利用場(chǎng)的疊加原理求解電勢(shì)場(chǎng)強(qiáng)問(wèn)題

電場(chǎng)強(qiáng)度 E （場(chǎng)強(qiáng)）與電勢(shì) φ 是分別從力的角度與能的角度描述電場(chǎng)性質(zhì)的重要物理量.求解電場(chǎng)中某處的場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的過(guò)程，能體現(xiàn)物理觀念與科學(xué)思維等物理學(xué)科核心素養(yǎng).本文結(jié)合典型例題分析，依據(jù)電場(chǎng)的疊加原理，利用等效法、對(duì)稱(chēng)性、微元法、補(bǔ)償法等求解多個(gè)點(diǎn)電荷或帶電體產(chǎn)生電場(chǎng)中的某點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)，從而加深對(duì)知識(shí)的理解和認(rèn)識(shí).

1電場(chǎng)疊加原理

一個(gè)帶電體在其周?chē)a(chǎn)生的電場(chǎng)可認(rèn)為是許多個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生電場(chǎng)的疊加形成的合電場(chǎng).各個(gè)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)是相互獨(dú)立、互不影響的.如果有多個(gè)點(diǎn)電荷同時(shí)存在，它們產(chǎn)生的電場(chǎng)相互疊加.利用電場(chǎng)的疊加原理，理論上可計(jì)算出任意帶電體在任意點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì).

2 電勢(shì)的疊加

點(diǎn)電荷Q產(chǎn)生的電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)=kQ（注：此公式高考不作要求，但可用此公式定性分析）.電勢(shì)是標(biāo)量，也是相對(duì)量，一般選取無(wú)限遠(yuǎn)處或大地的電勢(shì)為零.當(dāng)空間有多個(gè)點(diǎn)電荷同時(shí)存在時(shí)，電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)等于各個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)產(chǎn) ，選項(xiàng)B、D錯(cuò)誤.圓環(huán)兩次在 A 處的速度均為0，可以分別對(duì)圓環(huán)在 A 到 B 和 B 到 A 的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中使用動(dòng)能定理求解圓環(huán)兩次經(jīng)過(guò) B 時(shí)的速度.從 A 到 B 有 ；從 B 到 A 有 muB2，聯(lián)立可得-2W= 所以圓環(huán)下滑經(jīng)過(guò) B 處的速度小于上滑經(jīng)過(guò) B 處的速度，選項(xiàng)C正確.

生的電場(chǎng)電勢(shì)的代數(shù)和，遵循代數(shù)運(yùn)算法則，例1如圖1所示， 為均勻帶有電荷量為 + Q 的細(xì)棒，C 為 A B 棒附近的一點(diǎn)， C B 垂直于 A B .已知 A B 棒上電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)在 C 點(diǎn)的電勢(shì)為 φ ， φ 可以等效成 A B 棒上電荷集中于 A B 上 P 點(diǎn)處、帶電荷量為 + Q 的點(diǎn)電荷所形成的電場(chǎng)在 C 點(diǎn)的電勢(shì).若（204 P C 的距離為 r ，選取無(wú)限遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，有 φ= k" Q/"r"則 A C 連線(xiàn)中點(diǎn) D 的電勢(shì)為（ ）.

A. B. C. 2φ D. 4 φ

若將AB棒分成等長(zhǎng)的 A F ， F B 兩段，這兩段的帶電荷量均為

，如圖2所示.與AB棒上電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)相比， D點(diǎn)到 A F ， F B 的距離為 C 點(diǎn)到 A B 距離的一半， A F ， F B 兩段的電荷量也為 A B 的一半.根據(jù)對(duì)稱(chēng)性與公式 φ"= k" Q /r"可知， 兩段上的電荷在 D 點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)的電勢(shì)相等，設(shè)為 ，且 ，故 D 點(diǎn)的電勢(shì) 2 φ ，選項(xiàng)C正確.

A B 棒上的電荷為非點(diǎn)電荷，產(chǎn)生的電場(chǎng)在直角三角形的一個(gè)頂點(diǎn) c 處的電勢(shì)可等效為棒上的電荷集中在其中點(diǎn) F 的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢(shì).過(guò) D 點(diǎn)作AB的垂線(xiàn) D F ，則得△AFD與△BFD兩個(gè)相同的直角三角形，與原直角 Δ A B C 相似（ . A F 或BF上的電荷量與AB電荷量類(lèi)比， C 點(diǎn)與 D 點(diǎn)類(lèi)比），根據(jù)電場(chǎng)的疊加原理與電勢(shì)的特性，即可得出 D 點(diǎn)的電勢(shì).以上求解過(guò)程體現(xiàn)了等效法、類(lèi)比法、微元法等思想與方法.

例2 （原創(chuàng)）正四面體ABCD各面均為導(dǎo)體，但又彼此絕緣.已知四面體每個(gè)面上均勻分布有不同的電荷，四個(gè)面的電勢(shì)分別為 0 . 1 V . 2 V 、 3 V ，則四面體中心 O 點(diǎn)的電勢(shì)為（ ）.

