在初中數(shù)學教學中,隨著知識難度的增加,教師對學生思維能力、建模意識、數(shù)學抽象、邏輯推理能力等提出了更高的要求。提升課堂教學效率,促進學生進行深度學習,教師需要關注學生感受,促使他們進行自主思考、合作探究與深度學習。
《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》提出:“在積極落實‘立德樹人’根本任務中,教學工作應面向全體學生,使他們獲得適應終身發(fā)展所必需的學科核心素養(yǎng)?!苯處熞匾暩咝дn堂的構建,在優(yōu)化教學內容中,探索有效教學策略;促進學生深度學習,使他們成為課堂學習的主體;在獨立思考中進行實踐探索、合作學習與問題提出,培養(yǎng)學生的數(shù)學思維;讓他們沉浸在課堂學習氛圍中,保持探究熱情,感受數(shù)學與現(xiàn)實的聯(lián)系,通過深度學習形成數(shù)學核心素養(yǎng)。
一、基于深度學習價值,制訂課堂教學目標
所謂“深度學習”是指學生在對知識的全面、深度理解上,能夠進行批判性的觀察、分析與提問,使學生更好地汲取新知,形成學科理解,將過往經(jīng)驗與新知融合,實現(xiàn)學習的升級、知識的遷移。本堂課“用樹狀圖或表格求概率”的教學目標(見圖1)。
本次課堂教學主要是回顧過往所學,密切知識聯(lián)系,促使學生掌握概率相關知識,實現(xiàn)數(shù)學思維的進階:
1.認識概率定義,結合不同情況靈活選用樹狀圖或表格列舉所有可能存在的結果方法(核心素養(yǎng)發(fā)展目標見表1)。
2.自行繪制樹狀圖,不重不漏地使用圖、表做出對某一事件的數(shù)學解釋。
3.進行深度學習,能夠使用概率知識解決實際問題,完成相應的習題。
教師應具有課堂教學智慧,以學生感興趣的話題、文藝新聞進行教學導入,吸引學生的課堂注意力,使他們了解概率中的必然事件、不可能事件、隨機事件分別指什么,感受數(shù)學與現(xiàn)實生活之間的密切聯(lián)系,跟隨教師的引導進行數(shù)學分析、自主思考、深度學習、合作探究。
為了提升課堂教學效率,促進理論與應用的融合,教師還需幫助學生分組,使他們通過探討、合作、分析形成數(shù)學觀點,并能夠進行數(shù)學表達。這樣才能助力學生數(shù)學思維的進階發(fā)展,讓他們形成邏輯思維,在數(shù)形結合中增強教學的趣味性。
二、設計課堂學習活動,促進數(shù)學知識內化
(一)趣味導學,激發(fā)興趣
在教學中,教師展示一家四口的照片。隨后提出問題:“老師身邊的同事、朋友都開始要二孩、三孩。我來問一下大家,一對夫妻生一個孩子性別的可能性有哪幾種,生男孩概率有多大?”“如果是一對夫妻要生兩個小孩,生男孩、女孩的可能性有哪幾種?如果生‘一兒一女’,這種可能性又是多少?”學生紛紛積極作答,以這樣的方式帶領學生快速回顧曾經(jīng)的概率知識,以便形成知識遷移。
(二)動手操作,形成理解
為了使學生對課本中的例題形成更為深入的理解,教師讓大家拿出提前準備好的硬幣,并出具“有三名同學和一張電影票,如果大家都想去看,用拋硬幣決定。兩面為正小明可以去,兩面為反讓小穎去,一正一反小凡去。這樣的方法是否公平”問題。有的學生認為拋硬幣概率一半一半,這樣的決定方式比較公平;還有的學生對前面同學的回答持疑,認為不太公平,但又說不上來為什么。
教師這時可以說:“那我們不如來實踐一下,看看通過拋擲硬幣的方法,誰獲得電影票的可能性最大?!边@樣做的目的是使學生進行簡單的實驗,并記錄所產(chǎn)生的數(shù)據(jù),繼而形成初步認識。
教師提示“大家要清晰地記錄每次拋擲硬幣的結果,每人拋擲兩次,每組中有一人負責記錄,其他三人依次拋擲”。其間,教師可進行巡視,觀察記錄情況,當活動結束后,再以“現(xiàn)在大家能說一說這樣的方式是否公平”進行提問,使學生展開探討。
學生1:不公平,因為無論第一次結果如何,都不影響第二次結果,但是卻關系著三人中有一人被淘汰。但是第一次肯定不會是小凡,他勝面更大。
學生2:對??!這個方式看起來公平,實際根本不公平。如果第一次就是反面,小明直接淘汰了;如果第一次是正面,小穎淘汰了,第二次才決定是小凡還是其他兩人中的誰。
教師:很好,這其中的數(shù)學奧秘,讓我們來總結一下吧!誰能試著用數(shù)學推理的方法說一說為什么不公平?
