拉壓循環(huán)荷載下基于能量的混凝土損傷本構(gòu)模型

中圖分類(lèi)號(hào)：TU528.01 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Energy-based Concrete Damage Constitutive Model Under Tensile-Compressive Cyclic Loadings

WU Xiaoxin ¹ ， WANG Yin ¹，2 ， JIANG Yating ¹ ， XIE Qun ¹ ， YANG Taochun ¹ ZONG Xianghua' ， SUN Liuyang ³

（1.School of Civil Engineering and Architecture，University of Jinan，Jinan 25o022，Shandong，China; 2.StateKeyLaboratoryofDisasterPreventionandMitigationof ExplosionandImpact，ArmyEnginering Universityof PLA， Nanjing 210007，Jiangsu，China；3. Tong Yuan Design Group Co.，Ltd.，Jinan ，Shandong，China）

Abstract：To solvethe problem that theoriginal Kong-Fang concrete damage constitutive model could not describe strain hardening phenomenon ofconcrete duringcompresionandmodulus damage ofconcrete subjectedto tensile-compressive cyclicloadings，the yield strength surface was introduced todescribethestrainhardening phenomenonofconcrete.Scalars of tensile and shear damage derived onthebasis of energy method were multipliedbytensileand shearstresses respectively to describe the modulus damage problem of concrete.In summary，an energy-based concrete damage constitutive model undertensile-compressivecyclic loadings was establishedand implanted intoLS-DYNA software.Stress-straincurves were predicted under uniaxial compresioncyclicloading，uniaxial tensioncyclic loading，anduniaxial tension-compressive cyclic loading of aconcrete single element model.The results showthatstress-strain curves obtained by numericalycalculating thesingleelement modelusingtheestablishedmodel includeelastic segment，strain hardening segment，and strain softeningsegment.The established model can notonly efectively verifythe strain hardening phenomenon inascending section and strainsoftening phenomenon in descending section of the concrete stress-straincurves，but also perfectly predict the concrete stress-strain curves under uniaxial compressivecyclic loading，uniaxial tensile cyclic loading，and uniaxial tensile-compressive cyclic loading.

Keywords： engineering mechanics；cyclic loading；energy method； modulus damage； constitutive model

既有混凝土建筑在遭受地震、風(fēng)振、凍融等循環(huán)荷載時(shí)，混凝土處于拉伸-壓縮的循環(huán)應(yīng)力狀態(tài)。在循環(huán)荷載下，混凝土出現(xiàn)明顯的模量損傷問(wèn)題，如何在混凝土損傷本構(gòu)模型中準(zhǔn)確地表征循環(huán)荷載下混凝土的模量損傷問(wèn)題成為諸多學(xué)者關(guān)注的焦點(diǎn)。

按照偏應(yīng)力行為與球應(yīng)力行為是否相互獨(dú)立的原則，混凝土損傷本構(gòu)模型可分為流體彈塑性模型和彈塑性損傷模型[1]。流體彈塑性模型的損傷處理方式通常是損傷前置，可獲得混凝土的彈性段、應(yīng)變硬化段和應(yīng)變軟化段，僅能反映混凝土的強(qiáng)度退化；常見(jiàn)的流體彈塑性模型包括LS-DYNA軟件中嵌入的 Kamp;C（Karagozian and Case）模型[2]、HJC（Holmquist-Johnson-Cook）模型[3]、自定義的原始Kong-Fang混凝土損傷本構(gòu)模型[4（簡(jiǎn)稱(chēng)原始模型）等。彈塑性損傷模型的損傷處理方式通常是損傷后置，即損傷標(biāo)量與最終應(yīng)力相耦合，既可反映混凝土的強(qiáng)度退化，又可反映混凝土的剛度退化；常見(jiàn)的彈塑性損傷模型包括ABAQUS軟件中嵌入的混凝土損傷塑性模型[5-10]（concrete damage plasticity，CDP）、自定義的 Wu-Li 模型[11-12]等。

