注重問題引領(lǐng) 實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》（2017年版2020年修訂）（以下簡稱新課標）強調(diào)，教師在教學(xué)中要以培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)為目標，采取多種教學(xué)方式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動力，從而達到既定的教學(xué)目標.然而，傳統(tǒng)的“一言堂”教學(xué)方式，讓學(xué)生喪失學(xué)習(xí)興趣，被動接受知識，主體性沒有得到體現(xiàn).著名教育家陶行知曾經(jīng)說過：“發(fā)明千千萬，起點是一問.”由此可見，問題不僅是師生在課堂教學(xué)中實現(xiàn)交流的有效載體，也是學(xué)習(xí)的邏輯起點.發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不竭動力.

問題引領(lǐng)教學(xué)是指教師在學(xué)生已有知識、經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，通過創(chuàng)設(shè)合理的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會分析問題、解決問題，并在這一過程中促進其深度學(xué)習(xí)與思考，從而形成新知，增強其邏輯思維能力與核心素養(yǎng)的一種教學(xué)方式.學(xué)生是問題引領(lǐng)教學(xué)的核心，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)是問題引領(lǐng)教學(xué)的根本出發(fā)點.在此，筆者以“三角函數(shù)的概念（第1課時）”為例，通過問題引領(lǐng)教學(xué)，促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)，提高邏輯思維能力.

一、教學(xué)內(nèi)容解析

1.課標分析

函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最基本的概念，是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語言和工具，在解決實際問題中發(fā)揮著重要作用

新課標指出：在三角函數(shù)的教學(xué)中，應(yīng)發(fā)揮單位圓的作用，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合實際情況，探索三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，并提出教學(xué)目標：借助單位圓理解三角函數(shù)的定義；從變量的依賴關(guān)系、實數(shù)集合之間的對應(yīng)關(guān)系、單位圓的幾何直觀等角度整體認識三角函數(shù)概念，為之后能用幾何直觀和代數(shù)運算的方法得到三角函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性和最大（小）值等性質(zhì)，以及三角函數(shù)之間的一些恒等關(guān)系作好鋪墊.

2.教材分析

“三角函數(shù)的概念\"是人教A版高中數(shù)學(xué)必修一第五章第二節(jié)的內(nèi)容，屬于“函數(shù)”板塊.從知識層面來看，這部分內(nèi)容是在任意角與弧度制的基礎(chǔ)上進行教學(xué)的，是后續(xù)學(xué)習(xí)和研究三角函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)，也是利用三角函數(shù)模型解決實際問題的鋪墊；從邏輯層面來看，三角函數(shù)是函數(shù)的一個下位概念，與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)屬于同一抽象層次，是高中所要求掌握的重要函數(shù)之一.

3.學(xué)情分析

4.教學(xué)目標及重難點

素養(yǎng)目標：在直角坐標系中，利用單位圓來掌握任意角三角函數(shù)的概念，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；會利用角終邊上的點的坐標求角的正弦、余弦和正切，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)；體會三角函數(shù)定義的發(fā)生和發(fā)展過程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，感悟數(shù)學(xué)的魅力，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

教學(xué)重難點：教學(xué)重點為建立“對應(yīng)關(guān)系說”觀點下用集合語言表述的三角函數(shù)概念，在此過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；教學(xué)難點為任意角的三角函數(shù)概念的建構(gòu)過程

二、教學(xué)設(shè)計與分析

根據(jù)本節(jié)課教學(xué)分析和教學(xué)目標設(shè)置，筆者整理教學(xué)設(shè)計整體思路如圖1.

1.溫故知新，提出問題

問題1：通過初中的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道銳角的三角函數(shù)的定義，請大家回顧一下，我們是如何定義的呢？

追問1：前一節(jié)課，我們把角進行了推廣，在任意角的定義下，我們應(yīng)該如何計算任意角的三角函數(shù)值呢？

設(shè)計意圖：教師設(shè)計問題，讓學(xué)生復(fù)習(xí)與回顧以前所學(xué)知識，提升學(xué)生的類比、概括能力，在學(xué)生的就近發(fā)展區(qū)開展教學(xué)，無形之中激發(fā)了學(xué)生探索新知的欲望，為后面研究任意角的三角函數(shù)定義埋下伏筆.

