‘基本不等式”教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

基于新教材、新高考對(duì)課堂教學(xué)的要求，教師要注重學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)在課堂教學(xué)中的落實(shí)，創(chuàng)設(shè)獨(dú)立思考、自主探究等教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生不但學(xué)到更多的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且在數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等方面有較大的提高。

一、教材分析

“基本不等式\"是高中數(shù)學(xué)人教A版必修1第二章第二節(jié)的重要內(nèi)容。本節(jié)課將在學(xué)生已系統(tǒng)掌握不等關(guān)系及不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上，深人探討其基本特征和應(yīng)用。在實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中，利用不等式求解最值問(wèn)題極為常見(jiàn)。通過(guò)知識(shí)本身的價(jià)值來(lái)看，“基本不等式”是一個(gè)獨(dú)一無(wú)二的重要模型，是從幾何和代數(shù)問(wèn)題中提煉出來(lái)的，在公式推導(dǎo)及應(yīng)用過(guò)程中蘊(yùn)含了紛繁復(fù)雜的數(shù)學(xué)思想，如\"數(shù)形結(jié)合\"“方程思想\"“分類(lèi)討論\"以及“化歸與轉(zhuǎn)化\"等。從人文層面而言，學(xué)生需要進(jìn)行一系列的觀察、分析等過(guò)程來(lái)探究和推導(dǎo)“基本不等式”。這極大地培養(yǎng)了學(xué)生的開(kāi)拓意識(shí)與創(chuàng)新精神，涵養(yǎng)學(xué)生卓越的思維素養(yǎng)。

“基本不等式\"的教學(xué)安排為2個(gè)課時(shí)，在這2個(gè)課時(shí)中需要學(xué)生掌握基本不等式的推導(dǎo)以及求式子或簡(jiǎn)單函數(shù)的最值問(wèn)題兩大模塊。本節(jié)課是“基本不等式\"的第1課時(shí)。本節(jié)課將通過(guò)幾何圖形、代數(shù)探究、抽象歸納及應(yīng)用等四個(gè)角度引領(lǐng)學(xué)生全面認(rèn)識(shí)基本不等式。

二、學(xué)情分析

在知識(shí)儲(chǔ)備方面，學(xué)生在之前的課堂中已經(jīng)學(xué)習(xí)了不等關(guān)系和不等式的基本性質(zhì)，并且可以熟練正確地運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行數(shù)與式的大小比較。此外，之前的課堂上也講授了平面幾何基礎(chǔ)知識(shí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了這一知識(shí)點(diǎn)。這為他們學(xué)習(xí)基本不等式提供了良好的前提條件。在課堂教學(xué)中，教師逐步構(gòu)建幾何圖形中的相等或不等關(guān)系，從而激活學(xué)生的思維，增強(qiáng)其數(shù)形結(jié)合的意識(shí)。

三、教學(xué)目標(biāo)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》對(duì)本節(jié)課的要求：掌握基本不等式，結(jié)合具體實(shí)例，能用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題。我將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為：

1.學(xué)會(huì)推導(dǎo)基本不等式，了解基本不等式的幾何

意義，提高邏輯推理和直觀想象的核心素養(yǎng)。2.探究基本不等式的證明過(guò)程，并了解這一過(guò)程

的基本思路，領(lǐng)悟其證明方法的基本思想3.初步應(yīng)用所學(xué)內(nèi)容解決最簡(jiǎn)單的最大值或最小

值問(wèn)題，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生的思維能力。

四、教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：通過(guò)“數(shù)形結(jié)合\"思想，幫助學(xué)生深入領(lǐng)悟基本不等式，并且使用多種不同思想來(lái)探索其證明過(guò)程，同時(shí)引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：使用多種思想對(duì)基本不等式的證明進(jìn)行探究，并能夠運(yùn)用“基本不等式\"解決簡(jiǎn)單問(wèn)題。

五、教學(xué)方法與手段

啟發(fā)學(xué)生自主探究，通過(guò)多媒體設(shè)備進(jìn)行教學(xué)，增強(qiáng)課堂趣味的同時(shí)，還可以增大課堂容量，使學(xué)生更易于接受，從而提高教學(xué)效果。

六、教學(xué)過(guò)程

（一）課堂導(dǎo)人

在代數(shù)運(yùn)算中，乘法公式扮演著關(guān)鍵角色，那么有沒(méi)有可能存在一些其他的不等式，在解決同類(lèi)型問(wèn)題時(shí)也能發(fā)揮類(lèi)似作用呢？接下來(lái)，我們將對(duì)這一問(wèn)題展開(kāi)研究。