在已有混凝土模型中，通過(guò)擬合應(yīng)力-應(yīng)變曲線下降段提出大部分損傷公式，屬于唯象處理方法，如Kamp;C模型、HJC模型、原始模型等，均通過(guò)等效塑性應(yīng)變累積與固定衰減指數(shù)的耦合描述應(yīng)變軟化。 W_u 等[1]基于熱力學(xué)原理推導(dǎo)拉伸、剪切受力過(guò)程中的能量釋放率，建立了損傷標(biāo)量與能量釋放率之間的耦合關(guān)系，可以較好地描述混凝土的應(yīng)變軟化和模量損傷問(wèn)題

綜上所述，流體彈塑性模型的優(yōu)勢(shì)是在高圍壓下可以表征材料流體特性，彈塑性損傷模型的優(yōu)勢(shì)則是在循環(huán)荷載下可以表征材料的模量損傷問(wèn)題為了使原始模型更好地表征混凝土在受壓過(guò)程中的應(yīng)變硬化和拉壓循環(huán)荷載下的模量損傷，本文中將 模型中基于能量的拉壓損傷演化方法嵌入原始模型，并引入屈服強(qiáng)度面，建立拉壓循環(huán)荷載下基于能量的混凝土損傷本構(gòu)模型（簡(jiǎn)稱(chēng)本文模型），利用已有混凝土單軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線經(jīng)驗(yàn)公式[13]驗(yàn)證本文模型，并預(yù)測(cè)混凝土單軸壓縮循環(huán)荷載、單軸拉伸循環(huán)荷載、單軸拉壓循環(huán)荷載下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。

1 原始模型

原始模型包含失效面、狀態(tài)方程、損傷模型、應(yīng)變率效應(yīng)、單元?jiǎng)h除準(zhǔn)則5個(gè)部分。本文中主要研究拉伸、切應(yīng)力狀態(tài)下混凝土的損傷演化問(wèn)題，從而修正原始模型的強(qiáng)度面和損傷演化，因此從失效面、損傷演化2個(gè)方面給出原始模型的基本理論。

1. 1 失效面

在原始模型的失效面中引人最大強(qiáng)度面 σ_m ）殘余強(qiáng)度面 σ_r 這2個(gè)獨(dú)立的強(qiáng)度面。通過(guò)混凝土的總損傷 D 插值 σ_m，σ_r 描述混凝土的應(yīng)變軟化現(xiàn)象。當(dāng)前失效面 ！ σ_m，σ_r 公式[4]分別為

σ_r=p/（0.5857+0.025p/f_c），

式中： 為應(yīng)力張量， 為應(yīng)力偏量的第二不變量； r^′ 為當(dāng)前子午面與壓縮子午面上的應(yīng)力比； p 為混凝土的靜水壓力； f_t 為混凝土的單軸抗拉強(qiáng)度； f_c 為混凝土的單軸抗壓強(qiáng)度； ξ 為拉伸、壓縮子午線上的切應(yīng)力比

1. 2 損傷演化

在原始模型中， D 由拉伸損傷 D_t 和剪切損傷D_s 組成[4]，即

分別由拉伸塑性應(yīng)變 λ_r 、剪切塑性應(yīng)變 λ 累積而成[4]，即

根據(jù) p 的正、負(fù)區(qū)分損傷狀態(tài)變量：當(dāng) pgt;0 時(shí)，材料處于壓縮狀態(tài)；當(dāng) p?0 時(shí)，材料處于拉伸狀態(tài)。等效塑性應(yīng)變累積 λ 的表達(dá)式[4]為

