī)構(gòu)3位置反解的公式推導(dǎo)正確。

2.4機(jī)構(gòu)4位置正反解分析

機(jī)構(gòu)4的運(yùn)動學(xué)建模如圖7所示。靜坐標(biāo)系 O- XYZ 與動坐標(biāo)系 _o-xyz 的建立與第2.1節(jié)所述相似。進(jìn)一步，設(shè) ， ， ， ， l₄ ， ，

2.4.1機(jī)構(gòu)4位置正解分析

設(shè) ， ，向量 l_B2B3 與 x 軸正方向的夾角為 α 。

該機(jī)構(gòu)的位置正解可歸結(jié)為：已知靜平臺上 、 的位移距離 ，求動平臺1上基點(diǎn) σ_o 的坐標(biāo) ○

在靜坐標(biāo)系 O-XYZ 中， A₁=（x₁，-a，0） ， A₂= （204號進(jìn)一步，點(diǎn) B₃ 、 B₄ 的坐標(biāo)： l₅sinα），B₄=（l₅cosα，y₁，l₆+l₅sinα+l₄）₉ 。

由動平臺基點(diǎn) 得

因桿 A₂A₃ 在運(yùn)動過程中始終與 X 軸垂直，桿 B₂B₃ 在運(yùn)動過程中始終平行于水平面，則有

由幾何約束 ，分別建立方程，有

（y-b+a）²+（z-l₁）²=l₂²

（x-l₅cosα）²+（y+b-y₁）²=l₃²

由式（40）得

將式（38）、式（41）代人式（39），化簡可得f（α）=l_s⁴cos⁴α+l_s⁴sin⁴α-2l_s⁴cos²αsin²α+ 4J₄l₅³sin³α-4l₅³x₁cos³α-4J₄l₅³cos²αsinα+ 4l₅³x₁cosαsin²α+2l₅²（2J₄²+2M₄）sin²α+ 2l₅²（N₄+2x₁²）cos²α+8J₄l₅²x₁cosαsinα. +4J₄M₄l₅sinα-4N₄l₅x₁cosα-O₄=0 式中， J₄=l₄-l₁+l₆;K₄=a-2b;L₄=l₃²-x₁²; M₄=J₄²+K₄²+L₄+2K₄y₁+y₁²-l₂²;N₄=2K₄²+2y₁² +4K₄y₁-M₄;O₄=4L₄y₁²-M₄²+8K₄L₄y₁+4K₄²L₄₀

進(jìn)一步，化簡得 n₁₂cosα+n₁₃=0 （204 （42）

式中， n₁=n₂=l₅⁴;n₃=-2l₅⁴;n₄=4J₄l₅³ （202/ I₄）;n₉=2l₅²（N₄+2x₁²）;n₁₀=8J₄l₅²x₁;n₁₁= （204號 4J₄M₄l₅;n₁₂=-4N₄l₅x₁;n₁₃=-O₄₀

令 u=tan（α/2） ，代入式（42），整理可得

因 （1+u²）⁴≠0 ，所以

式中， T₀=n₁+n₅+n₉+n₁₂+n₁₃;T₁=2n₆+2n₁₀+ 2n11； T₂=4n₃-4n₁-2n₅+4n₇+4n₈+2n₁₂+4n₁ T₃=8n₄-2n₆+2n₁₀+6n₁₁;T₄=6n₁+16n₂-8n₃+ T6=4n₃-4n₁+2n₅-4n₇+4n₈-2n₁₂+4n₁₃;T₇=2n₆- 2n₁₀+2n₁₁;T₈=n₁-n₅+n₉-n₁₂+n₁₃₀ （204號

式（44）為一元八次（非線性高次）方程，可用迭代法求解所有實(shí)數(shù)解，再由 u=tan（α/2） 求解變量 α 故正解為

由式（45）可以看出，機(jī)構(gòu)4動平臺在 x 方向上的移動僅由 x₁ 決定，因此，機(jī)構(gòu)具有部分運(yùn)動解耦性；y 方向上運(yùn)動由 決定；而在 z 方向上的移動量與驅(qū)動輸入不直接相關(guān)，是 y 方向運(yùn)動量的派生量。

2.4.2機(jī)構(gòu)4位置反解分析

機(jī)構(gòu)4的位置反解可歸結(jié)為：已知動平臺1質(zhì)心 ，求驅(qū)動副 P₁₁ 、 P₂₁ 的輸入位置 x₁ 、 y₁ 。

由式（38），可得

x₁=x

將式（47）代入式（40）并化簡，可得

式（46）、式（48）即為機(jī)構(gòu)4的反解。

2.4.3機(jī)構(gòu)4正反解數(shù)值算例設(shè)機(jī)構(gòu)4的尺寸參數(shù)為： ，l₁=20mm，l₂=40mm，l₃=20mm，l₄=20mm， l₅=20mm，l₆=20mm 。

為此，建立機(jī)構(gòu)4的三維CAD模型，從3D模型中測量得到，兩個驅(qū)動副 P₁₁ 、 P₂₁ 的初始輸入位置分別為 x₁=32.3642 、 y₁=33.982 3 ，相對應(yīng)基點(diǎn) σ_o 的輸出值分別為 x=32.3642 、 y=-1.0159 、 z=55.2167 。

