二面角的概念與二面角的平面角教學(xué)

本節(jié)課選自上海教育出版社《普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第三冊(cè)》第10章第4節(jié)“平面與平面的位置關(guān)系”的第2課時(shí)——“二面角”，該課時(shí)內(nèi)容分為二面角的平面角、平面與平面垂直兩部分，本節(jié)課只學(xué)習(xí)二面角的平面角.

二面角是刻畫(huà)兩個(gè)相交平面位置關(guān)系的概念和一種度量方式，雖然新課程標(biāo)準(zhǔn)并未對(duì)二面角的概念提出明確要求，但其教學(xué)一方面是為了知識(shí)體系的完整性，另一方面也為學(xué)生進(jìn)一步發(fā)展空間想象能力與邏輯推理能力提供了機(jī)會(huì).教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)放在二面角的平面角的構(gòu)造上，著重于對(duì)位置關(guān)系的認(rèn)識(shí)，著眼于讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)類(lèi)比的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展直觀(guān)想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

1 教學(xué)目標(biāo)分析

（1）通過(guò)類(lèi)比平面中的角與三維空間中平面與平面所成的角，認(rèn)識(shí)二面角中的面、棱以及二面角的記法，能夠從生活實(shí)例中抽象出二面角的幾何模型，感悟類(lèi)比的數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)抽象、直觀(guān)想象素養(yǎng).

（2）經(jīng)歷“構(gòu)造什么”“如何構(gòu)造”“為什么這么構(gòu)造”的探究過(guò)程，會(huì)構(gòu)造二面角的平面角，能在二面角中作出平面角，體會(huì)類(lèi)比、降維轉(zhuǎn)化思想在知識(shí)建構(gòu)與問(wèn)題解決中發(fā)揮的作用，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦硇运季S和善于思考的科學(xué)精神.

（3）通過(guò)折紙活動(dòng)，解決“為什么平面角的邊與二面角的棱垂直？”這一問(wèn)題，在交流與合作的過(guò)程中，探索、理解二面角的平面角構(gòu)造的合理性，培養(yǎng)數(shù)學(xué)表達(dá)能力與合作精神，促進(jìn)創(chuàng)新思維的發(fā)展.

2 教學(xué)策略分析

本節(jié)課是“二面角”的第一課時(shí)，屬概念課.本節(jié)課遵循“情境與問(wèn)題—分析與歸納—本質(zhì)特征的抽象、定義—關(guān)鍵詞辨析—簡(jiǎn)單應(yīng)用—聯(lián)系與綜合”的概念形成方式，創(chuàng)設(shè)基于情境與問(wèn)題導(dǎo)向的啟發(fā)式、探究式課堂，滲透數(shù)學(xué)抽象、直觀(guān)想象、邏輯推理等素養(yǎng)，以達(dá)到把握數(shù)學(xué)本質(zhì)、啟發(fā)思考的效果.

教學(xué)策略1以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)課堂，培養(yǎng)理性思維

本節(jié)課創(chuàng)設(shè)了符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的問(wèn)題情境，由多個(gè)由淺入深、循序漸進(jìn)的問(wèn)題貫穿，以“如何定義二面角？”“如何度量二面角？”“如何構(gòu)造角？”“為什么這樣構(gòu)造？”為主線(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程，深入挖掘、探究二面角的平面角構(gòu)造的“情”與“理”，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)事物本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律的科學(xué)精神與有理有據(jù)闡明觀(guān)點(diǎn)的理性思維.

教學(xué)策略2以交流構(gòu)建靈動(dòng)課堂，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

以學(xué)生為課堂主體，圍繞如何度量二面角這一主題，啟發(fā)學(xué)生提出自己的想法，鼓勵(lì)其他同學(xué)進(jìn)行說(shuō)明和補(bǔ)充，形成開(kāi)放、高效的課堂氛圍.“為什么這么構(gòu)造？”開(kāi)放性的問(wèn)題能夠提升學(xué)生作出多種解釋的發(fā)散性思維，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力，推動(dòng)師生之間、生生之間的互動(dòng)和交流向縱深發(fā)展.

教學(xué)策略3以技術(shù)輔助教學(xué)，降低想象難度

除了用投影臺(tái)、門(mén)等實(shí)物進(jìn)行演示，還利用GeoGebra軟件生動(dòng)地展現(xiàn)二面角的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)與大小變化，為學(xué)生理解二面角提供直觀(guān)的示例，幫助學(xué)生在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行理性思考，循序漸進(jìn)地掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能，形成空間觀(guān)念，提高空間想象能力.