式中 、 分別為壓縮、拉伸狀態(tài)下的等效塑性應(yīng)變 ，上標(biāo)-、 + 分別表示材料的壓縮（或剪切）、拉伸狀態(tài)。

2 本文模型建立

本文模型的建立過(guò)程如下：刪除原始模型中的σ_r ，補(bǔ)充屈服強(qiáng)度面 σ_y ，通過(guò)修正后的損傷因子 η 插值 σ_y，σ_m ，描述混凝土應(yīng)力-應(yīng)變曲線上升段的應(yīng)變硬化現(xiàn)象；通過(guò)拉伸、剪切損傷標(biāo)量折減更新后的應(yīng)力，用以描述混凝土應(yīng)力-應(yīng)變曲線下降段的應(yīng)變軟化現(xiàn)象。

2.1 失效面修正

本文模型中的 由 σ_m，σ_y 組成，即

利用 λ 的多項(xiàng)式函數(shù)形式表征 η ，表達(dá)式[2]為

本文模型中的 σ_m 與原始模型中的一致， D 由式（9）替換為 η ；由 σ_m 推導(dǎo)得出 ，即

2.2 拉壓損傷修正

為了區(qū)分材料拉伸、切應(yīng)力狀態(tài)，在本文模型中首先正負(fù)分解當(dāng)前應(yīng)力，然后分別計(jì)算拉伸、切應(yīng)力狀態(tài)下的彈性、塑性能量釋放率，最后分別建立拉伸損傷因子與拉伸能量釋放率、剪切損傷因子與剪切能量釋放率之間的物理模型。

2.2.1 拉壓應(yīng)力狀態(tài)區(qū)分

損傷狀態(tài)的宏觀區(qū)別通常以不同的裂紋形式表征。如拉伸損傷由拉伸微裂紋的發(fā)展與貫通形成，剪切損傷由剪切微裂紋的發(fā)展與貫通形成。當(dāng)微裂紋的發(fā)展與貫通歸因于材料的受力狀態(tài)時(shí)，拉伸微裂紋由拉伸應(yīng)力控制，剪切微裂紋由切應(yīng)力控制。由此，本文模型在推導(dǎo)損傷演化時(shí)，利用應(yīng)力譜分解的方法區(qū)分拉伸、切應(yīng)力狀態(tài)[12]，即

式中： 為有效應(yīng)力張量; 分別為剪切、拉伸應(yīng)力狀態(tài)下的有效應(yīng)力分量。

采用雅克比迭代法[14]正負(fù)分解應(yīng)力張量，直至滿(mǎn)足求解精度， 由式（11）移項(xiàng)得出， 的表達(dá)式[12]為

式中： σ_a 為 的特征值矩陣 的元素， a=1 ，2，3； ?σ_a? 為 σ_a 坡度函數(shù)， ?σ_a?= （0，σ≤0n為的特征向量；? 為張量積運(yùn)算符。 的應(yīng)力譜分解公式為 " ，其中 為 對(duì)應(yīng)的特征向量矩陣。

2. 2.2 剪切損傷演化

混凝土單軸壓縮荷載下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖1所示。在本文模型中，通過(guò)對(duì)圖1中混凝土單軸壓縮荷載下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線與坐標(biāo)橫軸所圍的面積積分，引人切應(yīng)力狀態(tài)下的損傷能量釋放率 Y^- 控制剪切損傷[15-16]，即

式中 ψ_01，e^-，ψ_02，e^-，ψ_0，p^- 分別為混凝土應(yīng)力-應(yīng)變曲線初始彈性段、硬化段、軟化段的Helmholtz受剪自由能。

ε —混凝土的應(yīng)變; σ —混凝土的應(yīng)力； o 一坐標(biāo)原點(diǎn)； f_c —混凝土的單軸抗壓強(qiáng)度； 0.45f_c 一初始彈性段與 硬化段的分界點(diǎn); V_01，e^-，ψ_02，e^-，ψ_0，p^- 一初始彈性段、 硬化段、軟化段的Helmholtz受剪自由能。

圖1混凝土單軸壓縮荷載下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線ψ_01，e^- 的表達(dá)式為

