采用科學(xué)方法分析實驗系統(tǒng)誤差

一、課程標準的要求

《普通高中物理課程標準（2017年版2020年修訂）》明確要求，把培養(yǎng)學(xué)生的物理學(xué)科核心素養(yǎng)作為物理教學(xué)的重要目標，要把學(xué)科核心素養(yǎng)融人具體的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)活動中落實。相較于2003版的課程標準，新版課程標準對實驗部分更加重視，增加了學(xué)生必做實驗，強調(diào)實驗在物理教學(xué)中的重要性。

新課標還要求：學(xué)生能夠制訂實驗方案，會選用實驗器材完成實驗，會用圖像處理實驗數(shù)據(jù)，獲得結(jié)論；能分析實驗中存在的誤差，并能提出減小誤差的方法。

因電表不理想而引起的系統(tǒng)誤差分析，是此次教學(xué)中的重難點，也是學(xué)生易丟分的點。因此，實驗的系統(tǒng)誤差分析是本節(jié)重點要討論的內(nèi)容。

二、學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)狀

高二學(xué)生剛學(xué)習(xí)了閉合電路歐姆定律的相關(guān)知識，并且已經(jīng)掌握利用電源的 U-I 圖像求解電動勢和內(nèi)阻。通過測量電池的電動勢和內(nèi)阻，進一步加深對閉合電路歐姆定律的理解。高二學(xué)生已有一定的自主探究能力，遇到問題后會自己通過思考、討論解決，但在具體的實驗操作、數(shù)據(jù)處理等方面還有所欠缺。例如，在設(shè)計實驗方案時，他們可能無法準確考慮到各種因素對實驗結(jié)果的影響；在進行數(shù)據(jù)處理時，可能不知道如何選擇合適的方法來減小誤差，需要教師進行指導(dǎo)和示范。

在實際的實驗過程中，在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生能通過分組實驗測量出實驗結(jié)果，也能理解實驗誤差產(chǎn)生的來源，但是會對誤差分析產(chǎn)生畏難情緒。即使是在課堂上，在教師的引導(dǎo)下進行實驗的誤差分析，仍有許多學(xué)生理解不了。

三、實驗：電池電動勢和內(nèi)阻的測量

（一）實驗地位及考查類型

電池電動勢和內(nèi)阻的測量實驗，是學(xué)生必做的電學(xué)實驗，也是高中物理中的重要的實驗之一，還是高考中的高頻考點。本節(jié)內(nèi)容涉及動手實驗以及圖像法處理數(shù)據(jù)，被安排在人教版教材必修三第十二章第三節(jié)。

本實驗在高考中出現(xiàn)的頻率較高，是一個重要的考點，在近三年的全國卷、天津卷和北京卷等中都有涉及。本實驗的考查類型，可以以伏安法測電池電動勢和內(nèi)阻測量為模型，如2024年天津卷和甘肅卷；也可以以伏阻法為模型，如2024年北京卷；或者以安阻法為模型，如2022年湖北卷。

高考考查內(nèi)容從實驗原理、器材選擇，到根據(jù)實驗數(shù)據(jù)進行處理和計算，并進行誤差分析等。因此有必要對伏安法、伏阻法和安阻法進行誤差分析講解。

（二）實驗方法及過程

在本節(jié)的教學(xué)設(shè)計中，首先要讓學(xué)生在明確實驗?zāi)康?，理解實驗原理的基礎(chǔ)上，分別按照圖1和圖2指導(dǎo)學(xué)生進行分組實驗。由兩種電路測出的電動勢 E 和內(nèi)阻 r 相差較大，激發(fā)學(xué)生的思考：為什么會產(chǎn)生這種不同？然后，再進一步進行誤差分析。

課堂中，教師分別采用圖像分析法、等效電源法和一次函數(shù)解析法對實驗誤差進行分析，有助于學(xué)生系統(tǒng)掌握實驗誤差分析的方法，促進其深度學(xué)習(xí)，提升其科學(xué)思維。

1.伏安法測電池電動勢和內(nèi)阻的誤差分析

（1）圖像法

如圖1所示，實驗的誤差來源于電壓表的分流，電路中真正的總電流，即 I_☉ 等于電流表測得的電流與流經(jīng)電壓表的電流之和，即

當 U=0 時，電路短路時， I_?=I_? ：

當 U≠0，I_☉gt;I_inj ，且 U 越大，電壓表分流越大，I_☉ 與 相差越大.