1）封閉式正解的驗(yàn)證當(dāng) x₁=32.3642 、 y₁=33.9823 時，有

利用二分法對 f（u） 進(jìn)行迭代求解，得到8組解，其中，2組實(shí)數(shù)解 u 及其對應(yīng)的 α 值如表7第2、第3列所示。將 α 值代入式（45）得到，機(jī)構(gòu)4對應(yīng)的位置正解如表7右邊兩列所示。

顯然，表中第1組解 x=32.364 、 y=-1.3075、z= 55.1330，與三維模型測量值的誤差在 1% 之內(nèi)。因此，機(jī)構(gòu)4的一元八次方程（封閉解）推導(dǎo)正確。

2）符號式反解的驗(yàn)證

將3D模型中測量的動平臺基點(diǎn) Σ_o 的輸出值 x= 32.3642、 y=-1.015 9 、 z=55.2167 ，代人式（46）、式（48），得到對應(yīng)的2組輸入值，如表8所示。

由表8可知，第1組理論值 x₁=32.364 2 、 y₁= 33.8994與三維模型測量值的相對誤差在 1% 之內(nèi)。因此，機(jī)構(gòu)4位置反解的公式推導(dǎo)正確。

3 潛在應(yīng)用分析

振動篩分是一種常見的物料分離工藝，其主機(jī)構(gòu)需要具備輸出運(yùn)動多向、結(jié)構(gòu)簡單、能耗低等特點(diǎn)，以提高篩分效率[18-20]

本文所構(gòu)造的4個新型機(jī)構(gòu)均為兩支鏈單回路并聯(lián)機(jī)構(gòu)，活動構(gòu)件數(shù)僅有7個，結(jié)構(gòu)簡單，占用空間少；且其動平臺可實(shí)現(xiàn)空間三維方向上的移動輸出，可有效提升篩分效率，減少篩孔堵塞[21-25]。因此，這4個單回路兩自由度三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)可用于制作小型化或微型化的便捷型三維振動篩分裝置，適用于輕型物料的振動篩分。

4結(jié)論

1）設(shè)計并構(gòu)造了4個部分運(yùn)動解耦的新型單回路兩自由度三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并計算了其自由度；它們純由低副組成，其中，兩個驅(qū)動副為移動副，其余均為轉(zhuǎn)動副；結(jié)構(gòu)簡單，制造、裝配容易。

2）建立了這4個單回路機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)模型，導(dǎo)出了這些機(jī)構(gòu)的一元八次方程（封閉解）位置正解方程，并通過數(shù)值方法求得數(shù)值解；分析了其獨(dú)立輸出運(yùn)動量與派生運(yùn)動量之間的內(nèi)在聯(lián)系；同時，通過解析法得到符號式反解公式，并對正反解進(jìn)行了數(shù)值驗(yàn)證。

3）這4個單回路機(jī)構(gòu)可用于輕型物料篩分等需要多維空間運(yùn)動的場合，制作成為篩分機(jī)。本文工作為其進(jìn)一步的尺度優(yōu)化、工作空間、動力學(xué)模型以及結(jié)構(gòu)設(shè)計奠定了技術(shù)基礎(chǔ)。

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Topological design and positional closed-form solution research of 4 motion decoupled single-loop 2-DOF three-translationparallel mechanisms

SHE Junjie LI Ju KONG Xiangchao SHEN Huiping （Research Center forAdvanced Mechanism Theory，Changzhou University，Changzhou 213164，China）

Abstract：[Objective]Inorder tounderstand the influenceof sidechainswithsimilar topological structureson the decouplingandderivedmotionsofparalelmechanisms，paralelmechanismswithimilartopologicalstructuresweredesigned， andtheirtopologicalcharacteristicsandpositionequationswereanalyzed.[Methods]Firstlybasedonthetopologydesign methodofparalelmechanismsusingthepositionandrientationcharacteristicsettheoryfournovelsingle-loopspatialtwo degree-of-fredom three-translationparalelmechanismscomposedofsimilarbrancheswereconstructed.Thedesignprocess wasdetailed，andthedegreesoffreedomwerecalculated.Secondly，kinematicmodelsof thesefour mechanisms were establishd，ndosedfoaateotic（ghtge）atiosfotrardinematiereed，itical methodsemployed toobtain numerical solutions.Symbolic inverse kinematic solutionswerealsoderivedanalyticallyand verified.Finally，theintrinsicrelationbetween theindependentlyoutputmotionsandparasitic motionsofthemovingplatform wasanalyzed.[Results]Itisfoundthatthesesingle-looptwo-degree-of-freedomthre-translationparalelmechanismsare motion-decoupledandexhibit parasitic motions，making them suitableasmain structures forlightweight three-dimensional vibratingscrens.Theresultslaythefoundationfordimensionaloptimization，workspaceanalysis，anddynamicanalysisofuch mechanisms.

KeyWords：Positionandorientationcharacteristicsset;Fewer input-moreoutput;Paralelmechanism;Associatedmovement;Closed-form solution