高中數(shù)學(xué)解析幾何解題策略淺析

摘要：文章利用平面直角坐標(biāo)系將幾何圖形與代數(shù)方程結(jié)合，幫助學(xué)生直觀理解幾何圖形的特征，準(zhǔn)確計(jì)算中點(diǎn)弦的長(zhǎng)度和斜率等.介紹如何用直接法求解軌跡方程問(wèn)題，通過(guò)幾何變換尋找答案，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)等.闡述曲線問(wèn)題的定義法教學(xué)策略，引導(dǎo)學(xué)生掌握曲線的定義和幾何性質(zhì)，推導(dǎo)軌跡方程的一般方法.此外，提出了將曲線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線問(wèn)題的簡(jiǎn)化方法，以及將陌生問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題的策略，幫助學(xué)生找到解決問(wèn)題的途徑.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；解析幾何；解題策略

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2025）07-0071-04

收稿日期：2024-12-05

作者簡(jiǎn)介：朱文禮，本科，一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

解析幾何是高中數(shù)學(xué)課程的核心組成部分，通過(guò)將幾何圖形與代數(shù)方程相結(jié)合，從坐標(biāo)系來(lái)研究幾何問(wèn)題.要求學(xué)生掌握運(yùn)算技能，運(yùn)用幾何知識(shí)來(lái)理解問(wèn)題的本質(zhì).解決這些問(wèn)題需要扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，還需要靈活的思維和創(chuàng)新的解題方法.學(xué)習(xí)解析幾何是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)非常重要的載體，通過(guò)幾何圖形的分析學(xué)生可以直觀地理解相關(guān)概念和規(guī)律，從而拓寬和強(qiáng)化學(xué)生的解題思路.

1中點(diǎn)弦問(wèn)題——幾何與代數(shù)相結(jié)合

在探討解析幾何中涉及中點(diǎn)和弦的問(wèn)題時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)，利用平面直角坐標(biāo)系，能有效地將幾何圖形的性質(zhì)與代數(shù)方程的運(yùn)算結(jié)合起來(lái).通過(guò)這種方式能直觀地觀察到幾何圖形的特征，還能通過(guò)代數(shù)方法精確地計(jì)算出中點(diǎn)的位置和弦的長(zhǎng)度和斜率等關(guān)鍵信息.將抽象的數(shù)學(xué)概念與直觀的幾何圖形相結(jié)合，學(xué)生能理解問(wèn)題的本質(zhì)，準(zhǔn)確地解答問(wèn)題，從而在解析幾何的學(xué)習(xí)中取得好成績(jī)[1].

例1橢圓E：x24+y23=1內(nèi)有一點(diǎn)P（1，1），求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P并且以點(diǎn)P為中點(diǎn)的弦所在的直線方程.

分析這個(gè)問(wèn)題牽涉到中點(diǎn)弦的概念.可以借助代數(shù)方法來(lái)求解直線的方程.雖然這個(gè)過(guò)程相對(duì)復(fù)雜，但教師可以引導(dǎo)學(xué)生將幾何直觀與代數(shù)計(jì)算相結(jié)合，通過(guò)這種方法學(xué)生能掌握如何求解直線方程，還能理解中點(diǎn)弦與直線方程之間的內(nèi)在聯(lián)系.通過(guò)采用代數(shù)與圖形相結(jié)合的思考方式，學(xué)生能學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)，還能培養(yǎng)空間想象和邏輯推理能力.

解析設(shè)以點(diǎn)P為中點(diǎn)的弦的直線與橢圓相交于C（x1，y1），D（x2，y2），聯(lián)立

x214+y213=1，x224+y223=1，兩式相減，得

（x1+x2）（x1-x2）4+（y1+y2）（y1-y2）3=0.

因?yàn)閤1+x2=2，y1+y2=2，

所以k=y1-y2x1-x2=-34.

所以所求直線方程為

y-1=-34（x-1）.

即3x+4y-7=0.

