初中數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)

教授、博士生導(dǎo)師，中國教育學(xué)會課程專業(yè)委員會常務(wù)理事，中國教育學(xué)會基礎(chǔ)教育評價(jià)學(xué)會常務(wù)理事；義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組核心成員，全國中考數(shù)學(xué)評估組專家，全國高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測評估組專家，北京師范大學(xué)教育質(zhì)量協(xié)同創(chuàng)新中心數(shù)學(xué)首席專家；在Educationand InformationTechnologies，ComputersandEducation，Educational Studiesin Mathematics以及《教育學(xué)報(bào)》《教師教育研究》《教育科學(xué)研究》《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》等國內(nèi)外期刊發(fā)表論文100余篇，完成和在研項(xiàng)目20余項(xiàng)。

【關(guān)鍵詞數(shù)與代數(shù)；結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)；運(yùn)算；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域內(nèi)容是學(xué)生認(rèn)知數(shù)量關(guān)系、探索數(shù)學(xué)規(guī)律、建立數(shù)學(xué)模型的基石。學(xué)習(xí)這些內(nèi)容，有助于學(xué)生從數(shù)量的角度清晰準(zhǔn)確地認(rèn)識、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。良好的結(jié)構(gòu)化教學(xué)設(shè)計(jì)不僅能幫助學(xué)生建立清晰的數(shù)學(xué)概念體系，還能提升他們的推理能力、抽象能力、運(yùn)算能力和模型觀念等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。初中數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域內(nèi)容如何結(jié)構(gòu)化呢？

一、數(shù)與代數(shù)各主題內(nèi)部的結(jié)構(gòu)化

1.“數(shù)與式”的結(jié)構(gòu)化

“數(shù)與式”作為代數(shù)的基礎(chǔ)內(nèi)容，應(yīng)幫助學(xué)生理解字母在表述代數(shù)式和代數(shù)式運(yùn)算中的作用，掌握字母與數(shù)的類比關(guān)系，從而通過代數(shù)運(yùn)算進(jìn)行一般性推理。

對于“數(shù)”的內(nèi)容，首要的是合理安排自然數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)等內(nèi)容，使學(xué)生逐步理解數(shù)的性質(zhì)及其運(yùn)算法則。例如，學(xué)生要先在小學(xué)階段學(xué)習(xí)自然數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)及其基本運(yùn)算等，到初中階段再擴(kuò)展至學(xué)習(xí)有理數(shù)、實(shí)數(shù)，進(jìn)而理解數(shù)系擴(kuò)充后的運(yùn)算法則。在此過程中，教師可以利用數(shù)軸幫助學(xué)生直觀認(rèn)識數(shù)的連續(xù)性、比較數(shù)的大小;可以通過平方根概念引入無理數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生理解實(shí)數(shù)體系的構(gòu)成；等等。

對于“式”的內(nèi)容，其層次性遞進(jìn)安排需以符號化思維為核心，構(gòu)建從具體運(yùn)算到抽象表達(dá)的認(rèn)知框架。其教學(xué)可以從算術(shù)表達(dá)式入手，依托生活實(shí)例自然過渡到用字母表示數(shù)的基礎(chǔ)代數(shù)式（單項(xiàng)式），幫助學(xué)生理解變量替代具體數(shù)值的意義；在此基礎(chǔ)上擴(kuò)展至多項(xiàng)式，讓學(xué)生認(rèn)識到代數(shù)式可以表示更復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系；之后系統(tǒng)展開整式與分式的對比學(xué)習(xí)。在整式方面，通過單項(xiàng)式、多項(xiàng)式的加、減、乘運(yùn)算（如合并同類項(xiàng)、分配律的應(yīng)用等）強(qiáng)化代數(shù)變形規(guī)則；在分式方面，借助分母含字母的表達(dá)式，結(jié)合實(shí)際問題，強(qiáng)調(diào)分母非零的限制條件，辨析分式與整式的本質(zhì)差異。

“數(shù)與式”的內(nèi)容主線應(yīng)為“有理數(shù)一實(shí)數(shù)一整式一分式”。這些內(nèi)容通過數(shù)及運(yùn)算、式及運(yùn)算勾連起來，其教學(xué)應(yīng)以數(shù)的運(yùn)算規(guī)則為根基，逐步延伸至式的抽象表達(dá)。例如，在運(yùn)算法則上，數(shù)的運(yùn)算律可以自然遷移至式的運(yùn)算。具體來說，有理數(shù)運(yùn)算分配律的基本原理能延伸至整式乘法運(yùn)算的展開過程中；分?jǐn)?shù)的通分與約分邏輯與分式運(yùn)算完全一致；等等。因此，數(shù)與式既存在具體與抽象的關(guān)系，又存在特殊與一般的關(guān)系。