師：同學(xué)們說(shuō)說(shuō)第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)的設(shè)計(jì)理念（見(jiàn)圖1）及由此我們得出了怎樣的不

等式？

生回答。

師：同學(xué)們回答得非常好，在上一節(jié)“不等關(guān)系與不等式性質(zhì)”中我們由第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，抽象出一類(lèi)重要不等式： a²+b²≥2ab 。 ①

（師板書(shū)）

不難發(fā)現(xiàn)，公式 ① 中， a，b∈R ，當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)等號(hào)成立。

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)引入乘法公式，使學(xué)生了解基本不等式在解決不等式問(wèn)題中的作用，并以此引入本節(jié)課的內(nèi)容。介紹國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，通過(guò)幾何圖形導(dǎo)入新課，更好地激發(fā)學(xué)生的好奇心及求知欲，同時(shí)體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，滲透愛(ài)國(guó)主義教育，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂的思政教育。）

（二）合作探究

師：同學(xué)們看圖 ^2，AB 是圓 o 的直徑， c 是 _AB 上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) c 作垂直于 _AB 的弦，交圓 o 于點(diǎn)D ，連接 AD，DB ，設(shè) AD=a，BD=b ，探究以下問(wèn)題：

1.用 ^a，b 表示 oD 2.用 ^a，b 表示 CD 3.由 oD 與 cD 的大小關(guān)系，能得到怎樣的關(guān)系式？學(xué)生觀察圖2，小組合作完成上述問(wèn)題。生1：在直角三角形中，斜邊上的中線OD大于斜邊上的高 CD ，當(dāng) C 與 o 重合時(shí)，二者相等，即 OD= CD 。

生2：在圓 o 中，圓的直徑大于等于圓的弦，所以 2OD≥2CD ，即 OD?CD 。

生3：利用幾何圖形及射影定理得√ab ≤a+b 。

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)探究幾何圖形及其代數(shù)表示研究基本不等式的幾何意義。由于高一學(xué)生利用圖形處理問(wèn)題能力相對(duì)欠缺， 的線段及其幾何意義不易發(fā)現(xiàn)。為了更好地鍛煉分解處理問(wèn)題的能力，我將問(wèn)題分解為三個(gè)小問(wèn)題。首先，能更好地幫助學(xué)生在腦海中構(gòu)建數(shù)形結(jié)合的基本思想；其次，提高學(xué)生以形識(shí)數(shù)、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)，同時(shí)引領(lǐng)學(xué)生從一種新的角度一運(yùn)動(dòng)變化的角度來(lái)思考、解決問(wèn)題。）

抽象概括：Vab≤a+b 這個(gè)不等式可以簡(jiǎn)單地?cái)⑹鰹閳A的弦長(zhǎng)的一半小于或等于圓的半徑長(zhǎng)，當(dāng)且僅當(dāng)弦過(guò)圓心時(shí)，二者相等。

過(guò)渡：我們從幾何圖形中抽象出了基本不等式，下面就讓我們從代數(shù)的角度得到基本不等式。

師：對(duì)于 ① 式，如果 agt;0，bgt;0 ，用 代替 代替 b ，可得到什么結(jié)論？

生：a+b ，當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)，等號(hào)成立。

師：請(qǐng)同學(xué)們加以證明，我們需要采用什么樣的方法呢？

生1：由 展開(kāi)證明。

師：非常好，你能把證明過(guò)程口頭敘述嗎？

生：因?yàn)? ，所以 0，即a+b≥2√ab，所以a+b ，當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)等號(hào)成立。

生2使用作差比較法，并簡(jiǎn)單口頭敘述證明過(guò)程。

師：非常好，同學(xué)們還有不同的證明方法嗎？閱讀課本，完成以下問(wèn)題：

要證明 成立 ① 只需證明 成立 ② 要證 ② ，只需證明 ?0 成立 ③ 要證 ③ ，只需證明 ④

顯然， ④ 是成立的。當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)， ④ 中的等號(hào)成立。

師：我們剛剛運(yùn)用的這種證明方法叫分析法，分析法是將整體分解為若干部分的思維方法，具體來(lái)說(shuō)，先把研究的對(duì)象分解成若干部分，然后通過(guò)研究各個(gè)組成部分，認(rèn)識(shí)事物的基礎(chǔ)和本質(zhì)。分析法是一種獨(dú)特的數(shù)學(xué)思維方法，核心在于從結(jié)果出發(fā)，追溯導(dǎo)致該結(jié)果的原因，即“執(zhí)果索因”。具體而言，這種方法是從命題的結(jié)論人手，逐步向上探索，直至找到已知條件或已知事實(shí)。它本質(zhì)上是通過(guò)尋找結(jié)論成立的充分條件來(lái)進(jìn)行證明，是一種由結(jié)論向條件逆向推導(dǎo)的思維方式。

