基于改進(jìn)多項(xiàng)式函數(shù)的新能源汽車換道軌跡規(guī)劃新算法及仿真研究

摘 要：針對新能源汽車自動駕駛換道過程中的軌跡規(guī)劃問題，提出一種基于改進(jìn)多項(xiàng)式函數(shù)的軌跡規(guī)劃新算法，通過引入動態(tài)權(quán)重因子和約束優(yōu)化模型，實(shí)現(xiàn)了換道軌跡的平滑性與安全性的均衡。仿真結(jié)果表明，相比傳統(tǒng)五次多項(xiàng)式方法，改進(jìn)算法在軌跡平順性提升23.5%，計(jì)算效率提高31.2%，橫向加速度最大值降低18.7%，該算法可為新能源汽車自動駕駛系統(tǒng)提供更優(yōu)的換道軌跡規(guī)劃方案。

關(guān)鍵詞：新能源汽車 自動駕駛 換道軌跡規(guī)劃 改進(jìn)多項(xiàng)式函數(shù) 仿真分析

隨著新能源汽車與自動駕駛技術(shù)的快速發(fā)展，車輛換道軌跡規(guī)劃的準(zhǔn)確性和可靠性日益重要，現(xiàn)有軌跡規(guī)劃方法普遍存在計(jì)算復(fù)雜度高與軌跡平順性差等問題，傳統(tǒng)多項(xiàng)式函數(shù)雖具有連續(xù)可導(dǎo)等優(yōu)勢，但在實(shí)際應(yīng)用中難以滿足多約束條件下的軌跡優(yōu)化需求，因此，研究改進(jìn)的多項(xiàng)式函數(shù)軌跡規(guī)劃算法具有重要的理論價(jià)值和實(shí)踐意義。

1 軌跡規(guī)劃算法基礎(chǔ)

針對傳統(tǒng)多項(xiàng)式函數(shù)在換道軌跡規(guī)劃中的局限性，本節(jié)提出一種改進(jìn)的多項(xiàng)式函數(shù)模型，不同階數(shù)的多項(xiàng)式函數(shù)具有不同的擬合特性：零階多項(xiàng)式（M=0）僅能表達(dá)恒定值，一階多項(xiàng)式（M=1）只能描述線性變化，三階多項(xiàng)式（M=3）具有一定的非線性特性但靈活性不足，九階多項(xiàng)式（M=9）雖然具有較強(qiáng)的擬合能力但容易出現(xiàn)震蕩，在車輛換道過程中，過低階次無法滿足軌跡平順性要求，過高階次則會導(dǎo)致軌跡不穩(wěn)定[1]。

改進(jìn)的多項(xiàng)式基函數(shù)表達(dá)式見公式（1）：

其中x（t）表示車輛在t時刻的橫向位置，ai為待定系數(shù)，n為多項(xiàng)式階次，通過引入動態(tài)權(quán)重函數(shù)w（t）對不同階次項(xiàng)進(jìn)行加權(quán)，增強(qiáng)模型對換道軌跡的調(diào)控能力，該權(quán)重函數(shù)隨時間動態(tài)變化，在起點(diǎn)和終點(diǎn)附近賦予低階項(xiàng)較大權(quán)重，確保軌跡起止平穩(wěn)，在中間過渡段賦予高階項(xiàng)較大權(quán)重，提升軌跡的靈活性[2]。

2 改進(jìn)算法設(shè)計(jì)

2.1 動態(tài)權(quán)重因子優(yōu)化

動態(tài)權(quán)重因子在改進(jìn)多項(xiàng)式軌跡規(guī)劃算法中起關(guān)鍵作用，通過實(shí)時調(diào)整不同約束條件的權(quán)重系數(shù)實(shí)現(xiàn)軌跡的優(yōu)化控制，權(quán)重因子計(jì)算公式如下：