2.“方程與不等式”的結(jié)構(gòu)化

“方程與不等式\"涉及一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程、不等式（組）及其解法等，它是代數(shù)知識體系的核心內(nèi)容，是刻畫數(shù)量關(guān)系的重要模型，其教學(xué)結(jié)構(gòu)應(yīng)呈現(xiàn)“縱向類比、橫向推廣\"的立體化特征。

在縱向維度上，教師可以以“等式一不等式\"為主線，先從等式性質(zhì)（如等式兩邊同時(shí)加、減、乘相同的數(shù)，等式仍然成立）出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生掌握一元一次方程的解法，接著通過實(shí)際問題（如人教版教材中“銷售中的盈虧\"問題），引導(dǎo)學(xué)生理解方程是一種表達(dá)數(shù)量相等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，解題應(yīng)聚焦于未知數(shù)取值的確定，然后通過類比等式引入不等式，引導(dǎo)學(xué)生探析等式和不等式在變形規(guī)則上的異同，揭示其共性與差異，最后以生活實(shí)例（如人教版教材中“消費(fèi)方案選擇\"問題）凸顯不等式在“范圍分析\"中的獨(dú)特價(jià)值。這個(gè)過程能體現(xiàn)從確定性關(guān)系到不確定性關(guān)系的思維躍遷。

在橫向維度上，這部分知識體系呈現(xiàn)“從單一到多元”的特征：一方面，從一元一次方程到二元一次方程組、三元一次方程組，強(qiáng)調(diào)利用代入、消元等方法研究多變量關(guān)系問題，深化學(xué)生對系統(tǒng)性建模的認(rèn)知;另一方面，從單一不等式到不等式組，強(qiáng)調(diào)結(jié)合數(shù)軸法分析多約束條件下的解集關(guān)系，幫助學(xué)生掌握復(fù)雜問題的分層處理策略。這種結(jié)構(gòu)既保持知識的內(nèi)在一致性，又體現(xiàn)認(rèn)知層次的提升。

“方程與不等式”知識的建構(gòu)應(yīng)以模型觀念為紐帶，通過方程與不等式的對比，形成“從等號到不等號”從單變量到多變量、從線性關(guān)系到非線性關(guān)系的結(jié)構(gòu)化體系。這種設(shè)計(jì)方法有助于學(xué)生依托方程經(jīng)驗(yàn)跨過不等式學(xué)習(xí)的門檻，通過差異性辨析提高數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，最終實(shí)現(xiàn)從基礎(chǔ)工具應(yīng)用到復(fù)雜現(xiàn)實(shí)問題建模的能力躍遷。

3.“函數(shù)”的結(jié)構(gòu)化

“函數(shù)\"主要包括函數(shù)的概念、一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)。其結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)應(yīng)主要以“變量關(guān)系”為核心，引導(dǎo)學(xué)生探索事物變化的規(guī)律，并通過層層遞進(jìn)的方式建立對函數(shù)的系統(tǒng)性認(rèn)知。在內(nèi)容結(jié)構(gòu)上，三類初等函數(shù)均可遵循“概念一圖象一性質(zhì)一應(yīng)用\"的研究范式，如學(xué)習(xí)“二次函數(shù)”，可以先從典型生活情境中抽象出變量關(guān)系，接著用三種形式刻畫函數(shù)的規(guī)律，然后借助圖象分析函數(shù)的單調(diào)性、極值及變化趨勢等，最后應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際生活中的問題。在知識結(jié)構(gòu)上，“函數(shù)\"縱向銜接小學(xué)階段變量關(guān)系的相關(guān)知識與高中階段函數(shù)的形式化定義（如集合、映射等）；橫向貫通“數(shù)與式”\"方程”“不等式\"等知識模塊。具體而言，代數(shù)式是函數(shù)表達(dá)式的基礎(chǔ)，坐標(biāo)系提供圖象分析工具，方程和不等式作為函數(shù)的特殊狀態(tài)與函數(shù)具有內(nèi)在聯(lián)系。教師在教學(xué)中可以以數(shù)形結(jié)合為紐帶將函數(shù)思想貫穿于方程、不等式的求解過程中，如通過函數(shù)圖象交點(diǎn)求解方程、利用函數(shù)值域分析不等式解集等。

