k. -佩爾-盧卡斯混合數(shù)與 k. -佩爾-盧卡斯混合多項(xiàng)式的代數(shù)性質(zhì)

中圖分類號(hào)：0015 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Algebraic Properties of k -Pell-Lucas Hybrid Numbers and （2號(hào) -Pell-Lucas Hybrid Polynomials

DENG Yong， CHEN Quanguo

（College of Mathematics and Statistics，Kashi University，Kashi 844OOO，Xinjiang，China）

Abstract： To extend concepts of k -Pell-Lucas progressions and k -Pell-Lucas polynomial sequences，notions of k -PellLucas hybrid numbers and k -Pell-Lucas hybrid polynomials were introduced by considering k -Pell-Lucas progressions and k -Pell-Lucas polynomial sequences as components of hybrid numbers. Concepts of k -Pell-Lucas hybrid progressions and k -Pell-Lucas hybrid polynomial sequences were further derived. Binet formula for k -Pell-Lucas hybrid numbers and k -Pell-Lucas hybridpolynomials，aswellasgenerating functions，exponential generatingfunctions，andVajdaidentities for k -Pell-Lucas hybrid progressions and k -Pell-Lucas hybrid polynomial sequences were discussed. The results show that Binet formula for k -Pell-Lucas hybrid numbers and exponential generating functions for k -Pell-Lucas hybrid progressions are determined by roots of characteristic equations for k -Pell-Lucas progressions and hybrid numbers. Generating functions for k -Pell-Lucas hybrid progressions can be expressed as functions related to initial conditions for k -Pell-Lucas hybrid progressions， and k -Pell-Lucas hybrid polynomial sequences exhibit algebraic properties similar to those of k -Pell-Lucas hybrid progressions.

Keywords： hybrid number； algebraic property； k -Pell -Lucas hybrid number； k -Pell -Lucashybrid polynomial; recurrence relation

斐波那契（Fibonacci）數(shù)列與盧卡斯（Lucas）數(shù)列近年來(lái)廣泛應(yīng)用于線性代數(shù)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、微積分等數(shù)學(xué)分支。矩陣方法是研究數(shù)列代數(shù)性質(zhì)的有力工具，F(xiàn)alc6n等[1]、Bolat等[2]利用初等矩陣代數(shù)得到了 k -斐波那契數(shù)列的生成函數(shù)和可除性等代數(shù)性質(zhì)和恒等式。 引入佩爾（Pell）數(shù)列，并給出了2個(gè)有相同遞推關(guān)系式但是初始條件可能不同的Horadam型廣義斐波那契乘積之和的公式。Ercolano[4]通過(guò)討論滿足佩爾方程的二階方陣解，找出佩爾數(shù)列所有可能的矩陣生成元，建立了佩爾數(shù)的比內(nèi)（Binet）公式。Kalman[5]利用矩陣分析法引入廣義斐波那契數(shù)列的概念，得到廣義斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式。Koshy研究了楊輝三角形（Pascaltriangle）與斐波那契數(shù)列、盧卡斯數(shù)列、佩爾數(shù)列之間的關(guān)系，利用由二項(xiàng)式定理所得的Lockwood恒等式，給出根據(jù)楊輝三角形計(jì)算斐波那契、盧卡斯、佩爾數(shù)列的方法。利用斐波那契、盧卡斯、佩爾、佩爾-盧卡斯數(shù)列的比內(nèi)公式可以討論與Jacobsthal數(shù)列與 k -Jacobsthal數(shù)列相關(guān)的代數(shù)性質(zhì)[7-8]?；旌蠑?shù)9]及以斐波那契、佩爾、佩爾-盧卡斯數(shù)列為分量的混合數(shù)[10-16]引發(fā)了研究者廣泛而深厚的興趣?；旌蠑?shù)作為復(fù)數(shù)的自然且富有啟發(fā)性的延伸，巧妙地融合了復(fù)數(shù)、雙曲數(shù)、對(duì)偶數(shù)的獨(dú)特代數(shù)性質(zhì)，構(gòu)建了一個(gè)全新的數(shù)學(xué)框架。

