雙工作行程心形曲柄滑塊機(jī)構(gòu)綜合

中圖分類(lèi)號(hào)：TH112 DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2025.06.006

0 引言

雙工作行程機(jī)構(gòu)是指在一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)，輸出構(gòu)件具有兩個(gè)不同的工作行程和回退行程的機(jī)構(gòu)[1-2]。一些自動(dòng)進(jìn)給機(jī)床，如圓珠筆頭孔加工機(jī)床，會(huì)用到雙工作行程機(jī)構(gòu)。曲柄滑塊機(jī)構(gòu)是最簡(jiǎn)單的四桿機(jī)構(gòu)，也是應(yīng)用廣泛的機(jī)構(gòu)3-4。為了改善滑塊的運(yùn)動(dòng)特性，學(xué)者們研究了曲柄滑塊機(jī)構(gòu)與其他機(jī)構(gòu)的組合機(jī)構(gòu)[5-8]。心形曲柄是擺線曲柄的一種[9，行星輪和固定中心輪為齒數(shù)相同的外齒輪，行星輪節(jié)圓上任意一點(diǎn)的軌跡就是心形線。用心形曲柄替代一般機(jī)構(gòu)的曲柄，可構(gòu)成一類(lèi)特殊的齒輪連桿組合機(jī)構(gòu)。心形曲柄在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的長(zhǎng)度和速度都是變化的，因此，機(jī)構(gòu)的輸出運(yùn)動(dòng)學(xué)特性會(huì)產(chǎn)生很大變化，產(chǎn)生間歇運(yùn)動(dòng)[、等速運(yùn)動(dòng)[、雙工作行程運(yùn)動(dòng)等等。本文利用心形線的雙環(huán)特性，構(gòu)造了雙工作行程心形曲柄滑塊機(jī)構(gòu)，給出了機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析與綜合方法。

1 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析

圖1所示為提出的雙工作行程心形曲柄滑塊機(jī)構(gòu)。采用相對(duì)尺寸表示雙工作行程心形曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的機(jī)構(gòu)參數(shù)，即系桿 O₁B （輸入構(gòu)件1）的長(zhǎng)度設(shè)為1。行星輪2上A點(diǎn)驅(qū)動(dòng)滑塊Ⅱ級(jí)桿組，稱(chēng)連桿 AB 為行星連桿，其相對(duì)長(zhǎng)度設(shè)為b；設(shè)連桿 AC 的相對(duì)長(zhǎng)度為l；輸入構(gòu)件1的位置角為 φ₁ ○

1. 1 運(yùn)動(dòng)分析

由圖1可知，機(jī)構(gòu)只有2個(gè)尺寸參數(shù)： b 和 l 心形曲柄上鉸鏈點(diǎn)A的坐標(biāo)可表示為

滑塊位移 s 可表示為

S=x+lcosβ

式中，

滑塊速度 S^′ 可表示為

S^′=x^′-yβ^′

式中， y^′= cosφ₁+2bcos（2φ₁）

滑塊加速度 S^′′ 可表示為

S^′′=x^′′-y^′β^′-yβ^′′

式中， x^′′=-cosφ₁-4bcos（2φ₁）;β^′′=β^′2tanβ+

1.2曲柄存在條件和最小傳動(dòng)角

由圖1可知，要保證心形曲柄能整周轉(zhuǎn)動(dòng)，連桿AC 的長(zhǎng)度 l 必須大于心形線的最大縱坐標(biāo) y_max ，即 l? y_max 。在 y_max 位置， y^′=0 。由式（3）整理可得

4bcos²φ₁+cosφ₁-2b=0

即

式中，正號(hào)對(duì)應(yīng)于心形線的最大縱坐標(biāo)值 y_max ；負(fù)號(hào)對(duì)應(yīng)于心形線內(nèi)環(huán)的最小縱坐標(biāo)值 y_min 。將 φ₁ 代入式（1）得到

所以，曲柄的存在條件為

圖1中， β 為連桿 AC 的傾角。 β 與傳動(dòng)角 γ 互為余角， γ+β=90^° 。所以，最小傳動(dòng)角 γ_min 也在 y_max 處。最小傳動(dòng)角 γ_min 為

