深入原理，備考強(qiáng)基

幾何光學(xué)中，在描述光的反射、折射過程時(shí)，反射光線與入射光線、折射光線與入射光線為什么會滿足反射定律、折射定律？反射成像、折射成像像距和物距之間為什么滿足相應(yīng)的成像規(guī)律？本文結(jié)合費(fèi)馬原理從物理原理角度分別就光的反射、折射、成像，給予推理、證明，同時(shí)結(jié)合近年來的強(qiáng)基考試真題進(jìn)行分析，給出備考建議.

1用費(fèi)馬原理解釋光的平面反射

光在某種介質(zhì)（折射率為 n ）中經(jīng)過距離 ，用時(shí)為 ，相當(dāng)于光在真空中經(jīng)過 n l 的光程所用的時(shí)間，我們把 n l 叫作光程.光在不同介質(zhì)中全程走過的光程為 .根據(jù)費(fèi)馬原理，光從空間的一點(diǎn)到達(dá)另一點(diǎn)總是沿著光程最短的路徑傳播.

從數(shù)學(xué)的角度可以表示為 .在空氣中，光從空間中的一點(diǎn) A 經(jīng)過反射到達(dá)另一點(diǎn) B ，光路如圖1所示.光程為 L = （20當(dāng)入射點(diǎn) O 變化時(shí)，光程會不一樣，當(dāng) 時(shí)，光程最小，即

所以 ，即有 sin β=sin α ，所以 ，即反射角等于入射角.

例1 （復(fù)旦大學(xué)）如圖2所示，平面鏡 M 和 N 呈直角放置，在角平分線上放置一點(diǎn)光源S，試問：S共有幾個(gè)像？分別位于何處？

分析由兩個(gè)及以上的平面鏡組成的光學(xué)系統(tǒng)稱為組合平面鏡，入射到該光學(xué)系統(tǒng)的光線要在平面鏡之間多次反射，出現(xiàn)多次成像的現(xiàn)象.處理此類問題時(shí)，通常利用平面鏡成像的本質(zhì)一一反射成像，抓住“光線反射一次就會成一個(gè)像的特征”在確定像的個(gè)數(shù)時(shí)，充分利用“像和物關(guān)于鏡面對稱\"關(guān)系.

如圖3所示，所有虛像都在以 O （兩鏡的交點(diǎn)）為圓心、 為半徑的圓上.光源 s 通過平面鏡 M 、N 成的像分別為 ，然后 作為虛物通過平面鏡 N ， M 成的像都為 ：

例2（2018年中科大 自主招生）如圖4所示， O A ！ OB是兩面鏡子，成 夾角， 觀察者在兩鏡之間，則觀察 者從 A 鏡中最多能看到 uA S -a /// TTB個(gè)像；從 B 鏡中最多能看到 個(gè)像.

分析初看本題，學(xué)生容易產(chǎn)生很難上手的錯(cuò)覺.平面鏡成像涉及的知識點(diǎn)比較單一，無非就是對稱.但由于涉及多次成像，難免讓人焦頭爛額.筆者給出的建議是：從特殊出發(fā)，找到一般化規(guī)律，即從前三次成像中找到規(guī)律.具體求解過程如下.

如圖5所示，取OS連線與OA夾角為 θ ， S 通過A 第1次成像于 . 與 O A 夾角為 與 O B 夾角為 通過 B 成像于 與 O A 夾角為 （ 2 α + θ ） ，得 s 通過 A 第2次成像于 與OA夾角為 （ 2 α + θ ） ；同理，得 s 通過 A 第3次成像于 與 O A 夾角為 （ 4 α + θ ） ；最終 s 通過 A 第 n 次成像于 ， 與 O A 夾角為 [ 2 （ n - 1 ） α + θ ] 考慮到 [ 2 （ n - 1 ） α + θ ]?π ， n 取整數(shù)得 n = 3 ，則從 A 鏡中最多可以看到3個(gè)像，同理，從 B 鏡中也可看到3個(gè)像.

2用費(fèi)馬原理解釋光的平面折射

利用費(fèi)馬原理在折射路徑中進(jìn)行類似操作.如圖6所示，光從空間中經(jīng)介質(zhì) 中的 A 點(diǎn)進(jìn)入介質(zhì) 到達(dá) B 點(diǎn)，兩種介質(zhì)的折射率分別是 ，光程

當(dāng)入射點(diǎn) O 變化時(shí)，光程會不一樣，當(dāng) 時(shí)，光程最小，即

（20則 ，所以 ，表明光的折射定律滿足費(fèi)馬原理.