2軌跡方程問(wèn)題——直接法

在解析幾何軌跡方程問(wèn)題中，包括直線與曲線的位置關(guān)系和滿足特定條件的移動(dòng)點(diǎn)形成的圖形問(wèn)題，還包括滿足基本條件的點(diǎn)集問(wèn)題，這些都是軌跡方程問(wèn)題所涉及的范疇.解決這類問(wèn)題可以通過(guò)幾何變換來(lái)尋找答案.引導(dǎo)學(xué)生使用直接法來(lái)求解軌跡方程的問(wèn)題，通過(guò)這種方法學(xué)生能直觀地理解動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，能依據(jù)幾何條件直接寫出軌跡方程.直接法的優(yōu)勢(shì)是簡(jiǎn)潔性和直觀性，學(xué)生可以直接利用已知的幾何條件來(lái)推導(dǎo)出軌跡方程，無(wú)須再進(jìn)行復(fù)雜的操作[2].

例2古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)A，B距離之比為常數(shù)λ（λgt;0且λ≠1）的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線AB上的圓，該圓被稱為阿波羅尼斯圓.已知△ABC中，A（-3，0），C（3，0），|AB|=2|BC|.求△ABC的頂點(diǎn)B的軌跡方程.

分析通常情況下求解軌跡方程問(wèn)題可以采用直接的方法來(lái)逐步解析問(wèn)題，直接法的一般步驟：建立平面直角坐標(biāo)系——根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)——列出等式——把設(shè)的點(diǎn)代入等式——化簡(jiǎn)求值并驗(yàn)證，此過(guò)程培養(yǎng)學(xué)生會(huì)用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題，在解答過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).同時(shí)，在解決問(wèn)題時(shí)要驗(yàn)證所提出的方程是否是一個(gè)滿足特定條件的動(dòng)態(tài)點(diǎn)軌跡，這涉及將方程與已知條件進(jìn)行對(duì)比，保證方程能準(zhǔn)確反映動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維品質(zhì).通過(guò)這種方式可以保證解法是正確的，并且能適用于類似的問(wèn)題.此外，在有些題中已經(jīng)明確了某對(duì)象的定義，如本例題已經(jīng)給出阿波羅尼斯圓定義，只需讀懂定義，即可直接將研究的對(duì)象翻譯為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，然后代入定義進(jìn)行求解.特別是在求解某些解答題時(shí)，這樣的方法不僅直接而且會(huì)極大提高解題效率.

解法1設(shè)頂點(diǎn)B（x，y）（y≠0），則

|AB|2=（x+3）2+y2，|BC|2=（x-3）2+y2.

故（x+3）2+y2=4（x-3）2+4y2.

化簡(jiǎn)得點(diǎn)B的軌跡方程為

（x-5）2+y2=16（y≠0）.

解法2由阿波羅尼圓的定義，頂點(diǎn)B的軌跡為圓，圓心在直線AC上.

設(shè)圓與x軸的交點(diǎn)為Q（m，0），根據(jù)|AQ|

=2|QC|，得|m+3|=2|3-m|，解得m=1或9.

故當(dāng)Q1（1，0）或Q2（9，0）時(shí)，都滿足|AQ|=2|QC|.

所以頂點(diǎn)B的軌跡是以Q1Q2為直徑的圓，其方程為（x-5）2+y2=16（y≠0）.

3曲線問(wèn)題——定義法

在解析幾何領(lǐng)域，學(xué)生常面臨各種曲線問(wèn)題的挑戰(zhàn)，這些曲線問(wèn)題的基礎(chǔ)條件相當(dāng)復(fù)雜，涉及多種不同類型的曲線.為幫助學(xué)生理解和解決這些曲線問(wèn)題，可以用定義法這一有效的教學(xué)策略.引導(dǎo)學(xué)生對(duì)動(dòng)點(diǎn)的軌跡進(jìn)行細(xì)致的探索.通過(guò)這種方法學(xué)生能掌握曲線的定義，還能理解曲線的幾何性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.逐步引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)代數(shù)運(yùn)算來(lái)驗(yàn)證曲線的定義，加深學(xué)生對(duì)曲線概念的理解.通過(guò)計(jì)算相關(guān)參數(shù)的數(shù)值，學(xué)生能夠逐步推導(dǎo)出題目所需的軌跡方程，這種方式使學(xué)生能清晰地理解各種曲線的內(nèi)在屬性，從而在解決具體問(wèn)題時(shí)能得心應(yīng)手[3].

