基于深度學(xué)習(xí)的初中數(shù)學(xué)有效教學(xué)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，隨著知識難度的增加，教師對學(xué)生思維能力、建模意識、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理能力等提出了更高的要求。提升課堂教學(xué)效率，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，教師需要關(guān)注學(xué)生感受，促使他們進(jìn)行自主思考、合作探究與深度學(xué)習(xí)。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出：“在積極落實‘立德樹人’根本任務(wù)中，教學(xué)工作應(yīng)面向全體學(xué)生，使他們獲得適應(yīng)終身發(fā)展所必需的學(xué)科核心素養(yǎng)?！苯處熞匾暩咝дn堂的構(gòu)建，在優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容中，探索有效教學(xué)策略；促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，使他們成為課堂學(xué)習(xí)的主體；在獨立思考中進(jìn)行實踐探索、合作學(xué)習(xí)與問題提出，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維；讓他們沉浸在課堂學(xué)習(xí)氛圍中，保持探究熱情，感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實的聯(lián)系，通過深度學(xué)習(xí)形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、基于深度學(xué)習(xí)價值，制訂課堂教學(xué)目標(biāo)

所謂“深度學(xué)習(xí)”是指學(xué)生在對知識的全面、深度理解上，能夠進(jìn)行批判性的觀察、分析與提問，使學(xué)生更好地汲取新知，形成學(xué)科理解，將過往經(jīng)驗與新知融合，實現(xiàn)學(xué)習(xí)的升級、知識的遷移。本堂課“用樹狀圖或表格求概率”的教學(xué)目標(biāo)（見圖1）。

本次課堂教學(xué)主要是回顧過往所學(xué)，密切知識聯(lián)系，促使學(xué)生掌握概率相關(guān)知識，實現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的進(jìn)階：

1.認(rèn)識概率定義，結(jié)合不同情況靈活選用樹狀圖或表格列舉所有可能存在的結(jié)果方法（核心素養(yǎng)發(fā)展目標(biāo)見表1）。

2.自行繪制樹狀圖，不重不漏地使用圖、表做出對某一事件的數(shù)學(xué)解釋。

3.進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，能夠使用概率知識解決實際問題，完成相應(yīng)的習(xí)題。

教師應(yīng)具有課堂教學(xué)智慧，以學(xué)生感興趣的話題、文藝新聞進(jìn)行教學(xué)導(dǎo)入，吸引學(xué)生的課堂注意力，使他們了解概率中的必然事件、不可能事件、隨機事件分別指什么，感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活之間的密切聯(lián)系，跟隨教師的引導(dǎo)進(jìn)行數(shù)學(xué)分析、自主思考、深度學(xué)習(xí)、合作探究。

為了提升課堂教學(xué)效率，促進(jìn)理論與應(yīng)用的融合，教師還需幫助學(xué)生分組，使他們通過探討、合作、分析形成數(shù)學(xué)觀點，并能夠進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)。這樣才能助力學(xué)生數(shù)學(xué)思維的進(jìn)階發(fā)展，讓他們形成邏輯思維，在數(shù)形結(jié)合中增強教學(xué)的趣味性。

二、設(shè)計課堂學(xué)習(xí)活動，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識內(nèi)化

（一）趣味導(dǎo)學(xué)，激發(fā)興趣

在教學(xué)中，教師展示一家四口的照片。隨后提出問題：“老師身邊的同事、朋友都開始要二孩、三孩。我來問一下大家，一對夫妻生一個孩子性別的可能性有哪幾種，生男孩概率有多大？”“如果是一對夫妻要生兩個小孩，生男孩、女孩的可能性有哪幾種？如果生‘一兒一女’，這種可能性又是多少？”學(xué)生紛紛積極作答，以這樣的方式帶領(lǐng)學(xué)生快速回顧曾經(jīng)的概率知識，以便形成知識遷移。