教學(xué)策略4以情境豐富課堂，實(shí)現(xiàn)德育價(jià)值

創(chuàng)設(shè)首尾呼應(yīng)的太陽(yáng)能發(fā)電這一情境，培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感與愛(ài)國(guó)主義情懷，增強(qiáng)學(xué)生的公民意識(shí)和社會(huì)責(zé)任感；通過(guò)講述歐幾里得在《幾何原本》中對(duì)平面的傾角的定義，滲透數(shù)學(xué)文化；以蛋白質(zhì)折疊的二面角模型與北斗衛(wèi)星的軌道面與赤道面夾角對(duì)比，極微觀(guān)和極宏觀(guān)的科學(xué)情境，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生獲得“數(shù)學(xué)來(lái)自于宇宙、數(shù)學(xué)是宇宙的語(yǔ)言”的體驗(yàn).

掃碼看視頻片段3 教學(xué)過(guò)程重要片段

3.1 情境與問(wèn)題

播放紀(jì)錄片《輝煌中國(guó)》中介紹青海共和光伏電站的視頻片段，展示上海龍陽(yáng)路地鐵站光伏發(fā)電項(xiàng)目的照片.

問(wèn)題1用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)看，展示的圖中蘊(yùn)含哪些幾何元素間的位置關(guān)系？

問(wèn)題2當(dāng)光伏板轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，光伏板與水平面所在的兩個(gè)相交平面間的哪個(gè)量在變化？

教學(xué)說(shuō)明：借助太陽(yáng)能發(fā)電的情境，啟發(fā)學(xué)生從實(shí)際情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，體現(xiàn)研究二面角的必要性與意義，引出主題.

3.2 分析與探究

3.2.1 二面角的概念

直線(xiàn)上的一點(diǎn)可以將直線(xiàn)分為兩部分，每部分稱(chēng)為射線(xiàn).類(lèi)似地，在空間中，平面上的一條直線(xiàn)也將平面分為兩部分，每部分稱(chēng)為半平面.在平面內(nèi)，兩條直線(xiàn)相交會(huì)形成四個(gè)角.在空間中，兩個(gè)平面相交也會(huì)形成四個(gè)二面角.

問(wèn)題3類(lèi)比角的概念，你能給出空間中二面角的定義嗎？（類(lèi)比結(jié)果見(jiàn)表1.）

3.2.2 二面角的度量

問(wèn)題4在我們身邊有哪些二面角的形象？

教學(xué)說(shuō)明：?jiǎn)l(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀(guān)察世界，通過(guò)在生活中尋找二面角，感受二面角的幾何形象，深化對(duì)概念的認(rèn)知.

展示蛋白質(zhì)肽鏈的β折疊與北斗導(dǎo)航衛(wèi)星的軌道示意圖.

教學(xué)說(shuō)明：引出二面角的度量問(wèn)題，突出二面角度量的重要性.極微觀(guān)和極宏觀(guān)的科學(xué)情境，形成強(qiáng)烈對(duì)比，調(diào)動(dòng)學(xué)生的求知熱情.

用教室的門(mén)演示：隨著兩個(gè)半平面位置關(guān)系的變化，二面角是有大有小的.

問(wèn)題5如何度量二面角的大小？

生：用一個(gè)平面內(nèi)的角來(lái)刻畫(huà)二面角的大小.

教學(xué)說(shuō)明：以簡(jiǎn)馭繁，滲透將立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的降維轉(zhuǎn)化思想，為接下來(lái)的探究活動(dòng)作鋪墊.

問(wèn)題6怎樣構(gòu)造角來(lái)刻畫(huà)二面角的大小？

追問(wèn)1：為什么將角的頂點(diǎn)取在棱上？

生：（1）直線(xiàn)與平面所成角的頂點(diǎn)為兩個(gè)幾何對(duì)象的公共點(diǎn).類(lèi)似地，用一個(gè)平面內(nèi)的角來(lái)度量二面角，角的頂點(diǎn)也應(yīng)為兩個(gè)面的公共點(diǎn)，即二面角的棱上的點(diǎn).（2）頂點(diǎn)取在棱上時(shí)，兩條邊就可以取在二面角的兩個(gè)面內(nèi)，體現(xiàn)兩個(gè)面的相對(duì)位置.

教學(xué)說(shuō)明：通過(guò)類(lèi)比直線(xiàn)與平面所成的角，建立新舊知識(shí)的聯(lián)系.

追問(wèn)2：當(dāng)二面角αlβ給定時(shí)，∠AOB的大小與點(diǎn)O在棱上的取法有關(guān)嗎？

教學(xué)說(shuō)明：通過(guò)等角定理證明所構(gòu)造的角的大小與頂點(diǎn)在棱上的位置無(wú)關(guān)，強(qiáng)調(diào)二面角的構(gòu)造的任意性與確定性.