A.1.2 V B.1.3 V C.1.4 V D.1.5 V

設(shè)正四面體四個(gè)面的總電荷量為 Q ，四面體中心 O 點(diǎn)的電勢(shì)為 φ .若保持四面體不動(dòng)，增加每一個(gè)面的電荷量，使每個(gè)面的電荷量均變?yōu)?Q 根據(jù)電場(chǎng)的疊加原理與對(duì)稱(chēng)性可知，四面體每個(gè)面的電勢(shì)均變?yōu)? .這時(shí)四面體所包圍的空間構(gòu)成一封閉的等勢(shì)體，四面體表面及內(nèi)部各點(diǎn)的電勢(shì)均為 點(diǎn)的電勢(shì)變?yōu)?4 φ ，有 4 φ = 6 V ，故 φ = 1 . 5 V ，選項(xiàng)D正確.

本題中四面體的每個(gè)面所帶電荷量不等，為充分利用每個(gè)面所產(chǎn)生電場(chǎng)在 O 點(diǎn)具有對(duì)稱(chēng)性，將每個(gè)面上的電荷量變?yōu)樗膫€(gè)面上原總電荷量，巧妙地利用了電場(chǎng)的疊加原理與處于靜電平衡導(dǎo)體的特性進(jìn)行求解，求解過(guò)程簡(jiǎn)潔、高效.

例3 （原創(chuàng)）由 A ， B 兩平行金屬板構(gòu)成的電容器的電容 C = 0 . 1 μ F ，現(xiàn)使 A 板帶有 的正電荷， B 板帶有 的正電荷，則 A 、B 兩板的電勢(shì)差為（ ）.

A.60 V B. 30 V C. 45 V D.15 V當(dāng)電容器兩板帶有等量的異種電荷（設(shè)每板電荷量絕對(duì)值為 Q ）時(shí)，電容器兩板間的電勢(shì)差為 .由電場(chǎng)疊加原理知，在原電容器 A ， B 兩板上分別再加上等量的同種電荷，則電容器兩板的電勢(shì)差 U 不變.令 在 A ， B 兩板上分別再加電荷量 Δ Q ，則 A 板上的電荷量變?yōu)? 板上的電荷量變?yōu)? ，此時(shí)電容器兩板帶有等量的異種電荷，每板所帶電荷量的絕對(duì)值等于電容器的帶電荷量 C，兩板間電勢(shì)差 ，選項(xiàng)D正確.

點(diǎn)當(dāng)電容器兩板帶有等量異種電荷時(shí)，兩板間的電勢(shì)差 .平行板電容器兩極板的形中狀與大小相同，當(dāng)兩板分別帶有等量的同種電荷時(shí)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性知兩板的電勢(shì)相等，其電勢(shì)差為零；當(dāng)電容器兩板的電荷量不同時(shí)，只要兩板的電荷量改變相同，兩板間的電勢(shì)差不變.本題根據(jù)電場(chǎng)的疊加原理，巧妙地將原本帶有不等量異種電荷的平行板兩容器兩板分別加上等量的同種電荷，將電容器的兩板變成帶有等量的異種電荷，而兩板間的電勢(shì)差不變.

3場(chǎng)強(qiáng)的疊加

點(diǎn)電荷 Q 產(chǎn)生電場(chǎng)中某點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小 E = kQ/ r 2"方向?yàn)檎姾稍谠撎幍氖芰Ψ较?場(chǎng)強(qiáng)為矢量，當(dāng)空間有多個(gè)點(diǎn)電荷同時(shí)存在時(shí)，電場(chǎng)中某點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)等于各個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)產(chǎn)生電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)的矢量和，遵循矢量運(yùn)算（如平行四邊形、三角形）法則.

例4如圖4所示，半球面ACB上均勻分布有電荷量為+ q 的電荷， C D 為通過(guò)半球頂點(diǎn)C 與球心 O 的軸線(xiàn)， P ? Q 為 C D 軸上與 O 點(diǎn)等距離的兩點(diǎn)，已知P 點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小為 ，則 Q 點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng) 大小為（ ）.

A. B. 2E1

由對(duì)稱(chēng)性知，半球面 A C B 上電荷在 P 點(diǎn)產(chǎn)生電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng) 方向沿 P Q 直線(xiàn)向右.若用與左半球電荷面密度相同的右半球 A D B 與左半球組成一個(gè)球體，如圖5所示，則整個(gè)球殼內(nèi)的合場(chǎng)強(qiáng)處處為零.由電場(chǎng)的疊加原理與對(duì)稱(chēng)性知，右半球ADB上的電荷在 Q 點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)與左半球A C B 上的電荷在 P 點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)等大反向，故左半球ACB上的電荷在 Q 點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小 ，選項(xiàng)A正確

補(bǔ)上右半球與左半球等量的電荷，由于左右兩半球關(guān)于球心 O 點(diǎn)對(duì)稱(chēng)， P ? Q 兩點(diǎn)關(guān)于 O 點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則左、右兩半球上電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)在 P ? Q 兩點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)關(guān)于 O 點(diǎn)對(duì)稱(chēng).補(bǔ)上右邊半球殼，構(gòu)造整個(gè)均勻帶電球殼，均勻帶電的球殼在球外空間產(chǎn)生的電場(chǎng)，等效于電荷集中于球心處點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)，球殼外與球心對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)電勢(shì)相同，場(chǎng)強(qiáng)等大反向；球殼內(nèi)各處的合場(chǎng)強(qiáng)為零，電勢(shì)相等.