（二）動手操作，形成理解

為了使學(xué)生對課本中的例題形成更為深入的理解，教師讓大家拿出提前準(zhǔn)備好的硬幣，并出具“有三名同學(xué)和一張電影票，如果大家都想去看，用拋硬幣決定。兩面為正小明可以去，兩面為反讓小穎去，一正一反小凡去。這樣的方法是否公平”問題。有的學(xué)生認(rèn)為拋硬幣概率一半一半，這樣的決定方式比較公平；還有的學(xué)生對前面同學(xué)的回答持疑，認(rèn)為不太公平，但又說不上來為什么。

教師這時可以說：“那我們不如來實踐一下，看看通過拋擲硬幣的方法，誰獲得電影票的可能性最大?！边@樣做的目的是使學(xué)生進(jìn)行簡單的實驗，并記錄所產(chǎn)生的數(shù)據(jù)，繼而形成初步認(rèn)識。

教師提示“大家要清晰地記錄每次拋擲硬幣的結(jié)果，每人拋擲兩次，每組中有一人負(fù)責(zé)記錄，其他三人依次拋擲”。其間，教師可進(jìn)行巡視，觀察記錄情況，當(dāng)活動結(jié)束后，再以“現(xiàn)在大家能說一說這樣的方式是否公平”進(jìn)行提問，使學(xué)生展開探討。

學(xué)生1：不公平，因為無論第一次結(jié)果如何，都不影響第二次結(jié)果，但是卻關(guān)系著三人中有一人被淘汰。但是第一次肯定不會是小凡，他勝面更大。

學(xué)生2：對??！這個方式看起來公平，實際根本不公平。如果第一次就是反面，小明直接淘汰了；如果第一次是正面，小穎淘汰了，第二次才決定是小凡還是其他兩人中的誰。

教師：很好，這其中的數(shù)學(xué)奧秘，讓我們來總結(jié)一下吧！誰能試著用數(shù)學(xué)推理的方法說一說為什么不公平？

學(xué)生3：每一次正反的概率是相同的，第一次結(jié)果與第二次結(jié)果出現(xiàn)的可能性也是相同的，所以這其中可能會出現(xiàn)四種結(jié)果，兩種都對小凡有利。

學(xué)生4：兩次拋擲出現(xiàn)四種可能性。小穎、小明之所以吃虧是第一次就會造成他們中的一個出局，無論第一次是哪種情況，小凡都可以寄希望于第二次的拋擲結(jié)果，這才是決定他是否勝出的關(guān)鍵。

教師：真棒！接下來我們認(rèn)識如何用樹狀圖和表格表示本次實驗的結(jié)果，并做出相關(guān)的解釋。

教師可以通過希沃?jǐn)?shù)字白板展示提前準(zhǔn)備好的教學(xué)課件，讓學(xué)生認(rèn)識樹狀圖（見圖2）和表格（見表2）。

教師結(jié)合學(xué)生剛才的回答進(jìn)行總結(jié)。

學(xué)生5結(jié)合圖、表總結(jié)：（正，正）（正，反）（反，正）（反，反），每種可能性為1/4，也就是小明、小穎都是其中一種可能。（正，反）（反，正）都是小凡，他的概率是1/2，所以不公平。

通過這樣的實驗操作、合作探析，學(xué)生能夠形成數(shù)學(xué)建模意識，掌握樹狀圖和表格繪制、填寫要點，理解數(shù)學(xué)問題，提高數(shù)學(xué)表達(dá)能力。

為了降低概率知識的理解難度，教師可以提醒大家，要抓住主要要素，做好不重不漏地羅列出所有的可能性，以便進(jìn)行運算，計算概率。

（三）鞏固訓(xùn)練，深度學(xué)習(xí)

教師可結(jié)合導(dǎo)入環(huán)節(jié)的內(nèi)容，構(gòu)建情境：“我的鄰居王老師一胎生了女孩，現(xiàn)在王老師愛人懷孕了，他們二胎可能會生男孩、女孩哪種概率大，生男孩概率有多少?！睂W(xué)生自主繪制樹狀圖、表格，并做出解答。