當(dāng)物方光線、像方光線與光軸夾角都很小時(shí)，所有參與成像的光線都靠近光軸，這樣的條件稱作傍軸條件或近軸條件.近軸條件下， cos β1 ，此時(shí)上式進(jìn)一步可寫成 （虛像， v 為負(fù)值）， 為平面鏡折射成像公式，該公式又稱為視深公式，即 v = ，或者寫為 ：

一例3（2020年中科大創(chuàng)新班）如圖7所示，水面以下H 處，有一點(diǎn)光源 s ，水的折射率為 n ，人站在水面上向下觀察，試問：他觀察到的點(diǎn)光源的深度（視深） h 是多少？

分析關(guān)于“視深\"問題，北京大學(xué)、南京大學(xué)、中科大等知名高校在命題時(shí)都不厭其煩地多次涉及.這類問題難度不大，甚至完全使用高考范圍內(nèi)的知識也可以求解.破題關(guān)鍵是明確情境、畫出光路.具體求解過程如下.

從S左右對稱發(fā)出兩條光線，經(jīng)水面折射后進(jìn)入人的眼睛，折射光線反向延長線交于 點(diǎn)，即為眼睛看到的光源的位置，到水面的距離 h 為待求的視深在 Δ S O A 中， ；在 中，O A = h tan β ≈ h sin β 根據(jù)折射定律有s i n β = n sin α 綜上得

3費(fèi)馬原理解釋傍軸光線單球面鏡反射成像

如圖8所示，凹面鏡的球心在 C 點(diǎn)，半徑為 為頂點(diǎn)， O C 稱為光軸.平行于光軸入射的光線 A B 打在凹面鏡的 B 點(diǎn)， C B 即為法線， A B 經(jīng)反射后交 O C 于 F 點(diǎn)，圖中的 ∠ A B C = ∠ B C O = ∠ C B F = α ，而∠ B F O = β = 2 α ， O F 的長度記為 的弧長記為 l .假定B 與O非常近（稱為傍軸條件），近似有β= 1 ，所以 r = 2 f ：

通過費(fèi)馬原理推出凹面鏡反射成像公式：如圖9所示，位于光軸上球心 C 外側(cè)有一個(gè)點(diǎn)光源 P ，它發(fā)出許多光線，經(jīng)過球面鏡反射后會聚于 點(diǎn)， 點(diǎn)即為其像點(diǎn)， P O 為物距 為像距 v

在 Δ P A C 和 中，由余弦定理有

光程

給定物點(diǎn)，不同入射點(diǎn)對應(yīng)不同的人射角 θ ，光程也不相同，由費(fèi)馬原理知最短的光程須滿足

所以 ，即 .滿足近軸條件時(shí)， ，所以

此式稱為球面反射成像公式，也稱為高斯成像公式，適用于凹面鏡、凸面鏡成像.

凹面鏡焦距 f 為正、 . r 為正，凸面鏡焦距 f 為負(fù)、r 為負(fù)；物在鏡面前，物距 u 為正，反之 u 為負(fù)；像在鏡面前，像距 v 為正，反之像距 v 為負(fù).對于平面鏡， ，放大率 ：

實(shí)際上，凸面鏡成像特征和凹透鏡相似，凹面鏡成像特征和凸透鏡相似，只不過凹面鏡所成的實(shí)像與物在同一側(cè)，而凸透鏡成的實(shí)像與物不在同一側(cè).

4費(fèi)馬原理解釋傍軸光線單球面鏡折射成像

球面折射成像過程，也可以使用同樣的方法進(jìn)行分析，具體過程如下.

如圖10所示，位于光軸上球心 C 外側(cè)有一個(gè)點(diǎn)光源 P ，它發(fā)出許多光線，經(jīng)過球面鏡折射后會聚于 點(diǎn)， 點(diǎn)即為其像點(diǎn)， P O 為物距 為像距 在 Δ P A C 和 中，由余弦定理有

光程 ，給定物點(diǎn)不同入射點(diǎn)對應(yīng)不同的入射角 θ ，光程也不相同，由費(fèi)馬原理知最短的光程須滿足

即 ，所以 滿足近軸條件時(shí)， ，得球面折射成像公式為

當(dāng) r → ∞ f0 時(shí)，有 ，此式為平面折射成像公式.放大率為

折射成像符號約定：順著自左向右的入射光方向，物點(diǎn)在頂點(diǎn)左側(cè)，物距為正，否則為負(fù)；像點(diǎn)在頂點(diǎn)右側(cè)，像距為正，否則為負(fù)；球面曲率中心在頂點(diǎn)右側(cè)，即為凸面， r 為正，否則為負(fù).