追問(wèn)3：為什么角的兩邊要與二面角的棱垂直？不垂直可以嗎？

活動(dòng)1將半透明紙折成二面角，在二面角內(nèi)畫(huà)出不同的角，驗(yàn)證你的想法，并交流討論.（畫(huà)法如圖1.）

生1：符合直觀(guān).當(dāng)兩個(gè)半平面重合、完全展開(kāi)成一個(gè)完整平面時(shí)，邊與棱垂直的角分別是0和π，與我們對(duì)二面角大小的直觀(guān)認(rèn)識(shí)符合.掃碼看圖2動(dòng)畫(huà)

生2：唯一確定.當(dāng)頂點(diǎn)O確定時(shí)，在兩個(gè)面內(nèi)只能作唯一一條垂直于棱的射線(xiàn)，此時(shí)角唯一確定.

Geogebra軟件演示（如圖2）：

教學(xué)說(shuō)明：?jiǎn)栴}6及一系列追問(wèn)將角的構(gòu)造問(wèn)題進(jìn)行拆解，一步步啟發(fā)學(xué)生思考每個(gè)環(huán)節(jié)的原理.活動(dòng)1旨在讓學(xué)生在實(shí)踐中體驗(yàn)二面角的平面角的建構(gòu)過(guò)程，在交流討論中互相啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)關(guān)系，從而培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)和提出、分析解決問(wèn)題的能力，鍛煉有理有據(jù)、邏輯連貫地闡明觀(guān)點(diǎn)與透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)的理性思維，樹(shù)立善于思考的科學(xué)精神.

3.3 閱讀與辨析

歐幾里得編著的《幾何原本》第XI卷中定義：從兩個(gè)相交平面的交線(xiàn)上同一點(diǎn)，分別在兩平面內(nèi)各作交線(xiàn)的垂線(xiàn)，這兩條垂線(xiàn)所夾的銳角叫做這兩個(gè)平面的傾角（也可叫交角）[1].

教學(xué)說(shuō)明：通過(guò)了解歐幾里得在《幾何原本》中對(duì)相交平面的傾角的定義，感受厚重的數(shù)學(xué)歷史和輝煌的數(shù)學(xué)文明.本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)依賴(lài)于一代代大師付出的艱苦卓絕的努力，鼓勵(lì)學(xué)生直面未知、勇敢探索，喚起學(xué)生的科學(xué)奉獻(xiàn)精神.

活動(dòng)2閱讀課本第37頁(yè)二面角的平面角的定義，并在學(xué)習(xí)單上補(bǔ)全定義中的關(guān)鍵詞.

教學(xué)說(shuō)明：閱讀是重要的課堂活動(dòng)，可以幫助學(xué)生加深對(duì)概念的理解，并通過(guò)對(duì)定義的辨析，落實(shí)、鞏固二面角的平面角的相關(guān)知識(shí)，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣.

二面角的平面角應(yīng)滿(mǎn)足：（1）角的頂點(diǎn)在棱上任??；（2）角的兩邊分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)；（3）角的兩邊都垂直于二面角的棱；（4）二面角的取值范圍是［0，π］.

當(dāng)二面角確定時(shí)，其平面角就唯一確定，反之亦然.

3.4 練習(xí)與實(shí)踐

活動(dòng)3在正方體ABCDA1B1C1D1中，作出以下二面角的一個(gè)平面角，并求它的度數(shù)：

（1）A1ADB；（2）ADD1B；（3）A1DBA.

思考：二面角A1DBC的平面角是哪個(gè)角？大小是多少？

在（1）中，二面角的大小等于π2時(shí)，其平面角是π2，此時(shí)，我們稱(chēng)這個(gè)二面角為直二面角.當(dāng)兩個(gè)平面相交所成的二面角是直二面角時(shí)，我們就說(shuō)這兩個(gè)平面相互垂直.

教學(xué)說(shuō)明：正方體是一個(gè)直觀(guān)的模型，以此為載體幫助學(xué)生掌握二面角的表示方法，學(xué)會(huì)構(gòu)造簡(jiǎn)單的二面角的平面角并求解大小，使學(xué)生更直觀(guān)地認(rèn)識(shí)和理解空間對(duì)象的位置關(guān)系，培養(yǎng)“空間感”和洞察力.同時(shí)，引出下節(jié)課的主題——平面與平面垂直.

3.5 聯(lián)系與綜合

活動(dòng)4在學(xué)校北邊的天臺(tái)上，布置了若干巨大的太陽(yáng)能光伏板（如圖3），它的支架可以帶動(dòng)光伏板轉(zhuǎn)動(dòng)，使光伏板正對(duì)太陽(yáng)光發(fā)電，為校園提供了清潔電能，使綠色低碳科技變得觸手可及.

