追蹤高考脈絡(luò)探尋方法本質(zhì)

摘要：本文是一道新概念新定義題目的命制過程.追蹤極點(diǎn)極線的歷史邏輯和知識關(guān)聯(lián)，從射影幾何中的調(diào)和點(diǎn)列入手，抓住其知識本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會并且會學(xué)，感受數(shù)學(xué)知識發(fā)展邏輯過程，感悟數(shù)與形的融通，經(jīng)歷從形到數(shù)，又從數(shù)到形的過程，旨在考查學(xué)生自學(xué)能力、數(shù)學(xué)抽象能力、邏輯推理能力，也考查學(xué)生的個(gè)性品質(zhì).

關(guān)鍵詞：試題命制;調(diào)和點(diǎn)列;數(shù)形融通;個(gè)性品質(zhì)

1 原創(chuàng)試題

數(shù)學(xué)家們早在古希臘時(shí)期發(fā)現(xiàn)了一組滿足特殊比例關(guān)系的點(diǎn)列，如圖1所示.已知共線四點(diǎn)A，B，C，D，若滿足ACBC=ADBD，則稱C，D調(diào)和分割線段AB，或A，B調(diào)和分割線段CD，也稱A，B，C，D為調(diào)和點(diǎn)列，記作（AB，CD）=－1.對偶地，由直線外一點(diǎn)O向直線上的調(diào)和點(diǎn)列引出四條射線，將其分別記作a，b，c，d，則稱a，b，c，d為調(diào)和線束，記作（ab，cd）=－1，如圖2所示.調(diào)和線束被任意直線所截，截得的點(diǎn)是調(diào)和點(diǎn)列，即調(diào)和點(diǎn)列與調(diào)和線束之間可以互相生成.

調(diào)和點(diǎn)列與調(diào)和線束是射影幾何學(xué)中的重要概念，在圓、橢圓、雙曲線、二次曲線中幾乎無處不在，它們還有很多有趣的性質(zhì)，等著你去探索！

已知A1，A2為雙曲線Γ：x2a2－y2b2=1的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其左、右焦點(diǎn).

（1）證明：若存在H1使（A1A2，H1F1）=－1，則存在H2使得（A1A2，H2F2）=－1.

（2）若A1H2·A2H2lt;0，H1H2=A2F2=2，則雙曲線Γ上是否存在點(diǎn)P使得PA1PA2=H2A1H2A2成立？

（3）在第（2）問的條件下，直線PF2與雙曲線Γ交于點(diǎn)Q，試判斷直線PH2與QH2斜率之間的關(guān)系并證明.

2 設(shè)計(jì)思路

歷年高考對極點(diǎn)極線的考查極為頻繁，生動體現(xiàn)了解析幾何中動中有靜，有效考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象核心素養(yǎng).但美中不足的是歷年高考題一方面是對極點(diǎn)極線等知識的直接應(yīng)用，只是讓學(xué)生知其然而不知其所以然；另一方面題干過于單薄而不全面，強(qiáng)調(diào)了應(yīng)用但較少關(guān)注本質(zhì).由此筆者追蹤極點(diǎn)極線的歷史邏輯和知識關(guān)聯(lián)，從射影幾何中的調(diào)和點(diǎn)列入手，究其知識本質(zhì)，嘗試命制了一道此背景下的題目，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會并且會學(xué)，爭取與新高考的試題命制理念相吻合.

課程標(biāo)準(zhǔn)中指出，關(guān)于高考命題，應(yīng)包括開放性問題和探究性問題，重點(diǎn)考查學(xué)生的思維過程、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識.要求學(xué)生學(xué)會即時(shí)學(xué)習(xí)、理解定義，基于概念去思考，這對學(xué)生的再學(xué)習(xí)能力提出了較高要求.中國高考評價(jià)體系中，特別強(qiáng)調(diào)以情境為載體，重在考查基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性與創(chuàng)新性.但創(chuàng)新不只是從無到有，還有從少到多.

作為一線數(shù)學(xué)老師，筆者重在關(guān)注如何培養(yǎng)學(xué)生素養(yǎng)發(fā)展并能夠在考試中有良好的表現(xiàn)，即關(guān)注教又關(guān)注考更關(guān)注學(xué).處在高考改革的關(guān)鍵時(shí)期，筆者希望既能堅(jiān)守傳統(tǒng)，又能發(fā)揚(yáng)創(chuàng)新.結(jié)合平時(shí)教研與教育教學(xué)工作，筆者想這些題目能回歸到哪里？經(jīng)過文獻(xiàn)收集，獨(dú)立思考，溯本求源，意識到極點(diǎn)極線是射影幾何分支，與調(diào)和點(diǎn)列、調(diào)和線束有關(guān).本題歷經(jīng)多稿，先是查閱資料，編題寫題，邀請教研組內(nèi)優(yōu)秀教師指導(dǎo)，考慮到計(jì)算量較大，考場上短時(shí)間內(nèi)考生不易算出正解，于是再次修改，請高二年級部分學(xué)生測試后確定題目.參加命題講題比賽后，經(jīng)再三斟酌，考慮到高中學(xué)生對新定義題目還是會覺得陌生，對題干中純文字?jǐn)⑹鰰斫獠坏轿唬^而影響后面題目的解答，于是再次修改定義敘述，直接在題干中給出調(diào)和點(diǎn)列、調(diào)和線束的示意圖，幫助學(xué)生進(jìn)一步真正地深入理解新定義.