師：同學(xué)們還有其他方法嗎？

生：老師，把分析法倒過(guò)來(lái)寫(xiě)可以嗎？

師：這位同學(xué)的想法非常好，同學(xué)們?cè)囍鴮?xiě)一下，看看這個(gè)方法是否可行。

學(xué)生積極探究。

師：同學(xué)們，這樣證明這個(gè)問(wèn)題合適嗎？

生齊聲回答合適。

師：你們說(shuō)得是對(duì)的，我們把這種方法叫綜合法。綜合法就是從已知條件出發(fā)，綜合利用各種結(jié)果，經(jīng)過(guò)逐步推導(dǎo)，最后得到結(jié)果的方法，即由因?qū)Ч?/p>

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)引領(lǐng)學(xué)生從不同角度思考，能夠幫助他們發(fā)現(xiàn)不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系，這樣能使學(xué)生認(rèn)識(shí)到它們其實(shí)是對(duì)同一事實(shí)的不同表達(dá)形式，領(lǐng)悟到其本質(zhì)的一致性。在這個(gè)思維轉(zhuǎn)變的過(guò)程中，不僅有助于學(xué)生形成反思學(xué)習(xí)的意識(shí)和習(xí)慣，還能促進(jìn)其思維的多維度發(fā)展。在證明過(guò)程中，讓學(xué)生先獨(dú)立完成，隨后相互討論，交流自己的想法心得，展示出極具個(gè)人色彩的多樣化證明方法。這樣一來(lái)，對(duì)知識(shí)點(diǎn)掌握程度不同的學(xué)生暴露出自己的問(wèn)題，互幫互助進(jìn)行解決。采用多種方法證明基本不等式，從多角度分析問(wèn)題，能夠有效提升學(xué)生的邏輯思維能力和問(wèn)題分析能力。）

（三）公式構(gòu)想

師：經(jīng)過(guò)同學(xué)們多方面分析，可知a+b （agt;0，bgt;0 ），當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)取等號(hào)的正確性。

歸納總結(jié)：（師板書(shū)）a+b 當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)，不等式取等號(hào)，我們把這種不等式叫作基本不等式。其中， a 與 b 的和除以2被稱作正數(shù) Δ_a 和 b 的算術(shù)平均數(shù)，而 a 與 b 的積開(kāi)2次方根稱為正數(shù) α_a 和 b 的幾何平均數(shù)。用文字表述基本不等式：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)總是大于或等于它們的幾何平均數(shù)。從幾何角度解釋，這可以領(lǐng)悟?yàn)樵谥苯侨切沃校边吷系闹芯€長(zhǎng)度總是大于或等于斜邊上的高。本質(zhì)上，基本不等式揭示了兩個(gè)正數(shù)的和與積之間的不等關(guān)系。

（四）地位與作用

基本不等式為何被稱為“基本\"呢？原因在于它在不等式理論中扮演著核心角色，是許多重要結(jié)論的理論基礎(chǔ)。它不僅為解決眾多最值問(wèn)題提供了有力的工具，還具有多種有意義的變式。這些變式不僅能夠推廣，還能連接多個(gè)不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，甚至在數(shù)學(xué)之外的領(lǐng)域也有廣泛應(yīng)用。

（五）公式活用

1.若 agt;0，bgt;0 ，且 ab=2 ，則 a+b 的最小值為 此時(shí) a=，b= （204號(hào) □

2.若 agt;0，bgt;0 ，且 a+b=2 ，則 ab 的最大值為 此時(shí) a=，b= （204號(hào) O

3.已知 0

4.已知 3?x?5 ，則 y=2x（2-x） 的最大值為

學(xué)生自行嘗試解答，并清晰表達(dá)自己的想法和解題思路；教師隨后進(jìn)行演示。演示過(guò)程中，教師將取最大值的依據(jù)以及等號(hào)成立的具體條件這兩大知識(shí)點(diǎn)重點(diǎn)講解。

學(xué)生的做題心得：當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，它們的積會(huì)取最大值。

（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生使用基本不等式解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題，進(jìn)行初步探索。利用積為定值求和的最小值，利用和為定值求積的最小值，或者通過(guò)配湊來(lái)實(shí)現(xiàn)積或和為定值，求和或積的最值問(wèn)題。本題可以深化學(xué)生對(duì)基本不等式的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，強(qiáng)化等號(hào)成立條件，提升學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣和反思意識(shí)，增強(qiáng)知識(shí)的應(yīng)用能力。）

