聚焦數(shù)學(xué)建模教學(xué)落實(shí)建模素養(yǎng)培養(yǎng)

以“包裝彩繩問題”為例，從理解現(xiàn)實(shí)情境，構(gòu)建數(shù)學(xué)情境，識(shí)別數(shù)學(xué)元素，建立、反思并推廣數(shù)學(xué)模型方面分析數(shù)學(xué)建模教學(xué)的具體實(shí)施，并針對其中出現(xiàn)的問題，提出基于問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)、積累相關(guān)建模經(jīng)驗(yàn)，基于學(xué)習(xí)進(jìn)階開發(fā)課程、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維，提供溝通交流平臺(tái)、鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)能力，基于數(shù)字化開展教學(xué)、培養(yǎng)學(xué)生模型意識(shí)，提高跨學(xué)科教學(xué)水平、培養(yǎng)學(xué)生高階思維，加強(qiáng)課堂深度學(xué)習(xí)、拓展學(xué)生思考深度的教學(xué)建議。

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用過程中逐步形成和發(fā)展的。數(shù)學(xué)建模是高中生必備的六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，需要學(xué)生有意識(shí)地運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，從現(xiàn)實(shí)情境出發(fā)，發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，然后用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，也就是說數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展需要“做中學(xué)”。我們以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）中的第27個(gè)案以“包裝彩繩問題”為例，引領(lǐng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模，鼓勵(lì)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度剖析現(xiàn)實(shí)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解答問題，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用能力。

教學(xué)“包裝彩繩問題”：情景與問題。春節(jié)期間，佳怡準(zhǔn)備去探望奶奶，她到商店買了一盒點(diǎn)心。為了美觀起見，售貨員對點(diǎn)心盒做了一個(gè)捆扎（見圖1），并在角上配了一個(gè)花結(jié)。售貨員說，這樣的捆扎（對角捆扎）不僅漂亮，還比一般的捆扎包裝更節(jié)省彩繩。你同意這種說法嗎？請給出你的理由。（注：長方體點(diǎn)心盒的高小于長、寬。）

理解現(xiàn)實(shí)情境，揭示問題本質(zhì)。為引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的視角識(shí)別并聚焦于合適的研究對象，可從以下幾方面引入有關(guān)彩繩長度問題的情境：播放商店店員捆扎禮盒視頻，并介紹包裝禮盒的常用捆扎方式：單道捆扎、十字捆扎及對角捆扎（見圖2）；我國并沒有專門法律對包裝用品彩繩長度問題進(jìn)行規(guī)定，但在《童裝繩索和拉帶安全要求》中對童裝上的繩索和拉鏈長度有詳細(xì)規(guī)定，思考此法規(guī)制定的依據(jù)；呈現(xiàn)生活中的“減量化”措施：在不影響使用效果的前提下，盡量減少包裝用量，以降低資源消耗及廢棄物的產(chǎn)生。

上述情境有一個(gè)共同點(diǎn)：在滿足需求的基礎(chǔ)上，體現(xiàn)長度合理化原則。本問題雖未直接提供禮盒長、寬、高的具體尺寸，但通過描述“這樣捆扎不僅漂亮，還比一般的捆扎包裝更節(jié)省彩繩”，推斷出此問題的核心目標(biāo)在于優(yōu)化捆扎方式，以達(dá)到既結(jié)實(shí)、美觀又經(jīng)濟(jì)（即節(jié)省材料）、實(shí)用的效果，并抽象出要解決的現(xiàn)實(shí)問題：在保證捆扎結(jié)實(shí)、美觀的前提下，比較不同捆扎方式所用彩繩長短。

設(shè)計(jì)意圖：現(xiàn)實(shí)情境是理論知識(shí)與實(shí)際應(yīng)用之間的橋梁，理解問題背景是建立恰當(dāng)數(shù)學(xué)模型的前提；創(chuàng)新往往源于對現(xiàn)實(shí)情境的深刻理解與洞察之中。引導(dǎo)學(xué)生理解問題情境，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺與創(chuàng)造力。

