算兩次，奧妙無窮！

數(shù)學中，“算兩次”是一種非常巧妙的研究方法，它可以幫助我們發(fā)現(xiàn)許多有用的結(jié)論。第一次發(fā)現(xiàn)它的妙用，是在整式乘法的學習中：用兩種不同的方法分別表示同一個圖形的面積，可以得出單項式乘單項式的運算結(jié)果。

圖1中大長方形被等分為9份，記每個小長方形的兩邊長分別為a、b，大長方形的面積為S。從整體看，S=3a×3b；從局部看，S=9×ab，因此3a×3b=9ab。隨著學習的深入，我發(fā)現(xiàn)單項式乘多項式也可以同樣地用“算兩次”的方法得出結(jié)果。如圖2所示，從整體看，S=a（b+c）；從局部看，S=ab+ac，因此a（b+c）=ab+ac。多項式乘多項式也一樣可以“算兩次”得出運算結(jié)果。如圖3所示，從整體看，S=（a+b）（c+d）；從局部看，S=ac+ad+bc+bd，因此（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd。完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2（如圖4）和平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）（如圖5）也同樣可以。

如圖6，圖中四個直角三角形的形狀和大小都相同，將圖中大正方形的面積“算兩次”，可得c2=4×[1/2]ab+（b-a）2；整理，得c2=a2+b2。這是一個非常簡潔的等式，它描述了直角三角形三邊長的數(shù)量關(guān)系。老師告訴我，八年級我們將會研究這個特別重要的結(jié)論——勾股定理。如果將上頁圖6中的直角三角形進行適當運動變換，可以構(gòu)造很多不同的圖形，你能運用面積“算兩次”的辦法驗證c2=a2+b2嗎？用圖7、圖8分別試試看。

有時候，我們還可以將“算兩次”的方法變得更加直觀。如圖9所示，通過拼圖的方式，將圖中直角三角形的位置變換一下，對比圖①和圖②，或圖①和圖③，我們都能直接看出c2=a2+b2。這也被稱為“無字證明”，真是妙不可言?。?/p>

你知道嗎？除了通過算兩次面積來列出等式，其實長度和角度也可以嘗試用這種方法來找出它們之間的等量關(guān)系哦！在數(shù)學學習中，我們經(jīng)常會遇到把某個量“算兩次”然后得出它們相等的情況，這就是我們常說的用方程思想來解決問題。

想象一下，如果我們用一種方法表示一個量，但在這個過程中稍微做了一些放大或縮小的調(diào)整，那我們就可以得到一個不等式。是不是很神奇呢？

再進一步想，如果我們把一個幾何體的體積也“算兩次”，說不定還能發(fā)現(xiàn)更多有趣的新知識呢！這種“算兩次”的方法，就像是我們給數(shù)學世界打開了一扇新的大門，讓我們能夠探索到更多未知的寶藏。

所以，下次當我們遇到數(shù)學問題時，不妨試著用“算兩次”的方法來找找看思路，說不定會有意想不到的收獲哦！

教師點評

“算兩次”是一種重要的數(shù)學方法。如果一個研究對象具有“雙重身份”或者“兩面性”，我們就可以考慮“一方面……，另一方面……，綜合可得……”，從而建立數(shù)量間的關(guān)系。由此可以很好地培養(yǎng)數(shù)學發(fā)散思維，提升數(shù)學思維品質(zhì)。

（指導(dǎo)教師：張喆寧）