式中： E 為彈性模量； μ 為泊松比； 為切應(yīng)力狀態(tài)下有效應(yīng)力偏量的第二不變量； 為 的第一不變量； 為 的第一不變量；：為二階張量的雙重點(diǎn)積運(yùn)算符； 2f₀ 為彈性柔度矩陣，滿(mǎn)足

ψ_01，e^- 不能超過(guò)單軸壓縮荷載下應(yīng)力 應(yīng)變曲線彈性段的應(yīng)變能，其中 0.45f_c 為初始彈性段與硬化段的分界點(diǎn)。

ψ_02，e^- 的累積與材料的塑性相關(guān)，此時(shí)出現(xiàn)塑性變形并開(kāi)始累積，因此 ψ_02，e^- 的計(jì)算與塑性勢(shì)函數(shù)F_p 、流動(dòng)法則相關(guān)。 F_p 的表達(dá)式為

式中 ω 為塑性流動(dòng)關(guān)聯(lián)因子。

流動(dòng)法則為

式中： 為塑性應(yīng)變張量； λ_p 為塑性流動(dòng)因子； 為有效應(yīng)力偏張量； E 為單位矩陣； 為有效應(yīng)力偏量的第二不變量。

ψ_02，e^- 的表達(dá)式為

ψ_0，p^- 的累積計(jì)算過(guò)程與混凝土單軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線硬化段與坐標(biāo)橫軸所圍的面積積分過(guò)程一致，即

剪切損傷變量 d^- 的表達(dá)式[17]為

式中： r₀^- 為混凝土開(kāi)始產(chǎn)生受剪損傷的損傷能量釋放率閾值， r₀^-=ψ_01，e^-+ψ_02，e^- ; r_n^- 為歷史最大受剪能量釋放率， ，max 。

2.2.3 拉伸損傷演化

混凝土為脆性材料，單軸抗拉強(qiáng)度約為單軸拉壓強(qiáng)度的1/10，可忽略單軸拉伸狀態(tài)下的硬化現(xiàn)象。圖2所示為混凝土單軸拉伸荷載下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。在本文模型中，通過(guò)對(duì)圖2中混凝土單軸拉伸荷載下應(yīng)力-應(yīng)變曲線與坐標(biāo)橫軸所圍的面積積分，引入拉伸應(yīng)力狀態(tài)下的損傷能量釋放率Y^+[15-16] ，包含初始彈性段的 Helmholtz 受拉自由能ψ_0，e⁺ 與軟化段的Helmholtz受拉自由能 ψ_0，p⁺ ，即

Y⁺=ψ_0，e⁺+ψ_0，p⁺°

ε 混凝土的應(yīng)變； σ —混凝土的應(yīng)力； o 一坐標(biāo)原點(diǎn)；f_t —混凝土的單軸抗拉強(qiáng)度; ψ_0，e^-，ψ_0，p⁺ 一初始彈性段、軟化段的Helmholtz受拉自由能。

式中 為拉伸應(yīng)力狀態(tài)下有效應(yīng)力偏量的第二不變量。

ψ_0，e⁺ 不能超過(guò)單軸拉伸荷載下應(yīng)力-應(yīng)變曲線彈性段的應(yīng)變能。

ψ_0，p⁺ 的累積計(jì)算過(guò)程與 ψ_0，p^- 的一致，即

拉伸損傷變量 d⁺ 的表達(dá)式[18]為

式中： r₀⁺ 為混凝土開(kāi)始產(chǎn)生受拉損傷的損傷能量釋放率閾值， r₀⁺=ψ_0，e⁺ ; r_n⁺ 為歷史最大受拉能量釋放率， ，max Y⁺ }。

2.2.4 應(yīng)力更新

本文模型中損傷后的應(yīng)力張量為

為了方便驗(yàn)證和應(yīng)用本文模型，編寫(xiě)了本文模型中拉伸損傷和剪切損傷演化源代碼，詳見(jiàn)開(kāi)放科學(xué)識(shí)別碼（OSID碼）。采用Fortran77語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)代碼編譯，將本文模型編譯成功的求解器復(fù)制到LS-DYNA軟件的安裝目錄下，數(shù)值計(jì)算時(shí)調(diào)用此求解器