構(gòu)建數(shù)學(xué)情境，提煉建模目標(biāo)?！靶抡n標(biāo)”中數(shù)學(xué)建模水平三指出“要清楚所建立數(shù)學(xué)模型的有效性及適用范圍”。提煉目標(biāo)可以明確建模方向，把握問題的關(guān)鍵要素，從而構(gòu)建出符合問題需求的數(shù)學(xué)情境。結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)，捆扎包裝所用彩繩長度包括扎緊包裝盒的長度以及捆扎花結(jié)的長度。由于花結(jié)長度可固定統(tǒng)一，所以在討論不同捆扎方式所用彩繩長度時(shí)，只需討論扎緊包裝盒所用彩繩長度即可。本問題的建模目標(biāo)是求解不同捆扎方式與所用彩繩長度之間的函數(shù)關(guān)系，并從節(jié)約成本的角度給出合理的捆扎建議。

設(shè)計(jì)意圖：構(gòu)建數(shù)學(xué)情境、提煉建模目標(biāo)，可使學(xué)生深入理解實(shí)際問題的需求和限制條件，有針對性地收集數(shù)據(jù)、設(shè)計(jì)模型，使模型更加貼近實(shí)際；同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生全局思維，提高學(xué)生分析問題的能力。

識(shí)別數(shù)學(xué)元素，合理進(jìn)行數(shù)學(xué)化。為了建立彩繩長度模型，需要識(shí)別捆扎過程中的相關(guān)因素并劃分自變量、因變量和其他參數(shù)。彩繩長度顯然是因變量，影響它的主要因素有捆扎方式（轉(zhuǎn)化為包裝盒的長、寬、高）、纏繞次數(shù)、包裝盒形狀、包裝盒上彩繩平滑程度、彩繩的類型與形狀等因素，實(shí)際情境中這些因素具有一定的隨機(jī)性，將其全部看作自變量會(huì)導(dǎo)致建模過程無從下手。為簡化問題，將最影響彩繩長度的包裝盒的長、寬、高視為模型的自變量，非主要考察的因素設(shè)定為它們在日常情境下的平均值，作為模型中的參數(shù)。為便于計(jì)算和建模，做出如下假設(shè)：包裝盒進(jìn)行一次纏繞，包裝盒為常見的長方體，包裝盒上彩繩平滑且無多余褶皺，彩繩有足夠的韌性和強(qiáng)度以滿足包裝需求，并且不考慮彩繩的粗細(xì)對包裝效果的影響等。

問題沒有給出具體長度。出于直觀表示的目的，在將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題時(shí)，需精準(zhǔn)識(shí)別數(shù)學(xué)元素并進(jìn)行數(shù)學(xué)化?，F(xiàn)設(shè)長方體包裝盒的長、寬、高分別是 x ， y ， z ，且 xgt;ygt;z ；所用彩繩繩長為 L 。

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)化是數(shù)學(xué)建模的基石。通過數(shù)學(xué)化，將復(fù)雜的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一系列可操作的數(shù)學(xué)方程、不等式或優(yōu)化問題，使問題更易進(jìn)行數(shù)學(xué)處理和分析；通過數(shù)學(xué)化，提高學(xué)生用數(shù)學(xué)思維思考問題的能力，激發(fā)學(xué)生探索數(shù)學(xué)未知的興趣。并在此過程中引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)問題簡單化，基于已知條件做出合理的假設(shè)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。

建立數(shù)學(xué)模型，求解數(shù)學(xué)結(jié)果。對于單道捆扎法而言（見圖3），當(dāng)長方體各個(gè)面上的彩繩都與長方體的棱垂直時(shí)，所用彩繩最短，為 L=2x+2z 或 L=2y+2z 。對于單道捆扎法而言，最短繩長為 2y+2z 。

對于十字捆扎法而言（見圖4），當(dāng)長方體每個(gè)面上的彩繩都與長方體的棱垂直時(shí)，所用彩繩最短，為 L=2x+2y+4z 。

對于對角捆扎而言，學(xué)生容易將其與對角線捆扎相混淆。對角捆扎是按某種對角線的路徑穿過或圍繞物體，捆扎方式可能并不嚴(yán)格遵循幾何學(xué)中的對角線定義；而對角線捆扎更側(cè)重嚴(yán)格遵循幾何學(xué)中的對角線定義，明確沿著對角線的路徑進(jìn)行捆扎。為此，教師需要引導(dǎo)學(xué)生實(shí)際動(dòng)手探索。