在試題命制過程中還關(guān)注科學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程，從特殊到一般：（1）圖形從特殊到一般，比如，圓→橢圓→雙曲線→圓錐曲線→二次曲線；（2）位置狀態(tài)從特殊到一般，比如，交點(diǎn)→交線，任意點(diǎn)→任意線，切線→交線.在追蹤本源的過程中逐步形成整體化認(rèn)識，一步步抽象，從圓→橢圓→圓錐曲線→二次曲線，也是從形→數(shù)形兼?zhèn)洹鷶?shù)的研究過程.在具體題目中考慮以下問題：第一問是什么？第二問怎么來的？第三問怎么用？筆者認(rèn)為高考除了考查高中知識，也考查學(xué)生知識儲備的厚度，于是從平面幾何中三角形的角平分線性質(zhì)入手，先用特殊的點(diǎn)、線（比如：圓錐曲線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線）找到線段和位置關(guān)系，再進(jìn)一步推廣到更一般的情況.整個(gè)題目命制過程經(jīng)過多次研討后最終成稿.

3 解法分析與思維導(dǎo)圖

聚焦極點(diǎn)極線，回歸定義本源.由射影幾何引出，考慮調(diào)和點(diǎn)列、調(diào)和線束與極點(diǎn)極線的關(guān)系，圍繞線段比值研究圖形位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.由此，筆者設(shè)置了層次分明、彼此遞進(jìn)的三個(gè)小問，既關(guān)注學(xué)生是否能正確理解材料中所闡述的知識，又考查學(xué)生從形到數(shù)的過程性理解，旨在從幾何直觀過渡到數(shù)學(xué)抽象，從邏輯推理演變至數(shù)學(xué)運(yùn)算.

第一問，設(shè)置了一道證明題，考查學(xué)生對知識本身的理解，在題意解讀與圖形分析的基礎(chǔ)上感受數(shù)學(xué)的對稱美，讓學(xué)生學(xué)會就能用.第二問中同樣是因?yàn)閷ε夹?，這里的H2不唯一，故設(shè)置一個(gè)數(shù)量積關(guān)系式，將H2確定下來，作為A1A2的內(nèi)分點(diǎn)，目的在于雙曲線方程的求解.P點(diǎn)的確定繼續(xù)沿用調(diào)和點(diǎn)列的性質(zhì)，又與動點(diǎn)軌跡思想產(chǎn)生聯(lián)系，進(jìn)而獲得雙曲線與圓位置關(guān)系的探求.這需要學(xué)生真正掌握調(diào)和點(diǎn)列的定義才能用第二問引導(dǎo)學(xué)生走向解析幾何基本思想，進(jìn)入到符號化代數(shù)求解的軌道.

這三問的設(shè)置意在讓學(xué)生多思少算，整體把握問題情境.閱讀題干后要能夠提取核心信息，執(zhí)果索因，尋找解題突破點(diǎn).思維導(dǎo)圖如圖3：

4 試題解析

（1）方法1：由H1，F(xiàn)1調(diào)和分割A(yù)1A2，知A1，A2，H1，F(xiàn)1為一組調(diào)和點(diǎn)列，A1，A2為雙曲線左、右端點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線左、右焦點(diǎn)，也關(guān)于原點(diǎn)對稱.根據(jù)調(diào)和點(diǎn)列的對稱性知，存在H2使得A1，A2，H2，F(xiàn)2為一組調(diào)和點(diǎn)列，即H2，F(xiàn)2也調(diào)和分割A(yù)1A2，結(jié)論得證.

方法2：設(shè)OH1=x，由（A1A2，H1F1）=－1，得H1，F(xiàn)1調(diào)和分割A(yù)1A2，得到A1H1A2H1=A1F1A1F1，其中A1，A2為雙曲線Γx2a2－y2b2=1的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其左、右焦點(diǎn)，所以有a－xa+x=c－ac+a，得x=a2c，即OH1=a2c.存在OH2=a2c使得A1H2A2H2=a+a2ca－a2c=c+ac－a=A1F2A2F2，結(jié)論得證.