二、數(shù)與代數(shù)各主題之間的結(jié)構(gòu)化

1.體現(xiàn)各主題內(nèi)容之間縱向的邏輯關(guān)聯(lián)實(shí)數(shù)、代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)具有縱向的邏輯關(guān)聯(lián)。數(shù)是起點(diǎn)，實(shí)數(shù)通過字母表示數(shù)的符號抽象過程，并經(jīng)過有限次的加、減、乘、除、乘方、開方等代數(shù)運(yùn)算，可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)式；方程與不等式是用等號或不等號進(jìn)行關(guān)系建模、連接代數(shù)式形成的；函數(shù)是用含有其他變量的代數(shù)式表示方程中一個(gè)變量形成的，它是動(dòng)態(tài)關(guān)系抽象的工具。

2.通過內(nèi)容結(jié)構(gòu)的相似性強(qiáng)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)

數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域內(nèi)容設(shè)計(jì)可以利用內(nèi)容結(jié)構(gòu)的相似性，強(qiáng)化認(rèn)知過程中方法的一致性建構(gòu)，這是結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)的一種體現(xiàn)。如有理數(shù)和實(shí)數(shù)的內(nèi)容通常按照\"定義一性質(zhì)一運(yùn)算一應(yīng)用\"的研究范式展開，這體現(xiàn)了內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化。有理數(shù)的教學(xué)可以通過引入負(fù)數(shù)將自然數(shù)擴(kuò)充到有理數(shù)，繼而按照“有理數(shù)的概念一有理數(shù)的性質(zhì)一有理數(shù)的運(yùn)算一有理數(shù)的應(yīng)用\"學(xué)習(xí)路徑進(jìn)行。而實(shí)數(shù)的教學(xué)可以先復(fù)習(xí)有理數(shù)的學(xué)習(xí)路徑，再類比這樣的路徑展開探究，讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)遷移。類似的，方程與不等式的常見研究范式是“概念一解法一應(yīng)用”。研究函數(shù)，如一次函數(shù)和二次函數(shù)等結(jié)構(gòu)相似的內(nèi)容，通常遵循“概念一圖象一性質(zhì)一應(yīng)用\"的研究范式。研究范式的一致性不僅有利于凸顯相關(guān)內(nèi)容的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，還有助于學(xué)生建立系統(tǒng)性思維，強(qiáng)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

3.通過研究方法的引領(lǐng)建立知識結(jié)構(gòu)

數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化要關(guān)注知識之間的銜接和溝通，通過類比、歸納、推廣、特殊化、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法的引領(lǐng)，建立不同知識之間的關(guān)聯(lián)。例如，算術(shù)中數(shù)的運(yùn)算（如加法、乘法）可以類比遷移到代數(shù)中多項(xiàng)式的運(yùn)算；算術(shù)中的等式性質(zhì)可以推廣到代數(shù)中方程的解法。又如，將無理方程通過平方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為有理方程；將分式方程通過去分母轉(zhuǎn)化為整式方程；將高次方程通過因式分解或換元法轉(zhuǎn)化為低次方程；將多元方程通過代入法或消元法轉(zhuǎn)化為一元方程。這種轉(zhuǎn)化為構(gòu)建結(jié)構(gòu)化的方程知識體系提供了邏輯紐帶。

三、教學(xué)建議

1.設(shè)計(jì)序列化問題，引發(fā)整體性思考

為了讓學(xué)生建立結(jié)構(gòu)化認(rèn)知，教師應(yīng)把握知識形成的關(guān)鍵點(diǎn)、知識之間的內(nèi)在聯(lián)系以及問題變式的發(fā)散點(diǎn)等，設(shè)計(jì)恰當(dāng)且具有啟發(fā)性的序列化問題，引發(fā)學(xué)生的整體性思考。以函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)為例，教師可以聚焦函數(shù)的性質(zhì)有哪些、如何研究函數(shù)的性質(zhì)等關(guān)鍵點(diǎn)及其關(guān)聯(lián)，設(shè)計(jì)3個(gè)引導(dǎo)性問題，引發(fā)學(xué)生對函數(shù)本質(zhì)的整體性思考與理解。問題1：什么是性質(zhì)？性質(zhì)是一類事物共有的特性。問題2：什么是函數(shù)的性質(zhì)？現(xiàn)實(shí)世界中的某些變化會隨著時(shí)間的推移而有增有減、有快有慢，有時(shí)達(dá)到最大值，有時(shí)處于最小值，這些現(xiàn)象反映到數(shù)學(xué)中，就是函數(shù)值隨自變量的增加而增加或減少，以及函數(shù)值何時(shí)最大、何時(shí)最小的問題，這些問題對應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)單調(diào)性、最大值、最小值。問題3：怎樣研究函數(shù)的性質(zhì)？教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)的定義、圖象、解析式展開研究，經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、推理、交流、反思等數(shù)學(xué)活動(dòng)，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提高發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力，培養(yǎng)獨(dú)立思考、探究質(zhì)疑、合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

