基于理論推導(dǎo)的“結(jié)構(gòu)力學(xué)”常用計(jì)算公式的學(xué)習(xí)方法

摘"要：“結(jié)構(gòu)力學(xué)”作為土木工程的專業(yè)基礎(chǔ)課，在本科階段的學(xué)習(xí)過程中起到承上啟下的作用，“結(jié)構(gòu)力學(xué)”的學(xué)習(xí)通常以“高等數(shù)學(xué)”“線性代數(shù)”“理論力學(xué)”和“材料力學(xué)”等課程為基礎(chǔ)。本文基于“高等數(shù)學(xué)”中的曲線積分、“材料力學(xué)”中的靜矩和“結(jié)構(gòu)力學(xué)”中力法基本原理，首先對圖乘法中標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線形彎矩圖的面積和形心位置進(jìn)行了推導(dǎo)，其次分別對位移法中一端固端、另一端鏈桿和兩端固端結(jié)構(gòu)在支座單位轉(zhuǎn)角和滿布均布合在作用下的彎矩圖進(jìn)行了推導(dǎo)。通過自身進(jìn)行理論推導(dǎo)加深記憶與理解，從而引導(dǎo)學(xué)生將已有知識(shí)點(diǎn)與新的知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合，夯實(shí)專業(yè)基礎(chǔ)，培養(yǎng)自學(xué)和創(chuàng)新能力。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)力學(xué)；圖乘法；位移法；理論推導(dǎo)；創(chuàng)新能力

中圖分類號(hào)：G642""文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

“結(jié)構(gòu)力學(xué)”作為土木工程專業(yè)“橋梁”課程，在本科階段學(xué)習(xí)過程中起到承上啟下的作用［12］，“結(jié)構(gòu)力學(xué)”的學(xué)習(xí)以“高等數(shù)學(xué)”“理論力學(xué)”和“材料力學(xué)”等課程為基礎(chǔ)，“結(jié)構(gòu)力學(xué)”又為土木工程專業(yè)課程的學(xué)習(xí)和畢業(yè)設(shè)計(jì)提供知識(shí)儲(chǔ)備，“結(jié)構(gòu)力學(xué)”也是諸多高校土木工程專業(yè)碩士研究生入學(xué)考試的專業(yè)課程。

根據(jù)2023年出版的《高等學(xué)校土木工程本科專業(yè)指南》中的規(guī)定獲悉，“結(jié)構(gòu)力學(xué)”課時(shí)量為64學(xué)時(shí)［3］，2023—2024學(xué)年之前濟(jì)南大學(xué)土木工程專業(yè)“結(jié)構(gòu)力學(xué)”課時(shí)量均為112學(xué)時(shí)，課時(shí)量壓縮了43%。為保證基本知識(shí)點(diǎn)的講授完整度和學(xué)生對知識(shí)點(diǎn)的掌握程度，課堂上進(jìn)行常用公式的推導(dǎo)演示時(shí)間大幅削減，從而導(dǎo)致學(xué)生對知識(shí)點(diǎn)的理解與消化降低。陳圣剛等［4］進(jìn)行了24人組成的小班化課堂的教學(xué)實(shí)踐，給出了“結(jié)構(gòu)力學(xué)”課程小班化案例制教學(xué)方法的設(shè)計(jì)，為新時(shí)代課堂教育提供了經(jīng)驗(yàn)分享。以濟(jì)南大學(xué)土木工程專業(yè)“結(jié)構(gòu)力學(xué)”課程為例，為180名學(xué)生設(shè)置2名“結(jié)構(gòu)力學(xué)”課程教師，在教學(xué)過程中，將工程案例、趣味實(shí)驗(yàn)等與授課內(nèi)容有效結(jié)合［56］，但目前無法做到小班化教學(xué)，只能通過增加課外作業(yè)、章節(jié)測驗(yàn)和期末測試等多方位檢驗(yàn)環(huán)節(jié)摸底學(xué)生學(xué)習(xí)情況［7］，通過慕課（MOOC）、學(xué)堂在線、國家資源共享課等網(wǎng)站自學(xué)鞏固課堂講授的知識(shí)點(diǎn)［8］。檢驗(yàn)環(huán)節(jié)和自學(xué)環(huán)節(jié)均暴露出諸多問題，例如，對已有知識(shí)點(diǎn)或已有公式的理解程度不夠，通過參考課件和書本勉強(qiáng)能將題目解出正確結(jié)果，若不借助參考資料將無從下手。