3 本文模型驗(yàn)證與預(yù)測(cè)

為了驗(yàn)證本文模型能夠描述單軸壓縮循環(huán)荷載作用下混凝土應(yīng)變硬化現(xiàn)象，建立混凝土單單元模型，如圖3所示。該模型采用六面體三維實(shí)體單元驗(yàn)證單軸壓縮荷載下混凝土的應(yīng)變硬化和應(yīng)變軟化現(xiàn)象，并預(yù)測(cè)單軸壓縮循環(huán)荷載、單軸拉伸循環(huán)荷載、單軸拉壓循環(huán)荷載下混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變曲線?；炷羻螁卧Ｐ完P(guān)于 x，y，z 軸對(duì)稱(chēng)，取單單元模型的1/8計(jì)算混凝土單軸壓縮荷載下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線和單軸壓縮循環(huán)荷載、單軸拉伸循環(huán)荷載、單軸拉壓循環(huán)荷載下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，沿 y 軸方向施加豎向位移， x，z 軸方向不設(shè)置約束，單單元模型邊長(zhǎng)為 1mm 。

3.1 單軸壓縮荷載下應(yīng)變硬化現(xiàn)象驗(yàn)證

圖4所示為混凝土單軸壓縮荷載下應(yīng)力-應(yīng)變曲線驗(yàn)證結(jié)果。由圖可知：本文模型數(shù)值計(jì)算的初始彈性直線段與已有混凝土單軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線經(jīng)驗(yàn)公式的彈性直線段基本吻合；增加屈服強(qiáng)度面后，本文模型可以較好地驗(yàn)證混凝土應(yīng)力-應(yīng)變曲線上升段的應(yīng)變硬化現(xiàn)象；引入基于能量的損傷演化方法后，本文模型可以較好地驗(yàn)證單軸壓縮荷載下應(yīng)力-應(yīng)變曲線中下降段的應(yīng)變軟化現(xiàn)象。

3.2 單軸壓縮循環(huán)荷載、單軸拉伸循環(huán)荷載下應(yīng) 力-應(yīng)變曲線預(yù)測(cè)

單軸壓縮循環(huán)荷載、單軸拉伸循環(huán)荷載下混凝土應(yīng)力-應(yīng)變曲線的預(yù)測(cè)結(jié)果如圖5所示。由圖可知，引入彈塑性損傷模型損傷后置的損傷處理方式，能反映單一荷載作用下加、卸載時(shí)混凝土的模量損傷問(wèn)題。由圖5（a）可知，隨著單軸壓縮循環(huán)荷載加、卸載次數(shù)的增加，加、卸載階段的彈性模量逐漸減小，即加、卸載階段的彈性模量由大到小的順序依次為混凝土初始?jí)嚎s彈性模量 E_c0 、第1次壓縮卸載再加載的彈性模量 E_cl 、第2次壓縮卸載再加載的彈性模量 E_e2 、第3次壓縮卸載再加載的彈性模量 E_c3 、第4次壓縮卸載再加載的彈性模量 E_c4 、第

E_c0 —混凝土的初始?jí)嚎s彈性模量; E_cl 、 E_c2 、 E_c3 E_c5- 混凝土第1、2、3、4、5次壓縮卸載再加載的彈性模量。

5次壓縮卸載再加載的彈性模量 E_c5 。由圖5（b）可知：隨著單軸拉伸循環(huán)荷載加、卸載次數(shù)的增加，加、卸載階段的彈性模量逐漸減小，即加、卸載階段的彈性模量由大到小的順序依次為混凝土初始拉伸彈性模量 E_u 、第1次拉伸卸載再加載的彈性模量 E_u 、第2次拉伸卸載再加載的彈性模量 E_?2 、第3次拉伸卸載再加載的彈性模量 E₁₃ 、第4次拉伸卸載再加載的彈性模量 E₁₄ 、第5次拉伸卸載再加載的彈性模量 E_r 。由于忽略混凝土拉伸過(guò)程中應(yīng)變硬化現(xiàn)象，因此單軸拉伸循環(huán)荷載下混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變曲線上升段為直線。