受許用傳動(dòng)角 [γ] 限制，要求 γ_min?[γ] 由式（7）整理得到，最小連桿長(zhǎng)度為

1.3 滑塊的極限位置

圖2所示為雙工作行程心形曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)曲線。該機(jī)構(gòu)的位移曲線 s 有4個(gè)極值點(diǎn)，分別用 S₁₁ 、S₁₂ 、 S₁₃ 、 S₁₄ 表示。對(duì)應(yīng)的曲柄轉(zhuǎn)角分別為 φ₁₁ 、 φ₁₂ 、φ₁₃ 1 φ₁₄ 。這4個(gè)位置就是圖1中的 A₁ 、 A₂ 、 A₃ 、 A₄ 。當(dāng)曲柄從 φ₁₁ 運(yùn)動(dòng)到 φ₁₂ 時(shí)，滑塊完成第1段工作行程，H₁=S₁₂-S₁₁ ；當(dāng)曲柄從 φ₁₂ 運(yùn)動(dòng)到 φ₁₃ 時(shí)，滑塊退回到起始位置， S₁₃=S₁₁ ；當(dāng)曲柄從 φ₁₃ 運(yùn)動(dòng)到 φ₁₄ 時(shí)，滑塊完成第2段工作行程， H₂=S₁₄-S₁₁° 在滑塊位移曲線 s 的極值點(diǎn)，速度 S^′ 為0。由式（3）整理得到

（yy^′）²-（x^′l）²+（x^′y）²=0

這就是滑塊極限位置的條件。將式（1）＼～式（3）代入上式整理得到

sin²φ₁（a₃cos³φ₁+a₂cos²φ₁+a₁cosφ₁+a₀）=0 （9） 式中， a₃=16b³;a₂=4b²（4b²-4l²+5） （20 a₁= 8b（2b²-l²+1）;a₀=4b²-l²+1

式（9）由兩個(gè)因式構(gòu)成。第一個(gè)因式 sin²φ₁ 為 0 可解得 φ₁=φ₁₂=180^° 和 φ₁=φ₁₄=360^° ，它們分別對(duì)應(yīng)于滑塊的兩個(gè)行程 H₁ 和 H₂ 的終點(diǎn) S₁₂=l+b-1 和 S₁₄=l+b+1 。第二個(gè)因式是關(guān)于 cosφ₁ 的3次方程。該3次方程共有3個(gè)實(shí)根：一個(gè)根大于1，要舍去；一個(gè)根是因?yàn)橥茖?dǎo)式（9）時(shí)采用了平方運(yùn)算而產(chǎn)生的增根，也要舍去。唯一可用的根為

式中，

則

將 φ₁₁ 代入式（2），即可得到滑塊的左極限位置S₁₁ 。滑塊的兩段行程分別為

由于參數(shù) b 和 l 使用的是相對(duì)尺寸，式（12）得到的行程也是相對(duì)行程。

2機(jī)構(gòu)參數(shù)對(duì)運(yùn)動(dòng)性能的影響

由圖1可知，心形曲柄滑塊機(jī)構(gòu)只有2個(gè)參數(shù)：連桿長(zhǎng)度l和行星連桿長(zhǎng)度b。為了便于設(shè)計(jì)機(jī)構(gòu)，分別討論l和b對(duì)滑塊的兩段行程 H₂ 和 及最小傳動(dòng)角 γ_min 的影響。

2.1連桿長(zhǎng)度的影響

式（8）定義了連桿長(zhǎng)度的最小值 l_min 。固定行星連桿長(zhǎng)度 b ，取不同的連桿長(zhǎng)度 l 進(jìn)行計(jì)算，連桿長(zhǎng)度對(duì)行程和最小傳動(dòng)角的影響分別如圖3和圖4所示。

根據(jù)式（12）， H₂-H₁=2 ，即兩段行程之差恒等于2倍的曲柄長(zhǎng)度。所以，兩段行程的變化值是相同的，不同的是兩個(gè)行程的比值 d=H₂/H₁ 。由圖3可知，連桿長(zhǎng)度l對(duì)行程的影響比較弱。隨著i的增加，行程略有減少，兩段行程的比值 d 略有增加。

由圖4可知，連桿長(zhǎng)度l對(duì)最小傳動(dòng)角 γ_min 的影響比較大。隨著 l 的增加，最小傳動(dòng)角 γ_min 明顯增大。

2.2行星連桿長(zhǎng)度的影響

行星連桿長(zhǎng)度 b 的大小決定了心形線內(nèi)外環(huán)的大小，對(duì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)性能的影響比較顯著。同樣，固定連桿長(zhǎng)度l，取不同的行星連桿長(zhǎng)度 b 進(jìn)行計(jì)算，行星連桿長(zhǎng)度 b 對(duì)行程和最小傳動(dòng)角的影響分別如圖5和圖6所示。

由圖5和圖6可知，隨著行星連桿長(zhǎng)度 b 的增加，滑塊行程明顯增大；兩段行程的比值 H₂/H₁ 和最小傳動(dòng)角則迅速減小。

對(duì)比圖3＼～圖6可知，連桿長(zhǎng)度1對(duì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)性能的影響與行星連桿長(zhǎng)度 b 完全相反。

3 機(jī)構(gòu)綜合

當(dāng)給定機(jī)構(gòu)的兩段實(shí)際行程 H_2s 和 H_ls 時(shí)，系桿O₁B 的實(shí)際長(zhǎng)度 l₁ 是兩個(gè)行程差的一半，即