2.設(shè)計(jì)探究性任務(wù)，引導(dǎo)深度思考

在設(shè)計(jì)探究性任務(wù)時(shí)，教師應(yīng)以引導(dǎo)學(xué)生深度思考為核心目標(biāo)，通過精心設(shè)計(jì)的問題情境和任務(wù)結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生從表層知識學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向深層次的理解與應(yīng)用。首先，任務(wù)設(shè)計(jì)應(yīng)基于學(xué)生的認(rèn)知水平和興趣點(diǎn)，選擇貼近生活或具有挑戰(zhàn)性的問題情境。例如，在“一元一次不等式\"教學(xué)中，教師可以設(shè)計(jì)開放性問題：“某書店正在進(jìn)行促銷活動(dòng)，購買圖書可享受折扣。已知：購買金額滿100元享受9折優(yōu)惠；購買金額滿200元享受8折優(yōu)惠。請分析：在什么情況下一次性購買更劃算？在什么情況下分兩次購買更劃算？是否存在一種能使實(shí)際支付金額最小的購買方式？如果有，請給出具體的購買策略。\"作答這種問題，學(xué)生不僅需要運(yùn)用方程及不等式知識深入分析問題，還需要結(jié)合實(shí)際情況優(yōu)化方案。這種問題有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和問題解決能力。其次，任務(wù)設(shè)計(jì)應(yīng)具有層次性，從簡單到復(fù)雜逐步推進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)。最后，任務(wù)設(shè)計(jì)應(yīng)體現(xiàn)一定自主性。教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生在探究過程中自主提出問題，并通過小組合作、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、數(shù)據(jù)分析等方式尋找答案。例如，在探究“籃球拋物線運(yùn)動(dòng)”時(shí)，教師可以讓學(xué)生實(shí)際測量籃球的投擲高度和距離，收集數(shù)據(jù)并嘗試用二次函數(shù)建模，從而將數(shù)學(xué)知識與實(shí)際現(xiàn)象聯(lián)系起來。此外，教師應(yīng)注重任務(wù)的評價(jià)與反饋，通過學(xué)生自評、學(xué)生互評和教師評價(jià)相結(jié)合的方式，引導(dǎo)學(xué)生反思探究過程中的不足，提升思維深度和學(xué)習(xí)能力。

3.強(qiáng)化算理教學(xué)，突出代數(shù)推理

在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域內(nèi)容的教學(xué)中，教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)算理與數(shù)學(xué)推理，因?yàn)檫@是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵。算理教學(xué)應(yīng)注重從具體到抽象的過渡，幫助學(xué)生理解算法背后的原理。例如，在“有理數(shù)的加減法\"教學(xué)中，教師可以通過數(shù)軸直觀演示運(yùn)算過程，幫助學(xué)生理解負(fù)數(shù)加正數(shù)的算理。同時(shí)，教師應(yīng)通過歸納法引導(dǎo)學(xué)生探索規(guī)律，如探究“三角形數(shù)”“環(huán)形點(diǎn)陣”等，理解相關(guān)計(jì)算公式或表達(dá)式的形成過程。在代數(shù)推理的訓(xùn)練中，教師應(yīng)注重符號意識的培養(yǎng)和邏輯推理能力的提升。例如，在“數(shù)的整除性\"教學(xué)中，教師可以借助邏輯論證問題，如“證明四位數(shù) 能被4整除的充要條件是其末兩位數(shù) 能被4整除\"等，培養(yǎng)學(xué)生的符號意識和推理能力；在“一元二次方程\"教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過配方法推導(dǎo)求根公式，體會代數(shù)推理的普遍性；在“函數(shù)\"教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生分析函數(shù)圖象的變化規(guī)律，發(fā)展幾何直觀和推理能力；等等。

數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)至關(guān)重要，教師可以通過合理組織知識內(nèi)容，構(gòu)建各部分內(nèi)容之間的邏輯聯(lián)系，并在教學(xué)中通過設(shè)計(jì)序列化問題、探索性任務(wù)以及強(qiáng)化推理訓(xùn)練等教學(xué)手段，幫助學(xué)生形成完整的數(shù)學(xué)認(rèn)知體系，增強(qiáng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，使其具備解決復(fù)雜問題的能力。

（姜惠敏系新疆石河子大學(xué)理學(xué)院副教授，黃建系四川省汶川中學(xué)校高級教師、北京師范大學(xué)訪問學(xué)者）

文字編輯劉佳