從學(xué)生自身角度分析，部分學(xué)生懶散和隨意的學(xué)習(xí)態(tài)度致使其無法記住并熟練應(yīng)用常用公式，更不知公式緣起何處，所以除了定性分析［9］之外，應(yīng)更加注重常用公式的推導(dǎo)及與知識(shí)點(diǎn)的匹配［10］。

綜上所述，對于“結(jié)構(gòu)力學(xué)”中常用公式的學(xué)習(xí)，應(yīng)當(dāng)“授人以漁”而“非授人以魚”。通過自身進(jìn)行理論推導(dǎo)的學(xué)習(xí)方法可以加深知識(shí)的記憶與理解，可以引導(dǎo)學(xué)生如何將已有知識(shí)點(diǎn)與新的知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合，從而夯實(shí)學(xué)生專業(yè)基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)和創(chuàng)新能力。

一、圖乘法中常見圖形面積公式和形心位置的理論推導(dǎo)

圖乘法中最常用的彎矩圖為三角形和標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線，三角形的面積和形心位置公式較容易確定和記憶，但標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線形的面積和形心位置容易混淆。

（一）面積公式推導(dǎo)——以“標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線”為例

以靜定單跨梁受均布荷載作用為例，求解單跨梁跨中豎向位移ΔCV。根據(jù)圖乘法，先作均布荷載作用下的結(jié)構(gòu)彎矩圖（記為MP圖）和虛設(shè)單位力系作用下的結(jié)構(gòu)彎矩圖（記為M圖），如圖1所示，MP圖為標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線，M圖為等腰三角形。

ΔCV=∑2i=1wiyi（1）

式中，wi為MP圖面積，yi為MP圖形心對應(yīng)的M圖的縱距。

為準(zhǔn)確計(jì)算單跨梁跨中豎向位移，需要確定MP圖的面積和MP圖形心位置。已知MP圖為標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線圍成，故建立圖2的方程，基于高等數(shù)學(xué)曲線積分的公式［式（2）］可推導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)拋物線圍成圖形的面積公式。

ω=-∫L0bL2x2-bdx=2bL3（2）

式中，b為MP圖的高度，L為MP圖長度。

（二）形心位置推導(dǎo)——以“標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線”為例

本文給出了兩種形心位置的推導(dǎo)方法。方法一：依據(jù)材料力學(xué)中靜矩與面積的比值；方法二：從形心位置定義角度出發(fā)，即形心軸兩側(cè)靜矩相等。具體內(nèi)容如下。

方法一：

xc=∫AxdAω=∫L0xbL2x2-bdx∫L0bL2x2-bdx=3L8（3）

方法二：

∫t0（t-x）dA=∫Lt（x-t）dA（4）

結(jié)合圖4可得：

∫t0（t-x）bL2x2-bdx=∫Lt（x-t）bL2x2-bdx（5）

解得：

x=3L8（6）

對比發(fā)現(xiàn)，兩種方法計(jì)算結(jié)果一致。

二、位移法中常見桿件的形常數(shù)和載常數(shù)表的理論推導(dǎo)

位移法求解超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力圖時(shí)，常用形常數(shù)表和載常數(shù)表。由于桿件種類和荷載形式不定，給本科生的記憶和學(xué)習(xí)帶來較大的困難。本節(jié)將基于力法基本方程推導(dǎo)常見桿件的形常數(shù)表和載常數(shù)表，力法求解超靜定結(jié)構(gòu)彎矩圖流程如圖4所示。

