一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的暗示

約翰·伯努利算不上是數(shù)學(xué)之王，卻是名副其實(shí)的話題之王，還屢次搬起石頭砸自己的腳。現(xiàn)在，我們就來(lái)聊聊他搬起的大石頭——“最速降線”。

這個(gè)問(wèn)題最早由伽利略提出：在兩個(gè)高度不同的點(diǎn)之間連接一個(gè)軌道，小球從高點(diǎn)沿軌道滾下，在不考慮摩擦力的情況下，問(wèn)軌道呈什么形狀，小球能最快到達(dá)低點(diǎn)？

直覺(jué)告訴我們可能是沿直線，因?yàn)閮牲c(diǎn)間直線最短。但伽利略發(fā)現(xiàn)不是，他懷疑是一段圓弧，但又沒(méi)找到證明的方法，這個(gè)問(wèn)題就這樣懸而未決。直到約翰·伯努利把它求證出來(lái)，他發(fā)現(xiàn)原來(lái)這應(yīng)該是一條擺線——一個(gè)圓在地面上滾，圓上面的一點(diǎn)走過(guò)的軌跡就是一條擺線。

約翰發(fā)現(xiàn)在重力場(chǎng)下，小球走最快軌跡應(yīng)該和光穿過(guò)一層層材質(zhì)不同的玻璃一樣，連續(xù)發(fā)生折射，最后走出了一條擺線，因?yàn)楣饪倳?huì)選擇最快的路徑。

“最速降線”告訴我們，最短的距離不見(jiàn)得用時(shí)最少；相反，應(yīng)該先犧牲距離，獲得足夠的速度，最終反而能更快到達(dá)。

“最速降線”還是一條等時(shí)線，無(wú)論在這條軌道上的什么位置放開(kāi)小球，到達(dá)終點(diǎn)所需時(shí)長(zhǎng)都一樣。這似乎在暗示著：只要選對(duì)了路，無(wú)論早晚，都會(huì)成功。

（杲 罡摘自微信公眾號(hào)“蔡爸談數(shù)學(xué)”）