（2）方法1：由A1H2·A2H2lt;0，知H2在線段A1A2內(nèi)部.由H1H2=2得H（1，0），根據(jù)A1H2A2H2=A1F2A2F2得到a+1a－1=c+ac－a，解得a2=c，又由A2F2=2得c－a=2，解得a=2，c=4，得到雙曲線Γ的方程為x24－y212=1.

當(dāng)∠A1PH2=∠A2PH2時(shí)，根據(jù)角平分線定理知PA1PA2=H2A1H2A2成立，即滿足條件的點(diǎn)P存在.

方法2：由A1H2·A2H2lt;0得到H2在線段A1A2內(nèi)部，由H1H2=2得H（1，0），根據(jù)圖形對稱性知H2為雙曲線準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，即a2c=1.又由A2F2=2得c－a=2，解得a=2，c=4，得到雙曲線Γ的方程為x24－y212=1.

雙曲線Γ上存在點(diǎn)P使得PA1PA2=H2A1H2A2=3成立.由A1（－2，0），A2（－2，0），PA21=9PA22，解得點(diǎn)P為圓x2+y2－5x+4=0與雙曲線Γ的方程為x24－y212=1的交點(diǎn).

（3）直線PH2與QH2斜率之和為0.

方法1：作出過H2且與x軸垂直的直線l，該直線與直線PF2交于點(diǎn)M，過P垂直于l，垂足為P1，過Q垂直于l，垂足Q1，一方面，根據(jù)△PP1M∽△QQ1M得PMQM=PP1QQ1，另一方面，直線（PQ，F(xiàn)2M）=－1，即滿足PMQM=PF2QF2，得PP1QQ1=PF2QF2.

由PP1QQ1=PF2QF2有x1－1x2－1=1+k2（4－x1）1+k2（x2－4），整理得（x1－1）（x2－4）=（4－x1）（x2－1），即2x1x2+8=5（x1+x2），則k1+k2=2kx1x2－5k（x1+x2）+8kx1x2－（x1+x2）+1=k［2x1x2－5（x1+x2）+8］x1x2－（x1+x2）+1=0.

方法2：設(shè)點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），直線PF2的方程為y=k（x－4），直線PH2與QH2斜率分別為k1，k2.計(jì)算k1+k2=y1x1－1+y2x2－1，將y=k（x－4）代入上式整理得k1+k2=2kx1x2－5k（x1+x2）+8kx1x2－（x1+x2）+1，與雙曲線方程x24－y212=1聯(lián)立，得x24－y212=1

y=k（x－4），進(jìn)而得到（3－k2）x2+8k2x－16k2－12=0，由此可得x1+x2=－8k23－k2，

x1x2=－16k2+123－k2.

代入k1+k2=2kx1x2－5k（x1+x2）+8kx1x2－（x1+x2）+1=2k（－16k2－12）－5k（－8k2）+8k（3－k2）（－16k2－12）+8k2+（3－k2）=0，結(jié)論得證.

5 變式練習(xí)

如圖4，已知雙曲線Ｃ的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸是坐標(biāo)軸，右支與x軸的交點(diǎn)為（1，0），其中一條漸近線的傾斜角為π3.

（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)T（2，0）作直線l與雙曲線C的左右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，在線段AB上取一點(diǎn)E滿足|AE|·|TB|=|EB|·|AT|，證明：點(diǎn)E在一條定直線上.

6 試題測試反饋與分析

本題知識方法層面考查了調(diào)和點(diǎn)列概念及簡單運(yùn)用，解析幾何運(yùn)算方法；思想能力層面考查了數(shù)形結(jié)合思想、運(yùn)算求解能力；核心素養(yǎng)層面鍛煉了邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.

本題三問的分值依次設(shè)置為4分、5分、6分，預(yù)估難度系數(shù)依次為0.9，0.7，0.4.能力層次定位依次為了解、理解、掌握.

7 命題體會

探求過程中筆者感受了數(shù)學(xué)知識發(fā)展邏輯過程，感悟了數(shù)與形的融通，經(jīng)歷了從形到數(shù)、又從數(shù)到形的研究過程.極點(diǎn)極線和調(diào)和點(diǎn)列還有很多性質(zhì)，是命題取之不盡的源泉.學(xué)然后知不足，研然后知困窘，本題只是探討了其中一部分的內(nèi)容，我們是不是可以沿著這樣的脈絡(luò)繼續(xù)發(fā)展呢，比如：將靜態(tài)轉(zhuǎn)化為動態(tài)，由特殊到一般，乃至擴(kuò)充到三維空間內(nèi)的研究，橢球、雙曲面、拋物面等問題.以上是筆者的一些渺小的想法，參加此次命題講題比賽收獲頗豐.