2.模型建立，探究新知

【活動1探究三角函數(shù)的定義.

在第三章函數(shù)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)了解了研究函數(shù)的一般思路.在這一環(huán)節(jié)中，教師可利用直角坐標系引導(dǎo)學(xué)生研究任意角三角函數(shù)的定義：

如圖2所示，建立直角坐標系， ，A（1，0） 為定點，射線

OA從 x 軸的非負半軸開始，繞點 o 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α ，終止位置為 oP，P 點坐標為 （x，y）

追問2：建立坐標系以后，我們除了可以用角 α 刻畫點 P 的位置，還能用什么刻畫點 P 的位置呢？

生：點 P 的坐標.

追問3：用角 α 可以表示出點 P 的坐標嗎，如何表示？

師生活動：學(xué)生思考后發(fā)現(xiàn)，沒有太好的思路.此時，教師再進行點撥與提示，讓學(xué)生不妨先嘗試取幾個特殊值，增強學(xué)生探究新知的欲望.

追問4：請同學(xué)們繼續(xù)思考，當 時，我們應(yīng)該如何求出點 P 的坐標？如果當 或 時，點 P 的坐標又應(yīng)該如何求解呢？這些坐標與角 α 的大小有什么關(guān)系呢？它們是唯一確定的嗎？

追問5：通過上述問題的探究，在單位圓中，如果任意給定一個角 α ，它的終邊 oP 與單位圓的交點 P 的坐標是唯一確定的嗎？

設(shè)計意圖：該問題串的設(shè)計，是本節(jié)課探究三角函數(shù)定義的一個重點環(huán)節(jié)，學(xué)生通過思考和交流后不難發(fā)現(xiàn)，當角α的大小確定以后，點P的坐標也是隨之唯一確定的.問題先易后難，由淺入深，旨在培養(yǎng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)與思考的習(xí)慣，促進學(xué)生邏輯思維能力與核心素養(yǎng)的提高.

3.合作交流，生成新知

問題2：通過前面問題的解決，我們可以發(fā)現(xiàn)角 α 的終邊 op 與單位圓的交點 P 的坐標之間有一定的關(guān)系，隨著角 α 的確定，點 P 的坐標也就唯一確定了，這恰好不就是我們所學(xué)習(xí)過的一一對應(yīng)嗎？請同學(xué)們用函數(shù)的觀點來刻畫他們之間的關(guān)系.

設(shè)計意圖：問題是數(shù)學(xué)的心臟，恰到好處的問題往往會起到意想不到的效果。小組合作交流，教師借助前面所學(xué)函數(shù)的概念，從集合對應(yīng)關(guān)系的角度讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)和得到新知，真正理解三角函數(shù)的概念，掌握角的終邊與單位圓交點的橫坐標、縱坐標都是關(guān)于角的函數(shù).問題2可以讓學(xué)生進行深度思考與探索，促進知識之間的多維表征，拓展學(xué)生的理性思維和解決問題的能力，提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

4.概念剖析，深化理解

問題3：請同學(xué)們先閱讀教科書第178＼～179頁，再回答如下問題.

追問6：在單位圓中，符號 sinα，cosα 和tana表示的具體含義是什么？在之前的學(xué)習(xí)中，是否出現(xiàn)類似的情況，請舉例說明？

追問7：為什么說當 時，tanα 的值是唯一確定的？

追問8：教材中表述正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域是R ，而正切函數(shù)的定義域是 ，請結(jié)合上述三角函數(shù)的概念進行解釋.

設(shè)計意圖：學(xué)生在學(xué)習(xí)新知的時候，往往會出現(xiàn)對概念理解不深刻、沒有進行深度思考的過程等現(xiàn)象.這很容易導(dǎo)致學(xué)生在后面的學(xué)習(xí)中混淆概念、對知識的應(yīng)用與遷移模糊不清.通過以上三個問題，教師讓學(xué)生真正地理解了三角函數(shù)的概念，掌握符號sinα，cosα和tanα只是一種新概念的表示而已，通過問題引領(lǐng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，強化關(guān)鍵知識的掌握，促進核心素養(yǎng)的提升.