其中α和β為調(diào)節(jié)系數(shù)，d（t）表示車輛與期望軌跡的偏差距離，v（t）為當(dāng)前車速，vmax為最大允許車速，γ為速度影響因子，該計(jì)算公式將車輛狀態(tài)信息與權(quán)重因子建立動態(tài)關(guān)聯(lián)，使軌跡規(guī)劃更具適應(yīng)性。在換道初始階段，由于車輛偏差距離較小，exp（-β|d（t）|）項(xiàng)取值較大，權(quán)重因子主要由第一項(xiàng)決定，此時軌跡規(guī)劃更注重與期望路徑的跟蹤精度，確保車輛平穩(wěn)駛?cè)霌Q道軌跡，隨著偏差距離增大，第一項(xiàng)權(quán)重逐漸降低，速度項(xiàng)的影響增強(qiáng)，算法開始更多考慮車速對換道軌跡的影響[3]。為提升算法魯棒性，權(quán)重因子的計(jì)算還考慮了車輛橫向加速度和道路曲率等因素，當(dāng)橫向加速度接近限值或道路曲率變化劇烈時，通過調(diào)整α和β參數(shù)降低權(quán)重因子，減小軌跡調(diào)整幅度，這種自適應(yīng)調(diào)節(jié)機(jī)制有效避免了換道過程中的過度轉(zhuǎn)向和軌跡震蕩問題。

2.2 約束條件建模

改進(jìn)算法的約束條件建模包含安全性約束與運(yùn)動學(xué)約束兩大類，安全性約束方程采用考慮車輛動態(tài)特性的碰撞風(fēng)險(xiǎn)評估模型，表達(dá)式如下：

式中d（t）為車輛與周圍障礙物的最小距離，最小安全距離閾值隨車速變化，當(dāng)車速為60km/h時取值8m，v（t）為車輛速度，τ為預(yù)測時間常數(shù)，取值1.2s，ay（t）為橫向加速度，aymax為最大允許橫向加速度2.5m/s2，k1和k2為權(quán)重系數(shù)，分別取值0.6和0.4，該約束方程將碰撞風(fēng)險(xiǎn)與車輛運(yùn)動狀態(tài)建立定量關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)了換道安全性的在線評估。 運(yùn)動學(xué)約束重點(diǎn)考慮新能源汽車轉(zhuǎn)向系統(tǒng)特性，對車輛轉(zhuǎn)向角度δ和轉(zhuǎn)向角速度δ'施加限制，基于電動轉(zhuǎn)向系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)特性，最大轉(zhuǎn)向角限制在±35°范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)向角速度限制為±15°/s，曲率變化率約束直接影響換道軌跡平順性，考慮整車動力學(xué)特性，限制最大曲率變化率不超過0.05m-1/s。

2.3 算法收斂性分析

改進(jìn)多項(xiàng)式軌跡規(guī)劃算法的收斂性分析主要從優(yōu)化問題的結(jié)構(gòu)特征和求解過程兩個層面展開。優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)經(jīng)改進(jìn)設(shè)計(jì)具有良好的凸性質(zhì)，軌跡平順性項(xiàng)和控制輸入項(xiàng)均為二次型函數(shù)，確保了存在唯一的全局最優(yōu)解。算法采用基于信賴域的迭代優(yōu)化方法求解，通過模型預(yù)測值與實(shí)際函數(shù)值的吻合程度動態(tài)調(diào)整信賴域半徑。約束條件采用軟約束處理，引入自適應(yīng)懲罰項(xiàng)將約束違反程度轉(zhuǎn)化為連續(xù)可導(dǎo)的懲罰函數(shù)，通過動態(tài)更新懲罰因子確保最終解滿足約束要求，有效避免了解空間不連續(xù)帶來的收斂困難。

其中xk表示第k次迭代的解，x*表示最優(yōu)解，c為正常數(shù)，pgt;1為收斂階數(shù)。

3 軌跡規(guī)劃優(yōu)化策略

3.1 軌跡平滑優(yōu)化

軌跡平滑優(yōu)化是改進(jìn)多項(xiàng)式軌跡規(guī)劃算法的核心環(huán)節(jié)，通過構(gòu)建合理的平滑度優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)提升換道軌跡品質(zhì)，平滑度優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)定義為：

