電磁感應(yīng)問(wèn)題中動(dòng)量定理的應(yīng)用

電磁感應(yīng)與力的綜合應(yīng)用問(wèn)題是高考命題的熱點(diǎn)，綜合性強(qiáng)、難度大，這類問(wèn)題從不同角度可以分為單桿問(wèn)題、雙桿問(wèn)題和線圈問(wèn)題，或有外力和無(wú)外力幾種情況.本文主要討論單桿切割磁感線時(shí)受外力和不受外力兩類問(wèn)題，兩類問(wèn)題中單桿做非勻變速運(yùn)動(dòng)，安培力為變力，常涉及求單桿運(yùn)動(dòng)時(shí)間、位移和電荷量，通常應(yīng)用動(dòng)量定理求解.

1 無(wú)外力情況

如圖1所示，無(wú)外力情況下的電磁感應(yīng)問(wèn)題的情境一般是導(dǎo)體棒以初速度 切割磁感線，導(dǎo)體棒質(zhì)量為 、電阻不計(jì)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B ，導(dǎo)軌間距為 L .無(wú)外力情況下，水平方向上導(dǎo)體棒只受安培力，由于安培力為變力，則導(dǎo)體棒切割磁感線做非勻變速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度為0時(shí)，根據(jù)動(dòng)量定理有 ，有 -" F安t = -""B 2 ""L2"v/ R" "t = -" B"2"L"2"x/R "=" ，解得 從而建立位移和電荷量的關(guān)系.

例1 如圖2所示，水平面上有兩根足夠長(zhǎng)的光滑平行金屬導(dǎo)軌MN和 P Q ，兩導(dǎo)軌間距為 ? ，電阻均可忽略不計(jì)，在 M 和 P 之間接有一阻值為 R 的電阻.導(dǎo)體桿 a b 質(zhì)量為 、電阻為 r ，并與導(dǎo)軌接觸良好，整個(gè)裝置處于方向豎直向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 B 的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中.現(xiàn)給 a b 桿一個(gè)初速度 ，使桿向右運(yùn)動(dòng)， a b 桿最后停在導(dǎo)軌上.下列說(shuō)法正確的是（ ）.

A.ab桿速度減為 時(shí)， a b 桿加速度大小

B.ab 桿速度減為 時(shí)，整個(gè)過(guò)程回路中產(chǎn)生的熱量為 C.ab桿速度減為 時(shí)，通過(guò)電阻的電荷量 D.ab桿速度減為 時(shí)， a b 桿通過(guò)的位移

導(dǎo)體桿在光滑導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)，水平方向上只受安培力，當(dāng)其速度減為 時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有 a"=" F安/"m "="B "2"l"2v"0/"3 m （ R + r ） "，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.根據(jù)能量0守恒定律，桿運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中損失的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為回路中產(chǎn)生的熱量，故有 gm，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.設(shè)桿速度從υ。減為 經(jīng)過(guò)的時(shí)間為 ，根據(jù)動(dòng)量定理有- "F安"t = - B"I"l t =" ，解得 ，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.另有 解得 ，選項(xiàng)D正確.本題選D.

位移已知時(shí)，可以用電荷量和位移的關(guān)系求出電荷量大小；位移未知時(shí)，應(yīng)用動(dòng)量定理求解電荷量.

例2如圖3所示，有一區(qū)域足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小 B = 1T、方向與水平放置的金屬導(dǎo)軌垂直，導(dǎo)軌光滑且足夠長(zhǎng)，寬度為 L = 2 m ，右端接有電阻 R = 3 Ω . M N 是一根質(zhì)量為 電阻 的與導(dǎo)軌垂直放置且接觸良好的金屬棒，不計(jì)其他電阻.現(xiàn)給金屬棒M N 一水平向左的初速度 ，則（ ）.

A.金屬棒MN運(yùn)動(dòng)的最大距離是 8 m B.金屬棒MN運(yùn)動(dòng)的最大距離是 1 6 m C.當(dāng)金屬棒 M N 產(chǎn)生的焦耳熱 Q = 3 J 時(shí)，金屬棒MN的加速度是 （20D.當(dāng)金屬棒 M N 產(chǎn)生的焦耳熱 時(shí)，金屬棒 M N 的加速度是 （20

金屬棒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，水平方向上只受安培力，設(shè)金屬棒從開始運(yùn)動(dòng)到停下經(jīng)過(guò)的時(shí)間為 ，運(yùn)動(dòng)的最大距離為 x ，根據(jù)動(dòng)量定理有

解得 （R+r）mu。=8m，選項(xiàng)A正確.電阻為1Ω的金屬棒 M N ，產(chǎn)生的焦耳熱為3J時(shí)，電阻 R 產(chǎn)生的焦耳熱為9J，則整個(gè)回路產(chǎn)生的焦耳熱為12J，由能量守恒定律知金屬棒運(yùn)動(dòng)時(shí)損失的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為回路中產(chǎn)生的焦耳熱，即有

解得v=2 m·s-1，由牛頓第二定律得 a ="F安/"m"=" ，選項(xiàng)D正確.本題選A、D.

