高考分段數(shù)列試題的解法探究與變式教學(xué)

摘要：分段數(shù)列的求解問(wèn)題是高考熱點(diǎn)，也是難點(diǎn)，本文中以兩道高考真題為例談?wù)勥@類問(wèn)題的解法探究與變式教學(xué).

關(guān)鍵詞：分段數(shù)列；高考真題；解法探究

高考試題是命題專家們深度思考、團(tuán)隊(duì)協(xié)作后命制出來(lái)的，不僅能夠考查學(xué)生的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力，而且能夠引導(dǎo)中學(xué)教學(xué).數(shù)列高考題中，分段數(shù)列自2021年新高考Ⅰ卷考查后就開(kāi)始成為了一個(gè)考查熱點(diǎn)，之后各地的模擬題也出現(xiàn)了不少相關(guān)試題.本文中以兩道高考真題為例談?wù)勥@類問(wèn)題的解法探究與變式教學(xué).

1 試題呈現(xiàn)與評(píng)析

題1（2021年新高考Ⅰ卷第17題）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=an+1，n為奇數(shù)，

an+2，n為偶數(shù).

（1）記bn=a2n，寫(xiě)出b1，b2，并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；

（2）求{an}的前20項(xiàng)和.

評(píng)析：本題第（1）問(wèn)已經(jīng)構(gòu)造出新的研究數(shù)列，并通過(guò)b1，b2的求解引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)該新的研究數(shù)列是如何生成的，學(xué)生只要根據(jù)判斷一個(gè)數(shù)列是等差（比）數(shù)列的方法求解就可以了；本題的第（2）問(wèn)只需要求前20項(xiàng)的和，項(xiàng)數(shù)是比較少的，學(xué)生一個(gè)一個(gè)項(xiàng)求解也是可以的.因此整體而言，該題的難度比較低.

題2（2023年新課標(biāo)Ⅱ卷第18題）已知{an}為等差數(shù)列，bn=an－6，n為奇數(shù)，

2an，n為偶數(shù).記Sn，Tn分別為數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和，S4=32，T3=16.

（1）求{an}的通項(xiàng)公式；

（2）證明：當(dāng)ngt;5時(shí)，Tngt;Sn.

評(píng)析：本題第（1）問(wèn)明確求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，學(xué)生只要能夠求解出基本量a1和公差d就可以求得通項(xiàng)公式，整體并不困難.第（2）問(wèn)要求學(xué)生比較Sn與Tn的大小，首先需要學(xué)生求出Tn，這就有一定的難度了.學(xué)生能不能分n為偶數(shù)和奇數(shù)兩種不同情況求解，能不能搞清楚項(xiàng)數(shù)就非常關(guān)鍵.

2 試題解法探究與變式教學(xué)

2.1 題1的解法探究

解析：（1）由題意，得a2=a1+1=2，a3=a2+2=4，a4=a3+1=5.

所以b1=a2=2，b2=a4=5.

由題意，可知bn+1－bn=a2n+2－a2n=a2n+2－a2n+1+a2n+1－a2n=3，所以數(shù)列{bn}是以b1=2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，故bn=2+3（n－1）=3n－1.

（2）法一：把奇數(shù)項(xiàng)的數(shù)列通項(xiàng)也求出來(lái).

由（1）可得a2n=3n－1，n∈N*，則

a2n－1=a2n－2+2=3（n－1）－1+2=3n－2，n≥2.

當(dāng)n=1時(shí)，a1=1也適合上式.

所以a2n－1=3n－2，n∈N*.

所以數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為等差數(shù)列，則{an}的前20項(xiàng)和為

a1+a2+……+a20=（a1+a3+……+a19）+（a2+a4+……+a20）=10+10×92×3+10×2+10×92×3=300.

法二：利用奇數(shù)項(xiàng)與相鄰偶數(shù)項(xiàng)（后一項(xiàng)）的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

因?yàn)楫?dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an+1=an+1，即an=an+1－1，所以有a1+a3+……+a19=（a2－1+a4－1+……+a20－1）=（a2+a4+……+a20）－10.

所以，{an}的前20項(xiàng)和為

a1+a2+……+a20=2（a2+a4+……+a20）－10=2（b1+b2+……+b10）－10=2×（2+3×10－1）×102－10=300.

顯然法二用了第一問(wèn)的結(jié)果，求解更為自然順暢.該題解答到此就可以結(jié)束了，但是很明顯若只是到此結(jié)束，那么該題的教學(xué)價(jià)值并沒(méi)有體現(xiàn)出來(lái).學(xué)生的思維層次還是停留在比較低的水平，因此有必要增加新的變式進(jìn)而挖掘這道題的教學(xué)價(jià)值.

2.2 題1的變式教學(xué)

教學(xué)中補(bǔ)充變式探究增加以下兩問(wèn)：

（3）求{an}的前31項(xiàng)和；

（4）求{an}的前n項(xiàng)和Sn.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題（3）引導(dǎo)學(xué)生思考所求的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)的情況與項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的情況不同，學(xué)生在解決問(wèn)題（4）時(shí)自然會(huì)分奇偶項(xiàng)進(jìn)行討論.

以下給出師生共同討論得到的不同解法：

（Ⅰ）第（3）問(wèn)的解法

法一：同（2）把奇數(shù)項(xiàng)的數(shù)列通項(xiàng)也求出來(lái)，詳細(xì)過(guò)程略.