式中， l₁ 也是機(jī)構(gòu)的相對(duì)尺寸的放大系數(shù)。所以，相對(duì)行程 H₁=H_1s/l₁ ， H₂=H_2s/l₁ 。

直接依據(jù)相對(duì)行程計(jì)算機(jī)構(gòu)參數(shù) b 和 l 是非常繁復(fù)的。由圖3和圖5可知，參數(shù) b 與行程是強(qiáng)單調(diào)增關(guān)系，參數(shù) l 與行程是弱單調(diào)減關(guān)系。利用這一特性，可以獲得一個(gè)簡(jiǎn)單的機(jī)構(gòu)數(shù)值綜合方法。首先，初選機(jī)構(gòu)參數(shù) l ；然后，由式（11）和式（2）建立方程l+b-1-S₁₁-H₁=0 ，用簡(jiǎn)單迭代法或區(qū)間二分法解方程，得到機(jī)構(gòu)參數(shù) b ；最后，校驗(yàn)最小傳動(dòng)角γ_min 。如果 γ_min 小于許用值，則增大連桿長(zhǎng)度l。此時(shí)，相對(duì)行程 會(huì)略微減小，需通過(guò)微增 b 進(jìn)行調(diào)整。為了便于設(shè)計(jì)者選擇初始值 b ，這里提供一個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式，即

式（14）是在 l=3 時(shí)的擬合公式，擬合誤差小于1.7‰ 。根據(jù) b 和 l 與相對(duì)行程 H₁ 之間的單調(diào)關(guān)系，當(dāng) lgt;3 時(shí)，機(jī)構(gòu)參數(shù) b 會(huì)略大于式（14）的計(jì)算值。設(shè)計(jì)流程圖如圖7所示。

設(shè)計(jì)舉例：設(shè)計(jì)工作行程分別為 15mm 和 45mm 的雙工作行程機(jī)構(gòu)，要求其許用傳動(dòng)角為 45^°

取 l=2.8 ，按圖7計(jì)算得到曲柄長(zhǎng)度 l₁=15mm 相對(duì)行程 H₁=1 ，初值 b=0.9 。迭代75次得到 b= 0.8976， γ_min=53.6^° 。行星連桿 的長(zhǎng)度為13.464mm ，連桿 AC 的長(zhǎng)度為 42mm 。

4結(jié)論

心形曲柄滑塊機(jī)構(gòu)能夠很方便地實(shí)現(xiàn)雙工作行程運(yùn)動(dòng)。兩個(gè)機(jī)構(gòu)參數(shù)中，行星連桿長(zhǎng)度 b 對(duì)工作行程影響較為顯著，呈單調(diào)增關(guān)系；連桿長(zhǎng)度l對(duì)最小傳動(dòng)角影響較大，也呈單調(diào)增關(guān)系?；谶@種單調(diào)關(guān)系，構(gòu)造出的機(jī)構(gòu)綜合的迭代算法非常簡(jiǎn)便，無(wú)論是機(jī)解還是手算都簡(jiǎn)單易行。需要特別說(shuō)明的是，兩個(gè)工作行程的次序是不固定的，當(dāng)曲柄轉(zhuǎn)向發(fā)生變化或者使用對(duì)稱(chēng)機(jī)構(gòu)時(shí)，兩個(gè)行程前后位置會(huì)發(fā)生變化。

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Synthesis of the cardioid crank slider mechanism with double working strokes

HOU Yujie1HAN Jiguang2 （1.SchoolofIntelligentManufacturingandEmergencyEqupment，JiangsuClgeoffetyechnologyXuzhou2ina） （2.School ofMechatronic Engineering，Jiangsu Normal University，Xuzhou 221116，China）

Abstract：[Objective]Inorder toobtainaslider mechanism with doubleworking strokesand metthe double feeds demandofsome automatic machine tools，a cardioid crank slider mechanism with double working strokes was obtained byusing aplanetarymechanismwhichcangeneratedoubleringsmotioncurve todrivethesliderIgroup.Methods]Themechanism analysis wascarriedout.Thecalculation methodsof the parameterssuchaslimit position，working stroke，crank existence condition，minimumlengthoftheconectingrodandminimum transmissonangle were given.Theinflueneofthe mecanism parameters onthe working strokeand minimum transmision angle were studied.Basedon the monotonecharacteristic between themechanismparametersandtheworkingstrokes，asimple iterativemethodwasproposedforthemechanismsynthesis according todoubleworking strokes.[Results]Theproposed mechanismprovidesabasis forthedesignof themechanismwith double working strokes.

Key Words： Combination mechanism; Mechanism synthesis; Crank slider; Cardioid crank; Working stroke