根據(jù) U-I 圖像分析，優(yōu)點是直觀形象，一目了然。然而，實際教學(xué)中，讓學(xué)生畫出真實的 U-I 圖像存在一定困難。為了解決此問題，教師可基于“問題鏈\"教學(xué)模式，提出有效問題串，引發(fā)學(xué)生獨立思考，幫助學(xué)生更深刻的理解系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因。教師可設(shè)置教學(xué)的梯度，降低思維難度，提出以下問題串：

問題一：圖1中，實驗的誤差是怎么產(chǎn)生的？

問題二：電路中的真實的總電流和電流表的示數(shù)有何關(guān)系？問題三：真實值在 U-I 圖像中應(yīng)是實線，還是虛線？問題四：用該方法 E_isy 與 E_☉ 的大小關(guān)系是什么？ r_M 與 的大小關(guān)系呢？

通過以上問題串的層層遞進，學(xué)生容易理解

U-I 圖像中短路電流相等這一難點，但是對于問題

三，對大部分學(xué)生仍有困難。在此，教師可引導(dǎo)學(xué)生

在圖中巧妙地做一條輔助線，即如圖3，在相同的電

壓下，電流大的為真實的圖像，由此可得出實線為真

實的 U-I 圖像，虛線為測量的 U-I 圖像，因此，由圖像E_injf，r_injf，

同理，根據(jù)電路圖2，教師給出以下問題串，讓學(xué)生以小組討論的形式回答以下問題：

問題五：誤差是怎么產(chǎn)生的？真實的路端電壓和電壓表的示數(shù)有何關(guān)系？

問題六：如圖 4，U-I 圖像中實線和虛線哪個為真實值？

問題七：用該方法那么 E 測與 E_☉ 的大小關(guān)系如何？r 測與 r_☉ 的大小關(guān)系呢？

在以上問題的引導(dǎo)下，學(xué)生能夠分析出由于電流表的分壓，真實的路端電壓等于電壓表的示數(shù)與電流表分得的電壓之和，即

當 I=0 時，即電路斷路時， U_M=U_?=E ：

當 I≠0 時， U_M?，I 越大， U_A 越大。

有了電路1的引導(dǎo)，學(xué)生能自己畫一條輔助線，即當電流 I 相同時，電壓大的為真實值，由此可得出實線為真實的 U-I 圖像，虛線為測量的 U-I 圖像，由圖像得E測=E真，r測gt;r真。

此方法能夠使學(xué)生深刻理解誤差產(chǎn)生的本質(zhì)，并且學(xué)會通過巧妙做輔助線的方法判斷真實的 U-I 圖像，有效解決了學(xué)生不能判斷真實和測量的 U-I 圖像的困難。圖像分析法盡管比較直觀形象，但是只能定性，不能定量，具有一定的局限性。

（2）等效電源法

如圖5，圖6。將虛線框內(nèi)的電路看作等效電源，電流表的示數(shù)就是等效電源的干路電流，電壓表的示數(shù)即為等效電源的路端電壓。

根據(jù)電動勢的定義，外電路斷開時，路端電壓等于電動勢，如圖5所示；外電路斷開時，電壓表的示數(shù)為電壓表和電源串聯(lián)電路中分得的電壓，故 E_M= Rv+r真 RyE真 。電源內(nèi)阻的測量可看作電流表的內(nèi)外接法測未知電阻，圖5可看作電流表的外接法，故r測=R+r真 ;圖6看作電流表的內(nèi)接法， r_P4^?=r_?+R_Agt;r_? 。

等效電源法能定量分析誤差，但是思維難度較大。通過類比“電流表的內(nèi)外接法\"的方法，能降低思維的難度。優(yōu)秀學(xué)生可以掌握此種方法，覺得此方法簡單快捷，但是大部分高中生仍是似懂非懂。

（3）一次函數(shù)解析法

針對前兩種方法的不足，第三種方法即一次函數(shù)解析法，能夠更好地用函數(shù)表達式分析誤差。根據(jù)閉合電路歐姆定律， U=E-Ir ，若電表均為理想電表，做出 U-I 圖像，可知 U 關(guān)于 I 為一次函數(shù)關(guān)系，縱軸截距應(yīng)為電動勢 E_M ，斜率的絕對值為電源的內(nèi)阻 r_P（g） ，然而圖1由于電壓表的分流，對實驗數(shù)據(jù)進行修正