法二：同（2）利用奇數(shù)項(xiàng)與相鄰偶數(shù)項(xiàng)（后一項(xiàng)）的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，詳細(xì)過(guò)程略.

法三：利用奇數(shù)項(xiàng)與相鄰偶數(shù)項(xiàng)（前一項(xiàng)）的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化（為避免求最后一項(xiàng)，可以往前找關(guān)系）.

解：因?yàn)楫?dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an+1=an+2，所以

a1+a3+……+a31=a1+（a2+2）+……+（a30+2）=a1+（a2+a4+……+a30）+2×15.

所以{an}的前31項(xiàng)和為

a1+a2+……+a31=（a1+a3+……+a31）+（a2+a4+……+a30）=a1+2（a2+a4+……+a30）+2×15=a1+2（b1+b2+……+b15）+2×15=1+2×（b1+b15）×152+30=721.

有了以上求解經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生在求解第（4）問(wèn)時(shí)就有方向，基本上都能夠分n為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況求解，只要把每種情況中的數(shù)列項(xiàng)數(shù)弄清楚就沒(méi)有問(wèn)題了.

（Ⅱ）第（4）問(wèn)的解法

法一：把奇數(shù)項(xiàng)的數(shù)列通項(xiàng)也求出來(lái).

解：由（1）知a2n=3n－1，n∈N*，則a2n－1=a2n－2+2=3（n－1）－1+2=3n－2，n≥2.

當(dāng)n=1時(shí)，a1=1也適合上式.

所以a2n－1=3n－2，n∈N*.

①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和為

Sn=a1+a2+……+an=（a1+a3+……+an－1）+（a2+a4+……+an）=n2a1+n2n2－12×3+n2a2+n2n2－12×3=3n24.

②當(dāng)n（ngt;1）為奇數(shù)時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和為

Sn=a1+a2+……+an

=（a1+a3+……+an）+（a2+a4+……+an－1）

=n+12a1+n+12n+12－12×3+n－12a2+n－12n－12－12×3

=3n2+14.

當(dāng)n=1時(shí)，也適合Sn=3n2+14.

綜上，Sn=3n2+14，n為奇數(shù)，

3n24，n為偶數(shù).

法二：利用奇數(shù)項(xiàng)與相鄰偶數(shù)項(xiàng)（后一項(xiàng)）的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

解：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an+1=an+1，即an=an+1－1.

①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

a1+a3+……+an－1=（a2－1+a4－1+……+an－1）=（a2+a4+……+an）－n2.

所以{an}的前n項(xiàng)和為Sn=a1+a2+……+an=2（a2+a4+……+an）－n2=2（b1+b2+……+bn2）－n2=2×n2（b1+bn2）2－n2=3n24.

②當(dāng)n為奇數(shù)且n≥3時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和為

Sn=a1+a2+……+an=（a1+a3+……+an）+（a2+a4+……+an－1）=n+12n+12－12×3+n+12a1+n－12n－12－12×3+n－12a2=3n2+14.

當(dāng)n=1時(shí)，也適合Sn=3n2+14.

下略.

法三：利用奇數(shù)項(xiàng)與相鄰偶數(shù)項(xiàng)（前一項(xiàng)）的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化（為避免求最后一項(xiàng)，可以往前找關(guān)系）.

解：①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，同法二得Sn=3n24.

②當(dāng)n為奇數(shù)且n≥3時(shí)，an=an-1+2，則

a3+a5+……+an=（a2+2）+（a4+2）+……+（an－1+2）=（a2+a4+……+an－1）+2×n－12.

故{an}的前n項(xiàng)和Sn=a1+（a3+a5+……+an）+（a2+a4……+an－1）=1+2（a2+a4+……+an－1）+2×n－12=n+2（b1+b2+……+bn－12）=n+2×n－12（b1+bn－12）2=n+n－122+3×n－12－1=3n2+14.

當(dāng)n=1時(shí)，也適合Sn=3n2+14.

法四：利用Sn=Sn－1+an（n≥2，n∈N*）.

解：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an+1=an+1，即an=an+1－1.

①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，同法二得Sn=3n24.

②當(dāng)n為奇數(shù)且n≥3時(shí)，（n－1）為偶數(shù)，所以{an}的前n項(xiàng)和Sn=Sn－1+an=3（n－1）24+an+1－1=3（n－1）24+bn+12－1=3（n－1）24+3×n+12－1－1=3n2+14.

當(dāng)n=1時(shí)，S1=a1=1=3×12+14.

顯然滿足上式.下略.

以上通過(guò)2021年新高考Ⅰ卷第17題即題1進(jìn)行變式教學(xué)并得出不同的解題策略后，學(xué)生在處理2023年新課標(biāo)Ⅱ卷第18題即題2的時(shí)候就比較從容了，在此不再贅述.

3 試題教學(xué)的反思

高考試題是重要的解題教學(xué)材料，但如果只是就題講題，那么實(shí)際上并沒(méi)有真正挖掘出試題的教學(xué)價(jià)值.綜合研究此類高考試題并進(jìn)行變式教學(xué)，深入挖掘該類問(wèn)題的教學(xué)價(jià)值，有助于真正引發(fā)學(xué)生的深入思考和學(xué)習(xí)，有利于提高學(xué)生的深度學(xué)習(xí)體驗(yàn)，提升學(xué)生的核心素養(yǎng).