（一）形常數(shù)表——以“一端固定支座一端鏈桿支座”結(jié)構(gòu)桿端發(fā)生單位轉(zhuǎn)角為例

以一端固定支座一端鏈桿支座為例，如圖5所示，固定支座處發(fā)生單位轉(zhuǎn)角（θ=1），求結(jié)構(gòu)的彎矩圖。

推導(dǎo)過程如下：

（1）圖5結(jié)構(gòu)為一次超靜定結(jié)構(gòu)。

（2）選取如圖6所示的基本體系。

（3）繪制如圖7所示的M圖（MP圖為0），求δ11和Δ1P。

根據(jù)圖乘法，解得Δ1P=0和δ11=L3EI。

（4）依據(jù)固定端位移協(xié)調(diào)，建立力法方程：

δ11X+Δ1P=1（7）

將式（3）中的Δ1P和δ11代入式（7），解得X=3EIL，記i=EIL，則X=3i；

（5）基于疊加法原理，原結(jié)構(gòu)彎矩圖M=MP+XM，故原結(jié)構(gòu)彎矩圖如圖5所示。

（二）載常數(shù)表——以“兩端固定端”結(jié)構(gòu)滿布均布荷載為例

以兩端固定支座為例，如圖8所示，結(jié)構(gòu)滿布均布荷載，求結(jié)構(gòu)的彎矩圖。由于結(jié)構(gòu)形式對稱，荷載正對稱，故選取如圖9所示的半結(jié)構(gòu)進(jìn)行求解。

推導(dǎo)過程如下：

（1）圖9結(jié)構(gòu)為兩次超靜定結(jié)構(gòu)。

（2）選取如圖10所示的基本體系。

（3）繪制如圖11（a）和11（b）所示的MP圖和M1（M2圖為0），求Δ1P、Δ2P、δ11、δ12、δ21和δ22。

根據(jù)圖乘法，解得Δ1P=qL324EI，Δ2P=0，δ11=L2EI，δ12=δ21=0，δ22=0；求解時(shí)利用標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線圍成的面積曲線公式（2）和形心位置公式（3）或（6）。

（4）依據(jù)固定端位移協(xié)調(diào)，建立力法方程：

δ11X1+δ12X2+Δ1P=0

δ21X1+δ22X2+Δ2P=0（8）

將（4）中Δ1P、Δ2P、δ11、δ12、δ21和δ22代入式（8）中，解得X1=-qL212，X2=0。

（5）基于疊加法原理，原結(jié)構(gòu)彎矩圖M=MP+X1M1+X2M2，故半結(jié)構(gòu)彎矩圖如圖12所示，最后依據(jù)對稱性，得原結(jié)構(gòu)彎矩圖如圖8所示。

結(jié)語

本文基于“高等數(shù)學(xué)”中的曲線積分、“材料力學(xué)”中的靜矩和“結(jié)構(gòu)力學(xué)”中的力法基本原理對“結(jié)構(gòu)力學(xué)”中的圖乘法和位移法的常用計(jì)算公式進(jìn)行理論推導(dǎo)。本文的寫作目的如下。

（1）“結(jié)構(gòu)力學(xué)”中的常用計(jì)算公式可以通過已有的課程知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行完整的理論過程推導(dǎo)；

（2）基于理論推導(dǎo)的學(xué)習(xí)方法可以加深對于公式的理解與記憶；

（3）基于理論推導(dǎo)的學(xué)習(xí)方法可以夯實(shí)學(xué)生的專業(yè)基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)和創(chuàng)新能力；

（4）通過理論推導(dǎo)的師生互動(dòng)的學(xué)習(xí)方法，可以調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的參與度，追蹤學(xué)生對知識(shí)點(diǎn)的掌控度，增強(qiáng)學(xué)生對教師教學(xué)的滿意度。

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作者簡介：王銀（1991—"），男，漢族，山東鄒平人，博士研究生，講師，研究方向：固體材料損傷力學(xué)；宗香華（2004—"），女，漢族，江西贛縣人，本科在讀，研究方向：土木工程；李艷杰（1984—"），女，漢族，山東臨清人，博士研究生，副教授，研究方向：實(shí)驗(yàn)固體力學(xué)方法。