例4如圖11所示，一垂直放置的高為 h = 1 5c m 的圓柱形中空玻璃容器，其底部玻璃較厚，底部頂點(diǎn) A 點(diǎn)到容器底平面中心 B 點(diǎn)的距離為 8 . 0c m ，底部上沿為一凸起的球冠，球心 c 點(diǎn)在 A 點(diǎn)的正下方，球的半徑為 1 . 7 5 c m ，已知空氣和容器玻璃的折射率分別是 和 ，只考慮近軸光線成像.

（1）當(dāng)容器內(nèi)未裝任何液體時(shí)，求從 B 點(diǎn)發(fā)出的光線通過平凸玻璃柱，使 B 點(diǎn)在玻璃柱對稱軸上所成的像的位置，并判斷像的虛實(shí)；

（2）當(dāng)容器中裝滿折射率為1.30的液體時(shí)，求從B 點(diǎn)發(fā)出的光線通過平凸玻璃柱的上表面折射使 B 點(diǎn)所成像點(diǎn)的位置，并判斷這個(gè)像的虛實(shí).

分析本題為光線通過單球面折射成像問題，厘清物距、像距，代入成像公式即可.

（1）容器中未裝任何液體時(shí)， B 點(diǎn)通過凸玻璃柱成像，根據(jù)成像公式

其中 ，得 v = 8 . 0c m ，成實(shí)像于 A 點(diǎn)上方 8 . 0c m 處.

（2）當(dāng)容器中裝有折射率為1.30的液體時(shí)，球冠上方介質(zhì)折射率為 ，根據(jù)成像公式

得 點(diǎn)通過凸玻璃柱的上表面折射后成虛像，像的位置在 A 點(diǎn)下方 2 8 c m 處.

例5（2016年北大博雅）如圖12所示，玻璃半球的半徑為 R 、折射率為 n ，點(diǎn)光源 P 在半球?qū)ΨQ軸上距離半球球心 r 處，且 r （填“同\"或“異”側(cè)，為 （填“實(shí)\"或“虛\"）像.

分析本題是比較典型的多次成像問題，基本破題策略是明確每次成像的物距和像距、實(shí)像還是虛像，還要小心各個(gè)物理量正負(fù).厘清上述物理量后，代入相應(yīng)成像公式即可.

第一個(gè)像為平面反射所成的像，為虛像，虛像的位置在A的右側(cè).

第二個(gè)像為組合成像，如圖13所示，先后為：平面折射成像、球面反射成像、平面折射成像.根據(jù)平面折射成像公式 ，得

，即像點(diǎn)在左側(cè)，則球面反射成像過程中有 ，由反射成像公式 得 ，那么最后光線由右向左經(jīng)平面折射成像，Rnr物距為u＝R-U2=R+2nr ，由平面折射成像公式 =0，得U3 ，即成像于 A 點(diǎn)右側(cè)，為虛像.

5關(guān)于薄透鏡成像

常見的薄透鏡成像問題，可以處理為兩次單球面折射成像問題.考慮到兩次成像，相關(guān)物理量正負(fù)要再明確下：如果物體通過第一個(gè)透鏡的像成在第二個(gè)透鏡的后面，對第二個(gè)透鏡而言即為虛物，此時(shí)物距為負(fù)值.成實(shí)像時(shí)， ；成虛像時(shí)， 對凸透鏡焦距fgt;0 ，凹透鏡焦距

薄透鏡如圖14所示，可以認(rèn)為 、 三點(diǎn)重合.設(shè)第一次成像的像距為 ，成像位置為 ，對第一次成像有

在第二次成像過程中充當(dāng)虛物，物距為負(fù)，記為 ，對第二次成像有 聯(lián)立以上兩式，可得 此為薄透鏡成像公式， 都以凸為正、凹為負(fù).