解題時(shí)應(yīng)注意選項(xiàng)只給出了金屬棒產(chǎn)生的焦耳熱，并非總的電路產(chǎn)生的焦耳熱，應(yīng)該用電阻分配算出整個(gè)回路產(chǎn)生的焦耳熱，再用能量守恒定律求出金屬棒的速度，進(jìn)而根據(jù)牛頓第二定律求出加速度.

2 有外力情況

如圖4所示，有外力情況下，以導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较?，根?jù)動(dòng)量定理有 即 ，得到電荷量與時(shí)間的關(guān)系.和無(wú)外力情況下的導(dǎo)體棒切割磁感線情況相比，無(wú)外力情況下最終得到的表達(dá)式不含 ，而有外力情況下，得到含 的表達(dá)式，在其他物理量已知的情況下，若知 q 和 t 其中一個(gè)物理量，就可求出另一個(gè)物理量.

例3如圖5所示，平行金屬導(dǎo)軌豎直固定放置，頂端接一阻值為 R 的電阻，平行邊界MN和 P Q 相距 x ，內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B 的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一質(zhì)量為 的導(dǎo)體棒從邊界MN處由靜止釋放，到邊界 P Q 處時(shí)，加速度恰好為零，已知平行金屬導(dǎo)軌寬為 L ，重力加速度為 g ，導(dǎo)體棒始終與導(dǎo)軌保持良好接觸，不計(jì)導(dǎo)體棒和導(dǎo)軌電阻，則（ ）.

A.導(dǎo)體棒到邊界PQ處時(shí)速度的大小為 B.導(dǎo)體棒到邊界 P Q 處時(shí)速度的大小為 C.導(dǎo)體棒穿過(guò)磁場(chǎng)所用時(shí)間為 D.導(dǎo)體棒穿過(guò)磁場(chǎng)所用時(shí)間為

導(dǎo)體棒到達(dá) P Q 時(shí)，加速度恰好為零，此時(shí)其受力平衡，重力和安培力大小相等，即有 ，得u= B2L，選項(xiàng)A正確.對(duì)導(dǎo)體棒列動(dòng)量定理方程有 ，得

解得 B選項(xiàng)C正確.本題選A、C.

當(dāng)導(dǎo)體棒到達(dá)磁場(chǎng)邊界時(shí)，加速度為零，說(shuō)明此時(shí)重力與安培力達(dá)到平衡，通過(guò)這一條件可以求出導(dǎo)體棒的速度大小.在求解導(dǎo)體棒穿過(guò)磁場(chǎng)的時(shí)間時(shí)，可考慮利用動(dòng)量定理，將安培力的沖量與速度變化量聯(lián)系起來(lái).

例4如圖6所示，間距為 L 的兩根平行長(zhǎng)直金屬導(dǎo)軌 M N ? P Q 固定在傾角為 θ 的絕緣斜面上，導(dǎo)軌上端接有阻值為 R 的電阻，一根長(zhǎng)

為 L 、電阻為 3 R 的直導(dǎo)體棒ab垂直放在兩導(dǎo)軌上，整個(gè)裝置處于方向垂直斜面向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B 的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中， a b 由靜止釋放后沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)，下滑位移大小為 s 時(shí)到達(dá)cd位置并開始以最大速度""做勻速運(yùn)動(dòng) a b 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與導(dǎo)軌接觸良好，不計(jì)導(dǎo)軌電阻及一切摩擦，重力加速度大小為 g .求從ab由靜止釋放到開始勻速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所經(jīng)歷的時(shí)間"

應(yīng)電動(dòng)勢(shì)不斷增大，感應(yīng)電流不斷增大，安培力不斷增大，加速度逐漸減小，導(dǎo)體棒先做變加速運(yùn)動(dòng)，加速度減為零時(shí)做勻速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)有 m g sin θ =""，另有q""，對(duì)導(dǎo)體棒根據(jù)動(dòng)量定理有mg sin""，把算出的導(dǎo)體棒質(zhì)量和電荷量代入上式，得"

點(diǎn)電磁感應(yīng)問(wèn)題中如涉及求時(shí)間，應(yīng)考慮用動(dòng)量定理求解.本題思路是先用q=""求出電荷量，進(jìn)而得到安培力的沖量，再根據(jù)動(dòng)量定理求出時(shí)間.

電磁感應(yīng)中的單個(gè)導(dǎo)體棒問(wèn)題，由于安培力是變力，動(dòng)量定理成為解決問(wèn)題的主要突破口，深刻理解動(dòng)量定理對(duì)解決此類問(wèn)題具有重要意義.

（完）