例3已知△ABC的底邊長(zhǎng)為12，其中點(diǎn)B（-6，0），C（6，0），其他兩邊AB，AC上的中線之和為30，求三角形重心G的軌跡方程.分析在研究這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，主要目標(biāo)是推導(dǎo)出點(diǎn)的軌跡方程，這個(gè)方程能詳盡地描繪出三角形重心在幾何空間中移動(dòng)的路徑.在解決問(wèn)題過(guò)程中，學(xué)生有多種方法可以選擇，其中一種有效的方式是采用定義法.通過(guò)定義法學(xué)生可以深入探究三角形重心這一動(dòng)點(diǎn)在平面中運(yùn)動(dòng)的軌跡，從而獲得對(duì)重心運(yùn)動(dòng)規(guī)律的深刻理解.首先要清楚地理解三角形重心這一動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是否遵循某種特定曲線的定義條件.學(xué)生可以利用題目中給出的條件，逐步推導(dǎo)出這個(gè)特定曲線的方程.

解析設(shè)邊AB，AC的中點(diǎn)分別為D，E，故|CD|+|BE|=30.

所以|CG|+|BG|=20gt;12=|BC|.

所以點(diǎn)G的軌跡為橢圓，且其兩個(gè)焦點(diǎn)分別為點(diǎn)B和C.

所以軌跡方程為x2100+y264=1且x≠±10.

4化曲線為直線因曲線問(wèn)題比直線問(wèn)題復(fù)雜，教師在教學(xué)中可以教授學(xué)生解題的方法，即將曲線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線問(wèn)題.將曲線近似為直線或線段來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題，使問(wèn)題的解決過(guò)程直觀和易于理解，這樣一來(lái)，學(xué)生可以很容易就找到解決問(wèn)題的路徑.因此，探討如何利用曲線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律能輔助學(xué)生有效地解答解析幾何問(wèn)題.教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)當(dāng)熟練掌握并靈活運(yùn)用各種方法，將曲線問(wèn)題巧妙地轉(zhuǎn)化為直線問(wèn)題.如此，學(xué)生在面對(duì)解析幾何難題時(shí)，就能明確解題的方向和計(jì)算的步驟[4].

例4如圖1，圓錐的母線AB長(zhǎng)為2，底面圓的半徑為r，若一只螞蟻從圓錐的點(diǎn)B出發(fā)，沿表面爬到AC的中點(diǎn)D處，則其爬行的最短路線長(zhǎng)為5，則圓錐的底面圓的半徑為多少？

分析通過(guò)掌握問(wèn)題解決的策略和方法，學(xué)生能靈活運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)公式，根據(jù)題目要求繪制出相應(yīng)的圖形.通過(guò)實(shí)際操作，學(xué)生能體驗(yàn)和觀察內(nèi)在聯(lián)系.教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)將曲線轉(zhuǎn)換為直線的方法，實(shí)現(xiàn)將復(fù)雜的曲線問(wèn)題簡(jiǎn)化為直線問(wèn)題的目標(biāo).這種轉(zhuǎn)換使學(xué)生能直觀地理解問(wèn)題，進(jìn)而認(rèn)識(shí)到變量的局限性.在繪圖時(shí)選擇恰當(dāng)?shù)慕嵌扔葹殛P(guān)鍵，直接關(guān)系到能否準(zhǔn)確地表達(dá)和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.

解析如圖2，這是半圓錐的側(cè)面展開圖，連接BD1，則BD1的長(zhǎng)為螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)，設(shè)扇形展開圖的圓心角為α，根據(jù)題意得

BD1=5，AD1=1，AB=2.

在△ABD1中，AB2+AD21=BD21，

所以∠D1AB=π2.

所以扇形弧長(zhǎng)為l=π2×2=π.

所以圓錐底面圓的周長(zhǎng)為2l=2π.

即2πr=2π，得r=1.