學(xué)生根據(jù)曾經(jīng)學(xué)過的概率公式P（A）=m/n，對復(fù)雜問題進(jìn)行分析。

學(xué)校聯(lián)歡會中特別設(shè)有與數(shù)學(xué)有關(guān)的游戲環(huán)節(jié)。有A、B兩個轉(zhuǎn)盤，每個轉(zhuǎn)盤被分成面積相同的扇形。A盤由紅、白兩種顏色組成，B盤則由黃、藍(lán)、綠三種顏色構(gòu)成。根據(jù)配色原則，如果轉(zhuǎn)盤參與者同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，恰好將A盤指針轉(zhuǎn)到紅色，B盤指針對準(zhǔn)藍(lán)色，配色成功，便獲得游戲的勝利。

1.你能用樹狀圖或列表法表示出游戲所有可能產(chǎn)生的結(jié)果嗎？

2.獲勝者的獲勝概率是多少？

學(xué)生循序漸進(jìn)地進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)探索，在自主分析中合作探究，提升問題的復(fù)雜性與難度。并且，教師注意培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，先讓他們在組內(nèi)探討，解決一部分問題，如果生生交流仍然解答不了存在的困惑，可以師生共同探討，解決問題。

學(xué)生6提出：“為何要提到各種顏色面積相同？”教師可將其作為教學(xué)素材，出示如果在A盤紅白色扇形分配中，白色占2/3，紅色占1/3，那結(jié)果會發(fā)生怎樣的變化，使大家隨之調(diào)整樹狀圖或列表法可能出現(xiàn)的結(jié)果，分析這是否會影響游戲的獲勝概率。

學(xué)生7則在思考后回答：“強調(diào)每個轉(zhuǎn)盤被分成面積相同的扇形等塊，是為了保證每個區(qū)域被指針指向的可能性是相等的，也就是等可能性事件。只有在等可能性事件的前提下，我們才能運用常規(guī)的樹狀圖或列表法準(zhǔn)確計算各種結(jié)果出現(xiàn)的概率。扇形面積不同，紅色占比降低了，那么指針落在不同區(qū)域的概率就不一樣了，但還是能知道對應(yīng)的概率?！?/p>

教師對該同學(xué)的回答表示贊許并提問：“那如果是應(yīng)對更為復(fù)雜一點的問題，大家知道應(yīng)該怎么做嗎？”教師還可以運用廢舊包裝紙盒，制作簡易的轉(zhuǎn)盤教具，涂色后使學(xué)生邊進(jìn)行轉(zhuǎn)動實驗，邊記錄可能形成的結(jié)果，幫助他們進(jìn)行概率知識的理解，密切數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)高階思維，進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。

三、創(chuàng)新教學(xué)引導(dǎo)方式，發(fā)揮學(xué)生主體作用

（一）合作探索，小組對決

為了發(fā)揮學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中的主體地位，促進(jìn)他們數(shù)學(xué)推理、邏輯思維、表達(dá)能力等協(xié)調(diào)發(fā)展，教師可繼續(xù)提升問題的難度，引入小組之間的對決。當(dāng)學(xué)生能夠運用樹狀圖和列表法求概率、判斷問題后，教師可以繼續(xù)以小組合作的方式，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)。教師可給出如下問題：

當(dāng)一個不透明的盒子中裝有三個A（紅色）、B（黃色）、C（綠色）小球，教師隨機拿出一個小球記錄顏色后，又把它投進(jìn)盒子，再隨機拿出一個小球，記錄第二次獲取小球的顏色，請大家合作分析兩次拿到同樣顏色小球的概率。

學(xué)生在合作中優(yōu)化思路，糾正錯誤。同時，教師讓學(xué)生結(jié)合這一問題，歸納總結(jié)樹狀圖、列表法各自的優(yōu)勢，說一說哪些情況不適合應(yīng)用列表法。

以小組合作的方式，學(xué)生借助云平臺進(jìn)行簡易思維導(dǎo)圖的繪制，分析用樹狀圖求概率的步驟與注意事項。以計時的方式隨機抽查不同小組的思維導(dǎo)圖，師生一同評定?；蛘呓?jīng)過組間合作探討后，出具相應(yīng)的趣味題目，隨機每組某一成員到講臺上解答，展開小組間的對決。