例5如圖6所示，在半徑為 R 的圓環(huán)上分布有不能移動(dòng)的正電荷 Q ， A B 是圓環(huán)的一條直徑， P 點(diǎn)為圓環(huán)上的一點(diǎn)，且 ∠ P O B = θ 若圓環(huán)直徑 A B 上的場(chǎng)強(qiáng)處處為零，則圓環(huán)上P 點(diǎn)處電荷的線(xiàn)密度（單位長(zhǎng)度上電荷量）為（ ）.

A. B.

由于均勻帶電球殼其內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)處處為零，而圓環(huán)只對(duì)圓心具有中心對(duì)稱(chēng)性，若圓環(huán)直徑上的場(chǎng)強(qiáng)處處為零，可設(shè)想將均勻分布在以 A B 為直徑的球面上的電荷 Q 對(duì)應(yīng)地轉(zhuǎn)移到以AB為直徑的圓環(huán)上，則圓環(huán)直徑 A B 上的場(chǎng)強(qiáng)處處為零.如圖7所示.在圓環(huán)上 P 點(diǎn)處取一小段弧長(zhǎng) Δ L ，則 Δ L 上分布的電荷量 Δ Q 等于半徑為 R 的均勻帶電荷量為 Q 的球面上相應(yīng)一小環(huán)帶所帶電荷量的一半，即 （204號(hào)則線(xiàn)密度 4Rsin0，故選項(xiàng)B正確.

本題的求解關(guān)鍵在于將圓環(huán)上電荷的不均勻分布與球面上電荷的均勻分布相聯(lián)系，而這種聯(lián)系是根據(jù)電場(chǎng)的疊加原理，假設(shè)直徑相同的電荷分布不均勻的帶電圓環(huán)與電荷分布均勻的帶電球面在直徑上的場(chǎng)強(qiáng)等效.

例6正 n 邊形的頂點(diǎn)依次分布著電荷量分別為 的點(diǎn)電荷，各頂點(diǎn)到中心 O 的距離均為 R ，靜電力常量為 k ，求正 n 邊形 O 點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)大小.

正 n 邊形相鄰兩頂點(diǎn)與中心點(diǎn) o 連線(xiàn)的夾角 設(shè) O 點(diǎn)處場(chǎng)強(qiáng)大小為 ，如圖8-甲所示.若將各頂點(diǎn)處點(diǎn)電荷的電荷量加倍，則 O 點(diǎn)處場(chǎng)強(qiáng)的方向不變，大小變?yōu)? ，如圖8-乙所示.再將正 n 邊形由圖8-乙所示位置繞 O 點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) θ 角，如圖8-丙所示，其中電荷量為 的點(diǎn)電荷可看成是電荷量為 q 與 的兩個(gè)點(diǎn)電荷的疊加，其中電荷量為 的點(diǎn)電荷在 O 處的產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小 （2\"-1）q，方向如圖8-丙所示，則圖8-丙中心 O 處場(chǎng)強(qiáng)大小 可以看成是圖8-甲中心 O 點(diǎn)處場(chǎng)強(qiáng) 與電荷量為 的點(diǎn)電荷在 O 處的場(chǎng)強(qiáng) 的矢量和.則有 ，得

以上分析將原來(lái)正 n 邊形各頂點(diǎn)處點(diǎn)電荷的電荷量加倍，再將正 n 邊形繞 O 點(diǎn)逆時(shí)針旋角度 ，O點(diǎn)處場(chǎng)強(qiáng)矢量大小不變，方向也沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)相應(yīng)角度.將電荷量為 的點(diǎn)電荷看成電荷量為 q 與 兩個(gè)點(diǎn)電荷的疊加，作出場(chǎng)強(qiáng)矢量 與 的合成圖，由矢量圖形分析與求解，把抽象化為具體、復(fù)雜化為簡(jiǎn)單.

利用電場(chǎng)的疊加原理，依據(jù)電勢(shì)與場(chǎng)強(qiáng)分別遵循的運(yùn)算法則，充分利用圖形的對(duì)稱(chēng)性，能分析與計(jì)算非點(diǎn)電荷帶電體電場(chǎng)中電勢(shì)與場(chǎng)強(qiáng)相關(guān)問(wèn)題. （完）