3.3 單軸拉壓循環(huán)荷載下應(yīng)力-應(yīng)變曲線預(yù)測(cè)

圖6所示為單軸拉壓循環(huán)荷載下混凝土應(yīng)力-應(yīng)變曲線的預(yù)測(cè)結(jié)果。由圖6（a）可知：首先進(jìn)行單軸壓縮加載，混凝土經(jīng)初始彈性段和應(yīng)變硬化段進(jìn)入壓縮軟化階段， d^- 累積；其次進(jìn)行單軸壓縮卸載，在 d^- 的影響下，相對(duì)于初始單軸壓縮加載階段，此時(shí)壓縮彈性模量明顯減小；再后進(jìn)行反向單軸拉伸加載，混凝土經(jīng)過(guò)初始彈性段后進(jìn)入拉伸軟化階段， d⁺ 累積；然后進(jìn)行單軸拉伸卸載，在 d⁺ 的影響下，相對(duì)于初始單軸拉伸加載階段，此時(shí)拉伸彈性模量較明顯減??；最后進(jìn)行反向單軸壓縮加載，混凝土應(yīng)力-應(yīng)變曲線沿單軸壓縮卸載時(shí)的彈性模量增至單軸壓縮卸載時(shí)的混凝土強(qiáng)度后馬上進(jìn)入壓縮軟化段；如此往復(fù)循環(huán)。由圖6（b）可知，拉伸-壓縮-拉伸循環(huán)荷載下的混凝土應(yīng)力-應(yīng)變曲線中模量損傷規(guī)律與圖6（a）中壓縮-拉伸-壓縮循環(huán)荷載下的一致。

本模型未考慮拉伸損傷與剪切損傷相互影響機(jī)制，即忽略了剪切微裂紋在拉伸應(yīng)力狀態(tài)下的擴(kuò)展。

4結(jié)論

在原始混凝土模型的基礎(chǔ)上，引入屈服強(qiáng)度面和基于能量的損傷演化方法，建立了拉壓循環(huán)荷載下的混凝土損傷本構(gòu)模型，利用本文模型數(shù)值計(jì)算

單單元模型所得的應(yīng)力-應(yīng)變曲線包含彈性段、應(yīng)變硬化段和應(yīng)變軟化段，驗(yàn)證了單軸壓縮荷載下混凝土的力學(xué)性能，并預(yù)測(cè)了單軸拉伸循環(huán)荷載、單軸壓縮循環(huán)荷載、單軸拉壓循環(huán)荷載下的混凝土應(yīng)力-應(yīng)變曲線，得到以下主要結(jié)論：

1）通過(guò)引入的屈服強(qiáng)度面和最大強(qiáng)度面，本文模型能較好地驗(yàn)證混凝土應(yīng)力-應(yīng)變曲線上升段中的應(yīng)變硬化現(xiàn)象和下降段的應(yīng)變軟化現(xiàn)象

2）利用引入基于能量的損傷演化方法，本文模型能較好地預(yù)測(cè)單軸壓縮循環(huán)荷載、單軸拉伸循環(huán)荷載下混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。

3）利用應(yīng)力譜分解方法區(qū)分拉伸、切應(yīng)力狀態(tài)，本文模型能較好地預(yù)測(cè)單軸拉壓循環(huán)荷載下混凝土荷載下混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，但是未考慮拉伸損傷與剪切損傷相互影響機(jī)制，仍有待于進(jìn)一步完善。

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（責(zé)任編輯：王 耘）