（二）精選例題，思維擴展

為了幫助學(xué)生對這部分知識的深入理解，教師還可以優(yōu)選經(jīng)典例子，拓展學(xué)生的思維。

如果有三個人，甲口袋中有2個相同的小球，它們分別寫有字母A和B；乙口袋中裝有3個相同的小球，它們分別寫有字母C、D、E；丙口袋中裝有2個相同小球，分別寫有H、I。如果我們從三個口袋中各隨機取出1個小球，會有多少種結(jié)果。

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析：分步畫圖和分類排列，得出正確的結(jié)論是解題的關(guān)鍵。弄清題意后，先讓學(xué)生思考，從3個口袋中每次各隨機地取出1個球，共取出3個球，恰好取得小球為2個元音的概率是多少，總共有多少種取法？

有學(xué)生很快畫出了樹狀圖（見圖3）：

并隨之推導(dǎo)出可能出現(xiàn)的結(jié)果是12種，分別為ACH、ACI、ADH、ADI、AEH、AEI、BCH、BCI、BDH、BDI、BEH、BEI，其中A、E、I是元音，剩余的四個為輔音。

P（一個元音）= ；P（兩個元音）= =

P（三個元音）= ；P（三個輔音）= =

通過對經(jīng)典例題的變式，學(xué)生理解了多元素問題中為何列表法不如樹狀圖方便，知道了哪些情況適用于樹狀圖，哪些情況適用于列表法。

隨后，教師可以布置課后作業(yè)：

1.三位女同學(xué)和一位男同學(xué)并行，從中隨意選出兩人，其性別不同的概率（" ）。

A." " " " "B." " " " C." " " "D.

2.莉莉和柳芳兩人做游戲，如圖4，兩個轉(zhuǎn)盤都是3等份，每一份中標(biāo)注了具體的數(shù)字。游戲開始轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動，兩個轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動后，數(shù)字之和為7時，莉莉勝；數(shù)字之和為8時柳芳勝，根據(jù)你的判斷，兩人誰獲勝的概率更大_________。

3.彤彤和薇薇兩人做游戲，規(guī)則是在不透明的口袋中取球，其中放置型號相同的3個紅球和2個黑球，兩人先后從袋子中取球（取出不放回），若兩人所取球顏色相同，彤彤勝；不同，薇薇勝。

（1）請用樹狀圖或列表法求出所有可能出現(xiàn)的摸球結(jié)果。

（2）這個游戲規(guī)則的制定是否公平，請你來說一說理由。

總之，本節(jié)新課講授進(jìn)一步學(xué)習(xí)了概率，讓學(xué)生在以往知識的基礎(chǔ)上進(jìn)行遷移性學(xué)習(xí)，認(rèn)識到舊知識無法解決新問題。有時候看似公平的事情，用數(shù)學(xué)推理發(fā)現(xiàn)其存在不公平現(xiàn)象。本次授課我主要以促進(jìn)學(xué)生自主合作的方式，使他們擁有使用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，鼓勵學(xué)生提問、注意捕捉學(xué)生問題中的教學(xué)素材，設(shè)計不同的習(xí)題，以便使學(xué)生自主探索、深度學(xué)習(xí)，使他們在實際問題中進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，形成優(yōu)秀的邏輯思維能力。通過教學(xué)反思，我發(fā)現(xiàn)本節(jié)課自制教具稍有不足，當(dāng)時主要考慮到怕分散學(xué)生的注意力。在后續(xù)教學(xué)中，我將繼續(xù)秉持學(xué)生為本的教育理念，在幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識架構(gòu)中進(jìn)行創(chuàng)新探索，使他們喜歡數(shù)學(xué)課，能夠進(jìn)行深度學(xué)習(xí)、合作探究。

（作者單位：福建省漳州市第七中學(xué)）

編輯：溫雪蓮