整理成 U 關(guān)于 I 的一次函數(shù)即

可知圖像的截距 E 測 RvE真 真。

一次函數(shù)解析法為等效電源法提供了理論依據(jù)，學(xué)生更容易理解。特別是電路圖2，數(shù)學(xué)計算量小，可讓學(xué)生獨立自主分析出 E_Π?=U+I（r_Π?+RA） 。整理成 U 關(guān)于 I 的一次函數(shù) U=-I（r_#+R_A）+E_# ，可得圖像的縱軸截距 E_in=E_f ，圖像斜率絕對值為

在教學(xué)實踐中，通過以上三種方法對系統(tǒng)誤差進行分析，能使電學(xué)實驗的誤差分析更有深度。分析方法層層遞進，注重對知識、方法的深層理解，能促進學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。

2.拓展與應(yīng)用

人教社2019年版選擇性必修三課本分別在參考案例和課后習(xí)題中提到了伏阻法和安阻法測水果電池的電動勢和內(nèi)阻，兩種方法的數(shù)據(jù)處理可采用一次函數(shù)解析法，而誤差分析可以采用等效法。

（1）伏阻法測電源的電動勢和內(nèi)阻

伏阻法測電源的電動勢和內(nèi)阻如圖7所示，電壓表和電阻箱的讀數(shù)為 U 和 R 。采用一次函數(shù)解析法，由閉合電路歐姆定律得 ，整理成 關(guān)于 的一次函數(shù)，表達式為 ，可知縱軸的截距為 ，圖像的斜率為

若考慮實驗的系統(tǒng)誤差，誤差來源于電壓表的分流，電路圖可等效為圖8，即圖1的電路，可知 E 測 測 真。

（2）安阻法測電源的電動勢和內(nèi)阻

安阻法測電源的電動勢和內(nèi)阻如圖9所示，電流表和電阻箱的讀數(shù)為 I 和 R 。由閉合電路歐姆定律得 E=I（R+r） 整理成 關(guān)于 R 的一次函數(shù)，表達式為1=丨R+，可知縱軸的截距為，圖像的斜率為

本實驗的系統(tǒng)誤差來源于電流表的分壓，電路圖可等效為圖10，即圖2的電路，可知 r_☉+R_Agt;r 真。

四、不同方法的優(yōu)缺點

圖像法直觀、具體，可幫助學(xué)生更深刻的理解誤差產(chǎn)生的原因。然而實際教學(xué)中讓學(xué)生獨立畫出真實的 U-I 圖像存在一定的困難。為了解決此問題，教師可首先基于“問題鏈\"教學(xué)模式，提出有效問題串，設(shè)置教學(xué)梯度，降低思維難度。然后用巧妙的畫輔助線的方法，幫助學(xué)生判斷 U-I 圖像中的真實值和測量值。

等效電源法簡捷，能很快定性分析誤差，又能定量分析誤差，深受優(yōu)秀學(xué)生歡迎。但因其思維難度較大，所以，教師可采用類比電流表的內(nèi)外接法，降低思維的跨度。

一次函數(shù)解析法，既有函數(shù)圖象，又有數(shù)據(jù)支持，為等效電源法提供了理論支持，大部分學(xué)生都能理解。伏阻法和安阻法作為伏安法測電池電動勢和內(nèi)阻的實驗原理的拓展，呈現(xiàn)了靈活運用閉合電路歐姆定律的內(nèi)容，用一次函數(shù)解析法找到圖像斜率和截距的意義，并采用畫等效電路圖的方法，將伏阻法和安阻法誤差分析轉(zhuǎn)變?yōu)榉卜y電池電動勢和內(nèi)阻的兩種基本電路誤差分析。

以上方法是處理實驗數(shù)據(jù)的基本方法，教師在實驗教學(xué)中應(yīng)依照“學(xué)思并重”的教學(xué)原則，凸顯科學(xué)方法的指導(dǎo)作用，注重對物理原理和方法的深層次理解和應(yīng)用，有助于學(xué)生科學(xué)思維、科學(xué)探究能力的提升，有助于培養(yǎng)學(xué)生的物理學(xué)科核心素養(yǎng)。

五、總結(jié)

測量電池的電動勢和內(nèi)阻是高中物理的重要實驗，系統(tǒng)誤差分析是難點，常用的分析方法是圖像法和等效電源法，兩種分析方法各有優(yōu)缺點。針對前兩種方法的不足，我們提出了巧妙的解決方法 一一次函數(shù)解析法，它不僅能很好地分析該實驗的系統(tǒng)誤差，還能加深學(xué)生對另外兩種方法的理解和掌握，有助于學(xué)生系統(tǒng)地掌握實驗誤差分析的方法，進行深度學(xué)習(xí)。

（作者單位：山東省淄博第一中學(xué)）

編輯：蔚慧敏