學生3:每一次正反的概率是相同的,第一次結果與第二次結果出現(xiàn)的可能性也是相同的,所以這其中可能會出現(xiàn)四種結果,兩種都對小凡有利。
學生4:兩次拋擲出現(xiàn)四種可能性。小穎、小明之所以吃虧是第一次就會造成他們中的一個出局,無論第一次是哪種情況,小凡都可以寄希望于第二次的拋擲結果,這才是決定他是否勝出的關鍵。
教師:真棒!接下來我們認識如何用樹狀圖和表格表示本次實驗的結果,并做出相關的解釋。
教師可以通過希沃數(shù)字白板展示提前準備好的教學課件,讓學生認識樹狀圖(見圖2)和表格(見表2)。
教師結合學生剛才的回答進行總結。
學生5結合圖、表總結:(正,正)(正,反)(反,正)(反,反),每種可能性為1/4,也就是小明、小穎都是其中一種可能。(正,反)(反,正)都是小凡,他的概率是1/2,所以不公平。
通過這樣的實驗操作、合作探析,學生能夠形成數(shù)學建模意識,掌握樹狀圖和表格繪制、填寫要點,理解數(shù)學問題,提高數(shù)學表達能力。
為了降低概率知識的理解難度,教師可以提醒大家,要抓住主要要素,做好不重不漏地羅列出所有的可能性,以便進行運算,計算概率。
(三)鞏固訓練,深度學習
教師可結合導入環(huán)節(jié)的內容,構建情境:“我的鄰居王老師一胎生了女孩,現(xiàn)在王老師愛人懷孕了,他們二胎可能會生男孩、女孩哪種概率大,生男孩概率有多少?!睂W生自主繪制樹狀圖、表格,并做出解答。
學生根據(jù)曾經(jīng)學過的概率公式P(A)=m/n,對復雜問題進行分析。
學校聯(lián)歡會中特別設有與數(shù)學有關的游戲環(huán)節(jié)。有A、B兩個轉盤,每個轉盤被分成面積相同的扇形。A盤由紅、白兩種顏色組成,B盤則由黃、藍、綠三種顏色構成。根據(jù)配色原則,如果轉盤參與者同時轉動兩個轉盤,恰好將A盤指針轉到紅色,B盤指針對準藍色,配色成功,便獲得游戲的勝利。
1.你能用樹狀圖或列表法表示出游戲所有可能產(chǎn)生的結果嗎?
2.獲勝者的獲勝概率是多少?
學生循序漸進地進行數(shù)學學習探索,在自主分析中合作探究,提升問題的復雜性與難度。并且,教師注意培養(yǎng)學生的問題意識,先讓他們在組內探討,解決一部分問題,如果生生交流仍然解答不了存在的困惑,可以師生共同探討,解決問題。
學生6提出:“為何要提到各種顏色面積相同?”教師可將其作為教學素材,出示如果在A盤紅白色扇形分配中,白色占2/3,紅色占1/3,那結果會發(fā)生怎樣的變化,使大家隨之調整樹狀圖或列表法可能出現(xiàn)的結果,分析這是否會影響游戲的獲勝概率。
學生7則在思考后回答:“強調每個轉盤被分成面積相同的扇形等塊,是為了保證每個區(qū)域被指針指向的可能性是相等的,也就是等可能性事件。只有在等可能性事件的前提下,我們才能運用常規(guī)的樹狀圖或列表法準確計算各種結果出現(xiàn)的概率。扇形面積不同,紅色占比降低了,那么指針落在不同區(qū)域的概率就不一樣了,但還是能知道對應的概率?!?/p>
教師對該同學的回答表示贊許并提問:“那如果是應對更為復雜一點的問題,大家知道應該怎么做嗎?”教師還可以運用廢舊包裝紙盒,制作簡易的轉盤教具,涂色后使學生邊進行轉動實驗,邊記錄可能形成的結果,幫助他們進行概率知識的理解,密切數(shù)學知識與現(xiàn)實生活的聯(lián)系,幫助學生形成數(shù)學高階思維,進行深度學習。
三、創(chuàng)新教學引導方式,發(fā)揮學生主體作用
(一)合作探索,小組對決
為了發(fā)揮學生在數(shù)學課堂中的主體地位,促進他們數(shù)學推理、邏輯思維、表達能力等協(xié)調發(fā)展,教師可繼續(xù)提升問題的難度,引入小組之間的對決。當學生能夠運用樹狀圖和列表法求概率、判斷問題后,教師可以繼續(xù)以小組合作的方式,促進學生學習。教師可給出如下問題:
當一個不透明的盒子中裝有三個A(紅色)、B(黃色)、C(綠色)小球,教師隨機拿出一個小球記錄顏色后,又把它投進盒子,再隨機拿出一個小球,記錄第二次獲取小球的顏色,請大家合作分析兩次拿到同樣顏色小球的概率。
學生在合作中優(yōu)化思路,糾正錯誤。同時,教師讓學生結合這一問題,歸納總結樹狀圖、列表法各自的優(yōu)勢,說一說哪些情況不適合應用列表法。
以小組合作的方式,學生借助云平臺進行簡易思維導圖的繪制,分析用樹狀圖求概率的步驟與注意事項。以計時的方式隨機抽查不同小組的思維導圖,師生一同評定。或者經(jīng)過組間合作探討后,出具相應的趣味題目,隨機每組某一成員到講臺上解答,展開小組間的對決。
(二)精選例題,思維擴展
為了幫助學生對這部分知識的深入理解,教師還可以優(yōu)選經(jīng)典例子,拓展學生的思維。
如果有三個人,甲口袋中有2個相同的小球,它們分別寫有字母A和B;乙口袋中裝有3個相同的小球,它們分別寫有字母C、D、E;丙口袋中裝有2個相同小球,分別寫有H、I。如果我們從三個口袋中各隨機取出1個小球,會有多少種結果。
教師引導學生進行分析:分步畫圖和分類排列,得出正確的結論是解題的關鍵。弄清題意后,先讓學生思考,從3個口袋中每次各隨機地取出1個球,共取出3個球,恰好取得小球為2個元音的概率是多少,總共有多少種取法?
有學生很快畫出了樹狀圖(見圖3):
并隨之推導出可能出現(xiàn)的結果是12種,分別為ACH、ACI、ADH、ADI、AEH、AEI、BCH、BCI、BDH、BDI、BEH、BEI,其中A、E、I是元音,剩余的四個為輔音。
P(一個元音)= ;P(兩個元音)= =
P(三個元音)= ;P(三個輔音)= =
通過對經(jīng)典例題的變式,學生理解了多元素問題中為何列表法不如樹狀圖方便,知道了哪些情況適用于樹狀圖,哪些情況適用于列表法。
隨后,教師可以布置課后作業(yè):
1.三位女同學和一位男同學并行,從中隨意選出兩人,其性別不同的概率(" )。
A." " " " "B." " " " C." " " "D.
2.莉莉和柳芳兩人做游戲,如圖4,兩個轉盤都是3等份,每一份中標注了具體的數(shù)字。游戲開始轉盤轉動,兩個轉盤停止轉動后,數(shù)字之和為7時,莉莉勝;數(shù)字之和為8時柳芳勝,根據(jù)你的判斷,兩人誰獲勝的概率更大_________。
3.彤彤和薇薇兩人做游戲,規(guī)則是在不透明的口袋中取球,其中放置型號相同的3個紅球和2個黑球,兩人先后從袋子中取球(取出不放回),若兩人所取球顏色相同,彤彤勝;不同,薇薇勝。
(1)請用樹狀圖或列表法求出所有可能出現(xiàn)的摸球結果。
(2)這個游戲規(guī)則的制定是否公平,請你來說一說理由。
總之,本節(jié)新課講授進一步學習了概率,讓學生在以往知識的基礎上進行遷移性學習,認識到舊知識無法解決新問題。有時候看似公平的事情,用數(shù)學推理發(fā)現(xiàn)其存在不公平現(xiàn)象。本次授課我主要以促進學生自主合作的方式,使他們擁有使用數(shù)學知識解決實際問題的能力,鼓勵學生提問、注意捕捉學生問題中的教學素材,設計不同的習題,以便使學生自主探索、深度學習,使他們在實際問題中進行數(shù)學建模,形成優(yōu)秀的邏輯思維能力。通過教學反思,我發(fā)現(xiàn)本節(jié)課自制教具稍有不足,當時主要考慮到怕分散學生的注意力。在后續(xù)教學中,我將繼續(xù)秉持學生為本的教育理念,在幫助學生構建數(shù)學知識架構中進行創(chuàng)新探索,使他們喜歡數(shù)學課,能夠進行深度學習、合作探究。
(作者單位:福建省漳州市第七中學)
編輯:溫雪蓮