由此我們可以歸納出，利用 求兩個(gè)數(shù)或式和或積的最值，必須滿足條件：

1. ；

2. ；

3. 。

生答：一正：各項(xiàng)必須為正。

二定：各項(xiàng)之和或之積為定值。

三相等：必須驗(yàn)證取等號(hào)時(shí)條件是否具備。

（六）課堂小結(jié)

1.重點(diǎn)內(nèi)容。

2.運(yùn)用基本不等式時(shí)需要注意的關(guān)鍵點(diǎn)。

3.運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想和方法。

學(xué)生按照小結(jié)提示自行總結(jié)，積極發(fā)言，互相補(bǔ)充；教師進(jìn)行點(diǎn)評(píng)。

總結(jié)提升：本節(jié)課中，首先通過(guò)幾何圖形發(fā)現(xiàn)了其中蘊(yùn)含的不等關(guān)系，并進(jìn)一步抽象出基本不等式。隨后通過(guò)代數(shù)的角度證明基本不等式的正確性，并嘗試將其應(yīng)用于簡(jiǎn)單的問(wèn)題中。

教師總結(jié)：

一個(gè)不等式：若 agt;0，bgt;0 ，則有 當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)，等號(hào)成立。

二種思想：數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想

三個(gè)注意：基本不等式求代數(shù)式的最大（小）值時(shí)注意：“一正二定三相等”。

（設(shè)計(jì)意圖：引領(lǐng)學(xué)生自主總結(jié)本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，從“數(shù)”與“形”兩個(gè)維度回顧基本不等式的研究過(guò)程，從而幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系。）

（七）作業(yè)安排及課后延展訓(xùn)練

1.必做部分：課本第46頁(yè)的練習(xí)。

2.課后延展訓(xùn)練：在課外搜集關(guān)于基本不等式的其他幾何解釋，并寫(xiě)一篇關(guān)于基本不等式幾何解釋的小論文。

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)布置課本中的作業(yè)，使學(xué)生進(jìn)一步鞏固和深化對(duì)基本不等式的認(rèn)識(shí)。課后延展訓(xùn)練的目的在于拓展學(xué)生的知識(shí)面，對(duì)基本不等式幾何解釋的深入認(rèn)識(shí)，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合的思想方法，從而增強(qiáng)學(xué)生的思維能力，達(dá)到教育學(xué)生的目標(biāo)。）

七、教學(xué)反思

本節(jié)課有以下幾個(gè)亮點(diǎn)：積極引領(lǐng)學(xué)生自主探究，解決問(wèn)題，由教師教學(xué)生知識(shí)轉(zhuǎn)化為學(xué)生主動(dòng)探究、發(fā)現(xiàn)知識(shí)，并類(lèi)比已有知識(shí)學(xué)習(xí)新知識(shí)，課堂更加注重學(xué)生對(duì)基本不等式的體驗(yàn)與感悟，在探究中學(xué)習(xí)；靈活應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，變未知為已知，提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

對(duì)于本節(jié)課的教學(xué)，我還有以下三點(diǎn)思考：

1.對(duì)于基本不等式√ab≤α+b 引入的思考：這節(jié)課中，從不同的思維層面和思考角度去嘗試和探究基本不等式的證明過(guò)程，并且可以通過(guò)基本不等式來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題。本節(jié)課通過(guò)數(shù)、形兩個(gè)角度引人基本不等式，使學(xué)生可以進(jìn)一步加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，提升思維的靈活性。

2.對(duì)于例題安排的思考：本節(jié)課解決了以下兩個(gè)問(wèn)題，一是如何讓學(xué)生正確認(rèn)識(shí)基本不等式，二是如何讓學(xué)生體會(huì)“三個(gè)限制條件\"求最值的問(wèn)題。所以在例題教學(xué)環(huán)節(jié)，通過(guò)一題多變的方式突破并解決重難點(diǎn)，這樣避免了不同題之間的思維跳躍，有助于學(xué)生思維的連貫性。

3.教學(xué)中暴露出的一些問(wèn)題：時(shí)間把控不夠精準(zhǔn)，在基本不等式幾何意義的講解上耗時(shí)稍長(zhǎng)，導(dǎo)致后面練習(xí)時(shí)間緊張，部分學(xué)生沒(méi)有充足的時(shí)間完成拓展練習(xí)，對(duì)知識(shí)的鞏固和深化不夠。

（作者單位：1.陜西省榆林市定邊縣定邊中學(xué)；2.陜西省榆林市定邊縣第七中學(xué)）

編輯：溫雪蓮