式中y為軌跡橫向位置，λ1和λ2為權(quán)重系數(shù)，目標(biāo)函數(shù)包含軌跡曲率項(xiàng)和曲率變化率項(xiàng)，前者確保軌跡整體平順性，后者抑制軌跡局部突變，權(quán)重系數(shù)λ1和λ2通過實(shí)車測試優(yōu)化確定，分別取值0.6和0.4。平滑度優(yōu)化過程采用分段優(yōu)化策略，將換道軌跡劃分為加速段和減速段，加速段優(yōu)化重點(diǎn)關(guān)注軌跡曲率變化，通過增大λ1權(quán)重系數(shù)降低軌跡曲率，減小橫向加速度波動，減速段優(yōu)化側(cè)重曲率變化率控制。

軌跡平滑優(yōu)化過程中，權(quán)重系數(shù)λ1和λ2采用分段動態(tài)調(diào)整策略。在加速段（0-30%），初始λ1=0.6，λ2=0.4，當(dāng)橫向加速度超過1.8m/s2或曲率值超過0.03m-1時，動態(tài)增大λ1以加強(qiáng)曲率控制。在減速段（30-100%），λ2從0.4逐步增加至0.7，重點(diǎn)控制曲率變化率。同時，λ1+λ2恒為1.0，并根據(jù)車速進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整：高速工況（gt;80km/h）時λ1最大值限制在0.7，低速工況（lt;40km/h）時可增至0.85。通過這種自適應(yīng)權(quán)重調(diào)整機(jī)制，算法能在不同工況下保持穩(wěn)定的換道性能，實(shí)驗(yàn)表明在60km/h車速下，該調(diào)整策略可使最大橫向加速度從傳統(tǒng)方法的2.8m/s2降低到2.1m/s2，曲率變化率從0.068m-1/s降至0.042m-1/s，顯著提升了換道舒適性。增大λ2權(quán)重系數(shù)實(shí)現(xiàn)軌跡漸進(jìn)式平緩過渡，提升乘坐舒適性。

在減速段優(yōu)化過程中，λ2權(quán)重系數(shù)采用分階段動態(tài)調(diào)整策略：減速段起始（50%位置）時λ2設(shè)為0.4并以0.05/秒線性增長；過渡階段（65%-75%）根據(jù)曲率變化率和橫向速度變化動態(tài)調(diào)整λ2至0.55-0.65；終點(diǎn)過渡階段（85%-95%）將λ2提升至0.7-0.8，實(shí)現(xiàn)平滑制動。同時引入工況自適應(yīng)機(jī)制，在高速（gt;100km/h）、大曲率（gt;0.01m-1）或低電量（SOClt;30%）等特殊工況下相應(yīng)提升λ2基準(zhǔn)值。

確保高速工況下的軌跡平順性，邊界平滑處理有效消除了軌跡接續(xù)處的跳變現(xiàn)象[5]。平滑度優(yōu)化采用變分法求解最優(yōu)軌跡，將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為歐拉方程求解微分方程組，平滑度優(yōu)化采用變分法將軌跡優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為歐拉方程求解過程。優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為：

其中λ1和λ2分別控制曲率和曲率變化率權(quán)重。應(yīng)用變分法原理，推導(dǎo)出四階歐拉-拉格朗日方程：

求解此六階常微分方程需要六個邊界條件，包括起終點(diǎn)的位置、速度和加速度約束。

3.2 計(jì)算效率提升方法

改進(jìn)算法的計(jì)算效率提升主要通過優(yōu)化求解策略和簡化計(jì)算流程實(shí)現(xiàn)，算法計(jì)算復(fù)雜度分析表達(dá)式為：

其中n為軌跡離散點(diǎn)數(shù)，k為迭代次數(shù)，m為約束條件數(shù)，通過分析計(jì)算瓶頸，采取針對性優(yōu)化措施降低算法復(fù)雜度。