在對角線捆扎法中，經(jīng)學(xué)生實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，此種方法無法對禮盒進(jìn)行有效捆扎。在對角捆扎法中，教師先讓學(xué)生動(dòng)手捆扎，在實(shí)際操作中暴露困難；接著就學(xué)生出現(xiàn)的問題進(jìn)行針對性講解；隨后引導(dǎo)學(xué)生展開捆扎示意圖，并借助拼湊法求解彩繩長度。在對角捆扎中，經(jīng)過試驗(yàn)，繩的捆扎長度與捆扎位置無關(guān)，因而以圖5中的捆扎為代表，計(jì)算對角捆扎所用繩長。

依據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，判斷出：

對三種捆扎方式所用最短繩長進(jìn)行比較，得出所用彩繩長度關(guān)系為：單道捆扎法最短，對角捆扎法次之，十字捆扎法最長。最后，讓學(xué)生思考此問題中最佳的捆扎方式不是單道捆扎法的原因。

出于捆扎牢固的目的，單道捆扎法僅適用于基礎(chǔ)固定（如緊急救援中臨時(shí)固定傷員）、輕量級材料捆扎（如搬家時(shí)捆扎衣物將其固定）等，但在需要高強(qiáng)度固定的包裝禮盒領(lǐng)域較少涉及，本問題不選擇單道捆扎法。

設(shè)計(jì)意圖：通過建立數(shù)學(xué)模型，將包裝彩繩問題轉(zhuǎn)化為比較線段長度問題，基于數(shù)據(jù)及計(jì)算結(jié)果，為決策提供科學(xué)依據(jù)；在此過程中，也能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力、邏輯推理能力；同時(shí)，積累用建模思想解決問題的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，為建模素養(yǎng)的培養(yǎng)奠定基礎(chǔ)。

結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ秃侠硇?。檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇裕枰\(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)及數(shù)學(xué)軟件，對現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合分析，觀察其與模型數(shù)據(jù)的吻合程度?？紤]到時(shí)間及費(fèi)用成本，提供給學(xué)生10個(gè)大小不同但長度滿足“長 gt; 寬 gt; 高”的長方體盒子，分別對其用十字捆扎、對角捆扎進(jìn)行包裝并記錄數(shù)據(jù)，以此檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇浴?/p>

設(shè)計(jì)意圖：通過模型檢驗(yàn)，不僅可增強(qiáng)模型的可解釋性，還可使學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)來源于生活又應(yīng)用于生活?；诂F(xiàn)實(shí)情境分析數(shù)學(xué)結(jié)果，檢驗(yàn)數(shù)學(xué)模型的合理性，找到現(xiàn)實(shí)問題的最優(yōu)解，從而更好地改進(jìn)數(shù)學(xué)模型。

反思數(shù)學(xué)模型，強(qiáng)調(diào)持續(xù)優(yōu)化。數(shù)學(xué)建模應(yīng)充分考慮實(shí)際情境的多樣性及合理性。借助實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合與驗(yàn)證，得到解決“包裝彩繩問題”的數(shù)學(xué)模型。結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境，分析和思考所建立的模型能否有效解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題并得到有效推廣。

例如，改變模型條件：當(dāng)禮盒的高最長時(shí)，對角捆扎是否仍能穩(wěn)固捆扎并達(dá)到所用長度最短的目的…通過模型反思，及時(shí)調(diào)整模型的弊端，也可以識(shí)別潛在問題，從而更好地推動(dòng)模型的迭代與優(yōu)化。

設(shè)計(jì)意圖：通過模型反思，學(xué)生意識(shí)到所建模型的恰當(dāng)與否，同時(shí)反思自己是否掌握數(shù)學(xué)建模流程并評估自身建模素養(yǎng)的發(fā)展水平。在此，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，通過舉一反三、創(chuàng)新問題假設(shè)，帶領(lǐng)學(xué)生運(yùn)用建模思想多次嘗試數(shù)學(xué)建模，以此加深學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的理解并培養(yǎng)學(xué)生的綜合探究能力。

推廣數(shù)學(xué)模型，鍛煉批判思維。以下對“包裝彩繩問題”進(jìn)行橫向遷移。

現(xiàn)有一座圓錐形小山，計(jì)劃從位于山腳的甲村莊修建一條公路至其背面山腰中點(diǎn)的乙村莊。已知山腳到山頂?shù)木嚯x為 40km ，山腳到其背面另一山腳兩端的水平距離為 60km 。問如何修建使得路程最短？