當(dāng)平行光由物方入射時(shí)，相當(dāng)于 u → ∞ ，根據(jù)薄透鏡成像公式得 ，這個(gè)像點(diǎn)稱為像方焦點(diǎn)，此時(shí)的像距稱為像方焦距，記為

當(dāng)像方以平行光出射時(shí)，相當(dāng)于 v → ∞ ，根據(jù)薄透鏡成像公式得 ，這個(gè)物點(diǎn)稱為物方焦點(diǎn)，此時(shí)的物距稱為物方焦距，記為 f

若透鏡兩側(cè)都是空氣，則 ，薄透鏡的成像公式等價(jià)寫為高斯公式 將高斯公式 變形得 則放大率為

1）對凸透鏡成像，當(dāng) u u ，成放大的虛像；當(dāng) f 0 ， vgt; u ，成放大的實(shí)像；當(dāng) 時(shí)， v gt; 0 ， v lt; u ，成縮小的實(shí)像.

2）對凹透鏡成像，因 f 取負(fù)值，永遠(yuǎn)有 vlt;0 ，成縮小虛像.

例6（2019年北大自主招生）如圖15所示，凸透鏡的焦距為 f ，物體由距離透鏡 x = 3 f 處 A 點(diǎn)移動(dòng)至 x = 1 . 5 f 處B 點(diǎn).

（1）設(shè)物體與其像之間的距離為 D ，求 D 的變化規(guī)律；

（2）若物體以 u 的恒定速度移動(dòng)，求像的速度 v

分析本題第（1）問抓住透鏡成像公式，聯(lián)立物距、像距滿足的幾何關(guān)系，整理出 D 的表達(dá)式，簡單求導(dǎo)確定 D 有極值的條件即可；第（2）問通過物體移動(dòng)速度分析像移動(dòng)速度，破題關(guān)鍵是寫出物距、像距運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，結(jié)合成像公式便可求解.由此可見，充分理解成像公式是解決此類問題的關(guān)鍵.

設(shè)透鏡和像之間的距離為 y ，代人成像公式有 ，聯(lián)立 x + y = D ，解得 x-f，當(dāng)x=2 f 時(shí)， D 有極小值，所以當(dāng)物體從距離透鏡 x = 3 f 處移動(dòng)到 x = 1 . 5 f 處過程中， D 先減小再增大.

物體由 A 點(diǎn)移動(dòng)至 B 點(diǎn)過程中，物距減小像距增大，即 聯(lián)立透鏡成像公式得 y =

則 所以 （20號 0

例7（2014年清華自主招生）暑假，小麗到她叔叔的光具店幫忙.叔叔給她一個(gè)薄透鏡、一支小蠟燭和一座光屏，讓她測量透鏡的焦距.小麗想了一下，試了幾次，最后把點(diǎn)著的蠟燭和光屏放在較遠(yuǎn)的兩邊，相距 L = 1 . 8 0 m ；然后把透鏡從蠟燭處開始緩緩向光屏移動(dòng)，直到在光屏上出現(xiàn)一個(gè)清晰的像；接著她再把透鏡向前移動(dòng)了 D = 0 . 7 2 m ，光屏上又出現(xiàn)一個(gè)清晰的像.經(jīng)過演算，小麗把她測量的原理、方法和結(jié)果告訴了叔叔，叔叔夸獎(jiǎng)她光學(xué)學(xué)得不錯(cuò).那么，小麗測得的透鏡的焦距是多少？

分析本題要求學(xué)生能抓住前后兩次成像之間滿足共軛成像，即物距、像距互易.學(xué)生如果沒有共軛成像的概念，根據(jù)光路可逆觀點(diǎn)同樣能得出一樣的結(jié)論，然后根據(jù)成像公式簡單運(yùn)算即可解決.

設(shè)兩次透鏡成像的物距分別為 ，像距分別為 ，根據(jù)光路可逆或者對稱性特點(diǎn)有 ， ，前后兩次成像時(shí)透鏡位置間距離為 D ，即 ，另 ，得 . ，代人透鏡成像公式 得 f = 0 . 3 8 m

例8（2013年清華自主招生）如圖16所示，在光學(xué)用直導(dǎo)軌型支架上，半徑為 R 的球面反射鏡放置在焦距為 f 的凸透鏡右側(cè)，其中心位于凸透鏡的光軸上，并可以沿凸透鏡的光軸左右調(diào)節(jié).