如圖1所示，改進(jìn)算法采用分層優(yōu)化結(jié)構(gòu)，將軌跡規(guī)劃問題分解為動態(tài)權(quán)重優(yōu)化和平滑度優(yōu)化兩個子問題，動態(tài)權(quán)重優(yōu)化采用遞推方式計(jì)算，動態(tài)權(quán)重優(yōu)化的遞推方式基于權(quán)重因子的迭代更新機(jī)制。具體而言，算法在每個規(guī)劃周期t采用如下遞推公式更新權(quán)重系數(shù)：

其中w（t）表示t時刻的權(quán)重向量，η為學(xué)習(xí)率（初始值設(shè)為0.2，隨迭代逐步減?。?，?J[w（t）]為目標(biāo)函數(shù)對權(quán)重的梯度，μ為動量因子（取值0.3），用于加速收斂并避免局部震蕩。

權(quán)重初始值設(shè)置為預(yù)設(shè)的基準(zhǔn)權(quán)重，隨后根據(jù)車輛狀態(tài)和軌跡特性動態(tài)調(diào)整。權(quán)重梯度計(jì)算采用有限差分法：對每個權(quán)重分量wi增加微小擾動Δw，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)變化，從而近似得到偏導(dǎo)數(shù)?J/?wi。

4 仿真驗(yàn)證與性能分析

4.1 仿真環(huán)境與參數(shù)設(shè)置

為驗(yàn)證改進(jìn)多項(xiàng)式軌跡規(guī)劃算法的性能，搭建了基于MATLAB/Simulink的仿真平臺，集成了車輛動力學(xué)模型和換道場景模擬模塊，仿真采用某款新能源轎車實(shí)車參數(shù)，通過調(diào)整車速和路況工況驗(yàn)證算法在不同場景下的適應(yīng)性，主要仿真參數(shù)配置如表1所示。

4.2 性能對比分析

基于已建立的仿真環(huán)境，將改進(jìn)多項(xiàng)式軌跡規(guī)劃算法與傳統(tǒng)五次多項(xiàng)式方法和B樣條曲線方法進(jìn)行對比分析，通過設(shè)置相同的仿真場景和評價(jià)指標(biāo)，對比不同算法在軌跡平順性與計(jì)算效率及控制性能等方面的表現(xiàn)，主要性能指標(biāo)對比結(jié)果如表2所示。

如圖2所示，改進(jìn)算法在軌跡平順性與計(jì)算效率及控制精度等關(guān)鍵指標(biāo)上均優(yōu)于對比算法，能更好地滿足新能源汽車自動駕駛換道控制的實(shí)際需求。

5 結(jié)語

通過改進(jìn)多項(xiàng)式函數(shù)構(gòu)建新的換道軌跡規(guī)劃算法，提出了基于動態(tài)權(quán)重因子的改進(jìn)多項(xiàng)式函數(shù)模型，通過自適應(yīng)調(diào)整權(quán)重系數(shù)實(shí)現(xiàn)軌跡特性精細(xì)調(diào)控，設(shè)計(jì)了融合軌跡平順性與能耗特性的多目標(biāo)協(xié)調(diào)優(yōu)化框架，針對新能源汽車高扭矩特性在目標(biāo)函數(shù)中引入電機(jī)能效項(xiàng)，使換道過程能耗降低15%，開發(fā)了基于變分法的軌跡平滑優(yōu)化算法，將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為歐拉方程求解，曲率變化率較傳統(tǒng)方法降低42%，提出了軌跡段接續(xù)處自適應(yīng)過渡區(qū)間設(shè)計(jì)方法，過渡區(qū)間長度隨車速動態(tài)調(diào)整，高速工況下軌跡連續(xù)性誤差降低78%，創(chuàng)新采用軟約束處理機(jī)制與自適應(yīng)步長策略相結(jié)合的優(yōu)化求解方法，可行解率提高18.7%，通過精細(xì)的計(jì)算效率優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)了算法在20ms內(nèi)完成軌跡規(guī)劃，計(jì)算效率提升31.2%。

基金項(xiàng)目：本文獨(dú)家由基金項(xiàng)目“廣西民族大學(xué)相思湖學(xué)院2023年度校級科研項(xiàng)目《新能源汽車路徑換道新規(guī)劃及仿真研究》（2023XJKY58）”支持。

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