5化陌生為熟悉在解析幾何中會(huì)遇到一些復(fù)雜的問(wèn)題.這些問(wèn)題與課本上學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)有聯(lián)系，但難度超出常規(guī)題目的范疇.面對(duì)這樣的挑戰(zhàn)教師可以運(yùn)用一種巧妙的轉(zhuǎn)化策略，引導(dǎo)學(xué)生將那些看似陌生或難以預(yù)測(cè)的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為已經(jīng)掌握并能熟練解決的題型.這種轉(zhuǎn)化策略與解析幾何試題的基本特性是相輔相成的.通過(guò)這種策略，學(xué)生能較好地理解和掌握解析幾何的核心概念和解題技能.鼓勵(lì)學(xué)生在課后進(jìn)行練習(xí)，通過(guò)實(shí)踐來(lái)鞏固轉(zhuǎn)化策略的應(yīng)用.通過(guò)這種創(chuàng)新的教學(xué)方法，學(xué)生能學(xué)會(huì)找到解決問(wèn)題的途徑，還能在這一過(guò)程中增強(qiáng)自己的自信心[5].

例5已知?jiǎng)訄AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)F（0，1）并且與直線y=-1相切，若直線3x-4y+20=0與圓C有公共點(diǎn)，則圓的面積（）.

A.有最大值為π

B.有最小值為π

C.有最大值為4π

D.有最小值為4π

分析動(dòng)圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)F（0，1）并且與直線y=-1相切，說(shuō)明動(dòng)圓C的圓心到點(diǎn)F的距離等于圓心到直線y=-1的距離，根據(jù)拋物線的定義，圓心的軌跡是拋物線.在解決涉及圓錐曲線的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，教師應(yīng)教會(huì)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)換思維，在面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題時(shí)能適當(dāng)?shù)卣{(diào)整和變換問(wèn)題中的定義和條件.通過(guò)這種方式，學(xué)生可以將原本可能看起來(lái)模糊或難以理解的題目條件變得清晰和具體，從而找到解決問(wèn)題的有效方法和策略.

解析由已知可得圓心的軌跡為拋物線，其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y.

設(shè)圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)（x，x24），因?yàn)閳AC過(guò)點(diǎn)F，所以半徑

r=（x-0）2+（x24-1）2=x24+1.

直線3x-4y+20=0和動(dòng)圓C之間有公共點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)（x，x24）到直線3x-4y+20=0的距離，|3x-4x2/4+20|5≤x24+1.

解得x≥103或x≤-2.

所以圓C半徑是r=x24+1≥2.

所以動(dòng)圓C最小面積是4π，故選D.

6結(jié)束語(yǔ)

高中數(shù)學(xué)解析幾何是知識(shí)體系中的一個(gè)核心組成部分，解析幾何內(nèi)容涵蓋代數(shù)、幾何等多個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)，其內(nèi)容有高度的綜合性和邏輯性.為讓學(xué)生能充分地理解和掌握解析幾何的理論知識(shí)，教師需要進(jìn)行詳盡講解，這包括對(duì)基本概念、定理和公式的闡釋和對(duì)這些知識(shí)的靈活運(yùn)用.教師通過(guò)營(yíng)造實(shí)際問(wèn)題情景，讓學(xué)生真正經(jīng)歷解析幾何問(wèn)題的解決過(guò)程，可以幫助學(xué)生掌握解題策略，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，為學(xué)生將來(lái)的學(xué)習(xí)和生活奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

［1］丁有源.高中數(shù)學(xué)解析幾何定點(diǎn)定值問(wèn)題的難點(diǎn)剖析與突破[J].數(shù)理天地（高中版），2024（23）：64-65.

[2] 任捷.基于STEAM理念的高中數(shù)學(xué)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)開展策略：以“解析幾何”為例[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2024（31）：126-129.

[3] 丁瑤.“雙微”機(jī)制引領(lǐng)下高中數(shù)學(xué)解析幾何教學(xué)策略研究[J].教師，2024（28）：39-41.

[4] 黃文根.高考數(shù)學(xué)試題中解析幾何的解題策略探討[J].數(shù)理化解題研究，2024（24）：27-29.

［5］ 馮開紅.基于運(yùn)算視角的高中數(shù)學(xué)解題策略研究：以一道解析幾何題為例［J］.數(shù)理化解題研究，2024（06）：50-52.

［責(zé)任編輯：李慧嬌］