本文中以 k -佩爾-盧卡斯數(shù)列與 k -佩爾-盧卡斯多項(xiàng)式序列[17]分別為混合數(shù)的分量，引入 k -佩爾-盧卡斯混合數(shù)列與 k -佩爾-盧卡斯混合多項(xiàng)式序列，分別研究 k -佩爾-盧卡斯混合數(shù)列與 k -佩爾-盧卡斯混合多項(xiàng)式序列的代數(shù)性質(zhì)，主要包括比內(nèi)公式、生成函數(shù)、指數(shù)生成函數(shù)及一些重要等式。

1基本理論

定義 1^[17] k -佩爾 - 盧卡斯數(shù)列 由遞推關(guān)系

Q_k，n=2Q_k，n-1+kQ_k，n-2，n≥2

與初始條件 Q_k，0=Q_k，1=2 所定義，其中 k 為正實(shí)數(shù)，n 為自然數(shù)。 k -佩爾-盧卡斯數(shù) Q_k，n 的比內(nèi)公式為

Q_k，n=t₁ⁿ+t₂ⁿ，

其中 、 是式（1）以 Ψ_tΨ_t 為特征根的特征方程 t²-2t-k=0 的互異根， 的生成函數(shù)為

定義 2^[18] （204號(hào) k -佩爾-盧卡斯多項(xiàng)式序列 以 x 為自變量，由遞推關(guān)系

Q_k，n（x）=2xQ_k，n-1（x）+kQ_k，n-2（x），n?2

與初始條件 Q_k，0（x）=2 Q_k，1（x）=2x 所定義。

的比內(nèi)公式為

Q_k，n（x）=t₁ⁿ（x）+t₂ⁿ（x），

其中 ！ 是式（3）的特征方程 t²-2xt-k=0 的互異根。 的生成函數(shù)為

2 k -佩爾-盧卡斯混合數(shù)列

以 作為混合數(shù)的分量，得到 k. -佩爾 盧卡斯混合數(shù)的概念。

定義3 k -佩爾-盧卡斯混合數(shù) H_k，n 定義為

式中：i為虛數(shù)單位， i²=-1 ε 為對(duì)偶數(shù)單位， 0 （ε_E≠0） ； h 為雙曲虛數(shù)單位， 。i、 滿足 。

根據(jù)式（1）、（6），對(duì)于 n?2 ，可得

又因?yàn)?/p>

且

所以有

即 k. -佩爾-盧卡斯混合數(shù)列 由式（7）與初始條件 2k）i+（8+6k）ε+（16+16k+2k²）h 唯一確定。

類似式（2），建立 H_k，n 的比內(nèi)公式。

定理1 H_k，n 的比內(nèi)公式為

其中 ，

證明：由式（2）、（6）可得

由定理1可知， H_k，n 的比內(nèi)公式由 的特征方程的根與混合數(shù)確定。類似式（3），得到 的生成函數(shù)。

定理2 （20 的生成函數(shù)為

證明：

因此有

利用式（7）可得

定理2表明， 的生成函數(shù)可以表示為與 的初始條件相關(guān)的函數(shù)