本問題的實(shí)質(zhì)同樣是空間線段的最短問題。解決方法是通過降維，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題。在教學(xué)中首先引導(dǎo)學(xué)生思考合適的路線展開圖，基于路線圖進(jìn)行求解。

設(shè)計(jì)意圖：此問題是對“包裝彩繩問題”的目標(biāo)達(dá)成檢驗(yàn)。“包裝彩繩問題”向?qū)W生滲透了數(shù)學(xué)建模的一般步驟，即提取目標(biāo)、數(shù)學(xué)化、建立模型并求解。該問題相對簡單，目的是通過讓學(xué)生分析和解決此問題，檢驗(yàn)學(xué)生對數(shù)學(xué)建模流程的掌握情況，以及了解學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平?；趯W(xué)生現(xiàn)階段的水平給予有效指導(dǎo)，使學(xué)生可以更加積極地投入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中去。

通過對實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型并求解，學(xué)生能基于數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題，最后結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境反思問題。此過程可以激發(fā)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，且能夠?yàn)閷W(xué)生建模素養(yǎng)的培養(yǎng)創(chuàng)造實(shí)踐的條件，從而提高學(xué)生綜合素質(zhì)。

教學(xué)建議：基于問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)，積累相關(guān)建模經(jīng)驗(yàn)。在新課講授環(huán)節(jié)，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活緊密聯(lián)系，創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生日常經(jīng)驗(yàn)的問題情境，激發(fā)學(xué)生的好奇心和探索欲，使學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)是解決生活實(shí)際問題的重要工具。在創(chuàng)設(shè)問題情境后，教師采用循循善誘的方式，逐步引導(dǎo)學(xué)生分析問題情境。如從問題情境中提煉出關(guān)鍵信息，識(shí)別數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，以及探索可能的解決方案。在鞏固練習(xí)階段，教師從主導(dǎo)者轉(zhuǎn)變?yōu)橛^察者和引導(dǎo)者，給學(xué)生預(yù)留足夠的思考空間和自主探索的時(shí)間。在這一過程中，學(xué)生需獨(dú)立面對與新課內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，嘗試運(yùn)用課堂上學(xué)到的知識(shí)和方法，分析問題、構(gòu)建模型并求解，讓學(xué)生在實(shí)踐中檢驗(yàn)理論，加深對數(shù)學(xué)原理的理解和應(yīng)用能力。

基于學(xué)習(xí)進(jìn)階開發(fā)課程，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維。不同教學(xué)階段的教師可以緊密圍繞課程標(biāo)準(zhǔn)以及當(dāng)前學(xué)生的實(shí)際發(fā)展水平，深人研讀教材，確保全面、精確的把握知識(shí)點(diǎn)。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析并確定既符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律又具有挑戰(zhàn)性的恰當(dāng)教學(xué)目標(biāo)，旨在提升學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)掌握程度，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和解決問題的能力。此外，教師需要充分發(fā)揮專業(yè)創(chuàng)造力，開發(fā)和利用各種課程資源，如利用教材配套的多媒體教學(xué)資源、引入生活化的數(shù)學(xué)實(shí)例來增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，設(shè)計(jì)一系列由淺入深、循序漸進(jìn)的教學(xué)活動(dòng)和實(shí)踐項(xiàng)目，讓學(xué)生在參與和體驗(yàn)中發(fā)展自身的數(shù)學(xué)思維。

基于數(shù)字化展開教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生模型意識(shí)。教師應(yīng)不斷提升多媒體交互教學(xué)能力，充分利用現(xiàn)代信息技術(shù)手段來豐富教學(xué)內(nèi)容。借助豐富的網(wǎng)絡(luò)資源，為學(xué)生介紹各種常見的數(shù)學(xué)模型。通過多次的多媒體互動(dòng)教學(xué)練習(xí)，學(xué)生能夠在直觀感受中逐漸理解模型的應(yīng)用場景和解題方法，這種教學(xué)方式不僅將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡單化，還能夠讓學(xué)生在潛移默化中增強(qiáng)學(xué)生的模型意識(shí)。

（作者單位：聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院；泰山學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院）