老師發(fā)現(xiàn)，秋分這天正午，上海的太陽(yáng)高度角是59°，請(qǐng)結(jié)合圖4求出此時(shí)光伏板與水平面所成的二面角的大小.（太陽(yáng)高度角指太陽(yáng)光線(xiàn)與水平面所成角.）

教學(xué)說(shuō)明：從身邊的實(shí)例出發(fā)，經(jīng)歷從實(shí)際情境到幾何模型的構(gòu)建，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，感受“用數(shù)學(xué)的眼光觀(guān)察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界”.題目情境與課堂引入相呼應(yīng)，使本節(jié)課更具整體性.

3.6 小結(jié)與作業(yè)

3.6.1 課堂小結(jié)

本節(jié)課從三個(gè)方面總結(jié)如下：

研究問(wèn)題：（1）什么是二面角；（2）如何度量二面角.

研究過(guò)程：（1）類(lèi)比平面內(nèi)的角，得到二面角的概念；（2）將二面角的度量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造平面內(nèi)的角的問(wèn)題；（3）在折紙活動(dòng)中感受二面角的平面角構(gòu)造的合理性，經(jīng)歷從直觀(guān)感知、操作確認(rèn)到簡(jiǎn)單推理論證的過(guò)程.

思想方法：（1）聯(lián)系新舊知識(shí)的類(lèi)比思想；（2）將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的降維轉(zhuǎn)化思想.

教學(xué)說(shuō)明：從研究問(wèn)題、研究過(guò)程、思想方法等方面梳理本節(jié)課內(nèi)容，幫助學(xué)生歸納總結(jié)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)化.掃碼看補(bǔ)充題

3.6.2 課后作業(yè)

（Ⅰ）基礎(chǔ)練習(xí)

教材第40頁(yè)第6～8題及補(bǔ)充題.

補(bǔ)充題：埃及是歐氏幾何的誕生之地，歐幾里得在此編撰的著作《幾何原本》奠定了理論幾何的基礎(chǔ).同樣聞名于世的，還有埃及的金字塔，早在《幾何原本》誕生前的2 300年，金字塔就已建造而成，它的出現(xiàn)展現(xiàn)了古埃及人的才能與智慧.

胡夫金字塔是最古老、最宏偉的金字塔之一.它是由一個(gè)正方形底面、四個(gè)全等的等腰三角形側(cè)面構(gòu)成的幾何體.其底部邊長(zhǎng)為230 m，側(cè)壁三角形的腰（側(cè)棱）長(zhǎng)214 m（計(jì)算結(jié)果保留兩位小數(shù)）.

（1）求胡夫金字塔的側(cè)壁與地面所成的二面角大??；（50.42°）

（2）若一只羚羊在金字塔側(cè)壁，沿著與底邊成60°角的直線(xiàn)向上攀行了100 m，此時(shí)羚羊所在海拔高度上升了多少m？（66.74 m）

評(píng)價(jià)建議：（1）正確完成教材第40頁(yè)的第6～8題，并能畫(huà)出金字塔的直觀(guān)圖，可評(píng)價(jià)為合格；（2）正確完成教材第40頁(yè)的第6～8題和補(bǔ)充題的第一問(wèn)，可評(píng)價(jià)為良好；（3）能夠全部正確完成，可評(píng)價(jià)為優(yōu)秀.

（Ⅱ）拓展探究（選做）

本節(jié)課我們用半平面內(nèi)垂直于棱的兩條射線(xiàn)構(gòu)造了二面角的平面角，由等角定理知平面角的大小與頂點(diǎn)的取法無(wú)關(guān).某同學(xué)受到啟發(fā)，提出了另一種構(gòu)造平面角的方法：作一個(gè)垂直于棱的平面，它與二面角的兩個(gè)半平面相交的射線(xiàn)所構(gòu)成的角.用這種方法構(gòu)造的角，與我們今天所學(xué)的平面角是一致的.（1）證明該方法構(gòu)造的平面角的大小與所作平面的位置無(wú)關(guān)；

（2）如果所作的平面與棱成30°角，所截得的角的大小是否依然與平面位置無(wú)關(guān)？請(qǐng)說(shuō)明理由.

評(píng)價(jià)建議：（1）能用等角定理證明第一問(wèn)，并在第二問(wèn)中回答出所截得的角與平面位置有關(guān)，可評(píng)價(jià)為合格；（2）能用等角定理證明第一問(wèn)，在第二問(wèn)中能舉出兩個(gè)不同位置的截面，使截得的角大小不同，可評(píng)價(jià)為良好；掃碼看課程視頻（3）能用等角定理證明第一問(wèn)，并能通過(guò)幾何軟件、模型等演示出當(dāng)平面圍繞二面角的棱旋轉(zhuǎn)時(shí)所截得的角的變化，可評(píng)價(jià)為優(yōu)秀.

參考文獻(xiàn)：

[1]歐幾里得.幾何原本[M].蘭紀(jì)正，朱恩寬，譯.江蘇：譯林出版社，2014：477.