【活動2】初中的時候，學(xué)生了解了簡單的銳角三角函數(shù)的定義，知道它們是在直角三角形中通過邊長的比例關(guān)系來刻畫的.結(jié)合本節(jié)課所學(xué)知識任意角三角函數(shù)的定義與初中所學(xué)銳角三角函數(shù)的定義，討論他們有什么異同點？（教材178頁）

設(shè)計意圖：活動2在學(xué)生的討論和展示中展開.學(xué)生發(fā)現(xiàn)初高中兩種情況求出來的結(jié)果是一致的.教師要和學(xué)生講解清楚兩種方式求解的異同點，初中所學(xué)的銳角三角函數(shù)的定義是靜態(tài)的邊長之比，而高中所學(xué)的任意角三角函數(shù)的定義是放在動態(tài)的圓周運動中刻畫的，是研究現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的基礎(chǔ).該環(huán)節(jié)的設(shè)計加深了學(xué)生對所學(xué)知識的理解，增強了學(xué)生對新舊知識的聯(lián)系，促進了學(xué)生批判思維的轉(zhuǎn)化與提高.

【活動3】三角函數(shù)定義的推廣，

追問9：在直角坐標系中， α 是一個任意角，它的終邊上存在任意一點 P（x，y） （不與原點 o 重合），我們把點 P 與原點之間的距離記為 r ，請同學(xué)們思考，我們?nèi)绾斡命c P 的坐標定義角 α 的正弦、余弦和正切呢？

設(shè)計意圖：該問題的設(shè)置主要是讓學(xué)生理解三角函數(shù)的“坐標比”定義，讓學(xué)生認識到，只要知道角的終邊上的任意一點的坐標，就可以求出對應(yīng)的三角函數(shù)值.教師讓學(xué)生在問題的解決中發(fā)現(xiàn)新知，得到三角函數(shù)的定義推廣.這一過程既激發(fā)了學(xué)生研究數(shù)學(xué)的興趣，又能促進理性思維的培養(yǎng)與發(fā)展.

5.課堂檢測，鞏固提高

例1求 的正弦值、余弦值和正切值.變式1 把角改為 呢？例2 已知角 θ 的終邊過點 P（-5，12） ，求 cosθ 業(yè)變式2 若角 α 的終邊經(jīng)過點 P （ （x，-3） 且 sinα= ，則 x 的值為（ ）

B.-1 C.1 D.√3

設(shè)計意圖：發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識是高中課程標準所倡導(dǎo)的重要理念之一.教師引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用知識解決實際問題和數(shù)學(xué)問題，促進學(xué)生對所學(xué)知識的深化理解和遷移運用，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算和邏輯推理能力.

三、教學(xué)反思

1.基于問題串開展教學(xué)設(shè)計

新課標強調(diào)教學(xué)過程要充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，要把課堂還給學(xué)生.只有這樣，學(xué)生才能實現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識的遷移應(yīng)用，核心素養(yǎng)才能真正得到落實.本節(jié)課緊緊圍繞問題串展開，一環(huán)扣一環(huán)，通過對問題的研究與思考，加強學(xué)生對知識的應(yīng)用與遷移，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中建構(gòu)完整的知識體系、體驗知識發(fā)生發(fā)展過程，更重要的是讓學(xué)生在具體的問題解決過程中，體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，強化了學(xué)生對三角函數(shù)概念及其數(shù)學(xué)符號語言的認知，彰顯學(xué)生的學(xué)習(xí)主體性，促進學(xué)生邏輯思維能力的提高，

2.通過問題引領(lǐng)，促進深度學(xué)習(xí)

問題是教師、學(xué)生和教材溝通與對話的平臺，一節(jié)課的高效很大程度上取決于問題設(shè)計的質(zhì)量.數(shù)學(xué)概念是通向數(shù)學(xué)世界的橋梁，而其自身是不會說話的，只有通過問題引領(lǐng)，才能將抽象的數(shù)學(xué)概念串聯(lián)起來，從而實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的遷移與應(yīng)用.

數(shù)學(xué)教學(xué)的核心在于通過問題引領(lǐng)，激發(fā)學(xué)生的思維活力.在問題的引導(dǎo)下，學(xué)生積極思考，實現(xiàn)了深度學(xué)習(xí)，有效促進了學(xué)生思維的縱向推進.

【本文系2023年度曲靖市教育科學(xué)規(guī)劃立項課題“基于深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)策略研究”（編號：QJ2023Y1326）的研究成果】