利用定理1，建立 的指數(shù)生成函數(shù)。

定理3 的指數(shù)生成函數(shù)為

證明：根據(jù)式（8），有

由定理3可知， 的指數(shù)生成函數(shù)由 的特征方程的根與混合數(shù)確定。為了建立 的Vajda恒等式，須先討論 與 的關(guān)系。

引理1 其中 θ=1+k-k³，η=2i+（4+2k）ε+（8+6k）h ， δ=2ki+ ， 。

證明：利用定理1中 、 的表達(dá)式，并結(jié)合定

義3中 i，e_νh 滿足的關(guān)系即可得證。

定理4對(duì)于任意自然數(shù) 的Vajda恒等式為

證明：由式（7）可得

利用定理4，得到 的其他3個(gè)重要恒等式，即卡塔藍(lán)（Catlan）恒等式、卡西尼（Cassini）恒等式、d'Ocagne 恒等式。

推論1對(duì)于 的卡塔藍(lán)恒等式為 （20 0

證明：只須在Vajda恒等式中取 s=-r 即可得證。

推論2對(duì)于 n?1 ， 的卡西尼恒等式為H_k，n-1H_k，n+1-（H_k，n）²=4（Ω-k）^n-1Δ（2δ+θ+η） 。

證明：只須在卡塔藍(lán)恒等式中取 r=1 即可得證

推論3設(shè) m 為自然數(shù)，如果 mgt;n+1 ，則 的d'Ocagne 恒等式為

證明：只須在Vajda恒等式中，取 s=m-n 和 r= 1即可得證。

3 k -佩爾-盧卡斯混合多項(xiàng)式序列

類似定義3的思想，混合數(shù)的分量替換為 ，可得 k. -佩爾-盧卡斯混合多項(xiàng)式 H_k，n（x） 的定義。

定義4 H_k，n（x） 定義為

根據(jù)式（4）、（9），對(duì)于 n?2 ，有

又因?yàn)?/p>

所以有

定義5 k -佩爾-盧卡斯混合多項(xiàng)式序列 由遞推關(guān)系

與初始條件 H_k，0（x）=2+2xi+（4x²+2k）ε+（8x³+6kx）h. H_k，1（x）=2x+（2k+4x²）i+（6kx+8x³）δεe+（2k²+16kx²+17）i. 16x⁴）h 唯一確定。

在研究 的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，可以采用與 相關(guān)問(wèn)題處理方法相似的過(guò)程，因此省略部分證明，僅給出相關(guān)結(jié)論。

定理5 H_k，n（x） 的比內(nèi)公式為

，其中 ，t2（x）=1+t₂（x）i+t₂²（x）ε+t₂³（x）h 。

定理6 （204 的生成函數(shù)為

定理7 的指數(shù)生成函數(shù)為

引理2

其中 θ（x）=1+k-k³-2kx，η（x）=2xi+（4x²+2k）e+ （20號(hào) 。

利用引理2，可以得到 的Vajda恒等式

定理8 的Vajda 恒等式為

推論4對(duì)于 的卡塔藍(lán)恒等式為

推論5對(duì)于 的卡西尼恒等式為

推論6 如果 mgt;n+1 ，則 的 d'Ocagne恒等式為

利用定理5，可得 的求和公式。

定理9 設(shè) n?2 ，有

證明：由定理5，可得

4結(jié)語(yǔ)

本文中將 k -佩爾-盧卡斯數(shù)列的概念拓展到了更寬泛的 k. -佩爾-盧卡斯混合數(shù)列與 k. -佩爾-盧卡斯混合多項(xiàng)式序列領(lǐng)域。該創(chuàng)新性推廣不僅豐富了數(shù)列與多項(xiàng)式理論，也為超復(fù)數(shù)的研究開辟了新視角。推導(dǎo)得到了 k. -佩爾-盧卡斯混合數(shù)列與 k. -佩爾-盧卡斯混合多項(xiàng)式序列的一些重要代數(shù)性質(zhì)，這些成果將為混合數(shù)的后續(xù)研究提供有力工具與理論基礎(chǔ)，從而能應(yīng)用于更廣泛的科學(xué)領(lǐng)域，如代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何、數(shù)學(xué)分析、組合數(shù)學(xué)以及計(jì)算機(jī)科學(xué)等。下一步可探索 k. -佩爾-盧卡斯混合數(shù)列及 k 1佩爾-盧卡斯混合多項(xiàng)式序列與特殊函數(shù)、分?jǐn)?shù)階微積分等現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支之間的聯(lián)系，以期發(fā)現(xiàn)更多新的數(shù)學(xué)現(xiàn)象與規(guī)律，并將相關(guān)理論成果應(yīng)用于密碼學(xué)、信號(hào)處理等領(lǐng)域，以拓廣實(shí)際應(yīng)用范圍

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（責(zé)任編輯：王 耘）