（1）固定凸透鏡與反射鏡之間的距離，將一點(diǎn)光源放置于凸透鏡的左側(cè)光軸上，調(diào)節(jié)光源在光軸上的位置，使該光源的光線經(jīng)凸透鏡一反射鏡一凸透鏡后，成實(shí)像于點(diǎn)光源處.問該點(diǎn)光源與凸透鏡之間的距離 d 可能是多少？

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，若固定距離 d ，調(diào)節(jié) 以實(shí)現(xiàn)同樣的實(shí)驗(yàn)?zāi)康?，則 的調(diào)節(jié)范圍是多少？

分析對于第（1）問，固定凸透鏡和凹面鏡的位置，任意改變物距，最終成實(shí)像于點(diǎn)光源處，抓住凹面鏡的作用是改變光傳播方向，結(jié)合過凹面鏡球心或反向延長線過球心的光線原路返回和對稱性特點(diǎn)，畫出相應(yīng)光路圖即可實(shí)現(xiàn)破題.本題的第（2）問則是在第（1）問基礎(chǔ)上的討論的，結(jié)合凸透鏡第1次成實(shí)像或虛像便可得出答案.

（1）可以分三種情況進(jìn)行討論.

第1種情況：調(diào)節(jié)光源與凸透鏡之間距離的大小，如圖17-甲所示，當(dāng) v+ R= l 時(shí)，由光源發(fā)出的任意光線穿過凸透鏡后，成實(shí)像于凸透鏡右側(cè)光軸上 c 點(diǎn)， C 點(diǎn)正好處于凹面鏡球心位置上，光線沿著反射鏡的半徑方向入射到它上面，并沿著同一路徑反射回去，所有這樣的光線都會聚于光源所在點(diǎn).由成像公工 得

第2種情況：改變光源和凸透鏡之間的距離，如圖17-乙所示，使 R - v = l ，即成虛像于凸透鏡左側(cè)的C 點(diǎn)， C 點(diǎn)處于凹面鏡球心位置，光線沿著凹面鏡半徑方向人射并沿著同一路徑反射回去，根據(jù)光路可逆，可知最終光線會聚于光源位置，根據(jù)成像公式

得 中

第3種情況：如圖17-丙所示，當(dāng) v = R = l 時(shí)，即光源經(jīng)凸透鏡成實(shí)像于凹面鏡對稱中心 C 處，光線被凹面鏡對稱反射，然后再經(jīng)過凸透鏡形成由上到下或由下到上的光路，最后會聚于光源所在的位置.由成像公式 得 1

（2）對應(yīng)于第（1）問中三種情況，逐一分析.

第1種情況，根據(jù) dgt;f ，光源經(jīng)凸透鏡第一次成實(shí)像，即 v gt; f ，故 l = v + R gt; f + R

第2種情況，根據(jù) d

6備考策略和建議

強(qiáng)基測試是立足高考，難度高于高考的考試，它不像物理競賽有半步超綱的說法.相較而言，競賽生會占優(yōu)勢，但只要知識搭建到位，稍加練習(xí)，非競賽生是完全可以駕馭的.建議強(qiáng)基備考常規(guī)化、知識模塊化，并做好以下準(zhǔn)備：

6.1 物理知識深入化

在備考強(qiáng)基時(shí)，要做到對知識深入理解，以光學(xué)內(nèi)容為例，要熟記幾何光學(xué)的基本概念、定律和公式，理解每個(gè)公式的物理意義和適用條件.落實(shí)關(guān)于光的反射、折射基本規(guī)律，各種面鏡、透鏡成像的規(guī)律和特點(diǎn)，掌握各種光學(xué)儀器成像時(shí)物理量正負(fù)的約定.

處理幾何光學(xué)的一個(gè)基本前提是能夠正確、規(guī)范地畫出光路圖，掌握繪制光路圖的基本方法，尤其是透鏡和球面鏡的三條特殊光線，通過光路圖分析像的位置、大小和性質(zhì).

另外，在掌握物理概念、規(guī)律的同時(shí)，還要對其內(nèi)在聯(lián)系及物理本質(zhì)有更深人的理解.

6.2 完善數(shù)學(xué)工具

在提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的同時(shí)，還應(yīng)及時(shí)補(bǔ)充必要的數(shù)學(xué)知識，掌握簡單的求導(dǎo)、積分、求極限方法，并能夠熟練運(yùn)用各種情況下的小量近似和辨別各類圖像.

6.3提高邏輯推理能力

在日常學(xué)習(xí)中，考生應(yīng)逐步培養(yǎng)、提升從復(fù)雜物理過程中正確提取物理情境、構(gòu)建物理模型的能力，逐漸做到將復(fù)雜過程層次化，實(shí)際情境模型化，具體模型知識化，同時(shí)養(yǎng)成逐步分析問題、總結(jié)規(guī)律的學(xué)習(xí)習(xí)慣.另外，我們還可以通過歷年真題熟悉題型和難度，通過模擬題提升解題速度和準(zhǔn)確性，

（完）