向量積的課堂教學(xué)設(shè)計及應(yīng)用

摘"要：解析幾何與高等數(shù)學(xué)教材中向量積的概念是由力矩引入的，是學(xué)生步入大學(xué)之后學(xué)習(xí)的一種新運算，較為難懂，但又是基本而重要的運算之一，其應(yīng)用十分廣泛，涉及物理學(xué)、數(shù)學(xué)、工程學(xué)、計算機科學(xué)等領(lǐng)域。本文對向量積的課堂進行了教學(xué)設(shè)計，并用日常生活中的實例，如擰開水杯、竹蜻蜓飛行及擰開螺絲等問題引入力矩以及向量積，形成對“向量積”概念性理解的思維鏈。通過這些具體實例，將向量積概念生活化，期望在“課程思政”的方法上有一定的改進，進而加深學(xué)生對向量積的理解，提高應(yīng)用向量積解決問題的能力。

關(guān)鍵詞：向量積；向量積的性質(zhì)；向量積的應(yīng)用

一、概述

向量積作為一種數(shù)學(xué)工具，在各個領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。對于剛剛步入大學(xué)的大學(xué)生們來說，在解析幾何和高等數(shù)學(xué)中，向量積作為基礎(chǔ)知識的一部分，是必須被掌握的。然而，向量積的概念較抽象，不易理解，與數(shù)量積交錯在一起更是難以理解，且其應(yīng)用十分廣泛。那么，如何幫助學(xué)生們較好地了解向量積，是一直以來備受關(guān)注的問題。

二、向量積

（一）向量積的背景

我們知道打開旋轉(zhuǎn)式水杯時需要逆時針旋轉(zhuǎn)使杯蓋向上移動從而打開，順時針旋轉(zhuǎn)使杯蓋向下移動進而擰緊，這是為什么呢？竹蜻蜓是我國古典一大發(fā)明，這種簡單而神奇的玩具，曾令西方傳教士驚嘆不已，將其稱為“中國螺旋”。20世紀(jì)30年代，德國人根據(jù)“中國螺旋”的形狀和原理發(fā)明了直升機上天的螺旋槳。我們知道玩竹蜻蜓時，只需要逆時針用力搓竹柄，竹蜻蜓就會飛上天空，旋轉(zhuǎn)好一會兒后，才會落下來，這又是什么原理呢？在擰螺絲過程中，我們需要計算施加力與螺絲軸線所產(chǎn)生的扭矩（力矩的一種特殊形式）。扭矩越大，螺絲旋轉(zhuǎn)越快，從而達到擰緊或擰松的目的。在初中我們已經(jīng)學(xué)過，力與轉(zhuǎn)動軸之間的距離叫作力臂。在物理學(xué)中，把力與力臂的乘積叫作力矩［1］。用m→=f→×r→來刻畫，其中m→表示力矩，f→表示力，r→表示力臂，我們可以將力矩表示成如圖1所示。如果力的作用點是A，OA=r→，那么力矩m→=f→×r→。力矩是一個矢量，既有大小也有方向［2］。無論杯子、竹蜻蜓還是螺絲都有中心軸，如圖2所示，逆時針用力時，力矩是向上的，從而杯蓋向上打開、竹蜻蜓向上飛、擰開螺絲，而順時針力矩是向下的，從而杯蓋擰緊、竹蜻蜓向下走、擰緊螺絲。

鑒于力矩在生活中的重要意義，有必要引入向量積的定義，并研究其性質(zhì)和坐標(biāo)表示。

（二）向量積的定義［24］

向量a→與b→的向量積（也稱外積）是一個向量，記作a→×b→或［a→，b→］，它的模是a→×b→=a→·b→sinθ，它的方向與a→和b→都垂直，并且按a→，b→，a→×b→這個順序構(gòu)成右手標(biāo)架{O；a→，b→，a→×b→}。

注：根據(jù)向量積定義可知，向量積有如下幾何意義。

（1）兩個不共線向量a→與b→的向量積的模長等于以a→與b→為鄰邊所構(gòu)成的平行四邊形的面積。

（2）兩個不共線向量a→，b→的法向量與a→×b→平行。

（三）向量積的性質(zhì)

1.反交換律：a→×b→=-（b→×a→）

證：如果a→與b→共線，那么a→×b→與b→×a→都是零向量，則等式顯然成立。如果a→與b→不共線，那么a→×b→=a→b→sin∠（a→，b→）=b→a→sin∠（b→，a→），即a→×b→與b→×a→的模相等；又由向量積的定義知，a→×b→與b→×a→都同時垂直于a→與b→，因此，a→×b→與b→×a→是兩個共線向量，其分別按a→，b→，a→×b→與b→，a→，b→×a→的順序構(gòu)成右手標(biāo)架O；a→，b→，a→×b→與O；b→，a→，b→×a→。所以，a→×b→與b→×a→的方向相反，得證。

2.結(jié)合律：λ（a→×b→）=（λa→）×b→=a→×（λb→）

證：如果λ=0或a→，b→共線，則等式成立。如果λ≠0，且a→，b→不共線，那么因為

λ（a→×b→）=λa→b→sin∠（a→，b→），

（λa→）×b→=λa→b→sin∠（λa→，b→），

a→×（λb→）=a→λb→sin∠（a→，λb→），

所以，向量λ（a→×b→），（λa→）×b→，a→×（λb→）的模相等。當(dāng)λ＞0時，這三個向量與a→×b→的方向相同；當(dāng)λ＜0時，這三個向量與a→×b→的方向相反。因此，三個向量方向也相同，從而結(jié)合律成立。

3.分配律：（a→+b→）×c→=a→×b→+b→×c→

證：如果a→，b→，c→中至少有一個是零向量或者a→，b→，c→為一組共線向量，則等式顯然成立。下證不是上述情況時，分配律成立。

設(shè)c→0為c→的單位向量，證明下式成立：

（a→+b→）×c→0=a→×c→0+b→×c→0。

我們可用下面的作圖法作出向量a→×c→0。如圖3，通過向量a→與c→0的公共始點O作平面π垂直于c→0，自向量a→的終點A引AA1⊥π，A1為垂足，由此得到向量a→在平面π上的射影向量OA1，再將OA1在平面π上繞O點順時針方向（自c→0的終點看平面π）旋轉(zhuǎn)90°，得OA2，那么OA2=a→×c→0。

事實上，由作圖法知OA2⊥a→，OA2⊥c→0，且{O；a→，c→0，OA2}構(gòu)成右手標(biāo)架，所以O(shè)A2與a→×c→0同方向。設(shè)∠（a→，c→0）=φ，那么OA2=OA1=a→sinφ=a→·c→0·sin∠（a→，c→0），所以O(shè)A2=a→×c→0。

如圖4所示，設(shè)OA=a→，AB=b→，那么OB=a→+b→。并設(shè)OA1，A1B1，OB1分別為OA，AB，OB在垂直于c→0的平面π上的射影向量，再將OA1，A1B1，OB1在平面π內(nèi)分別繞點O依順時針方向（自c→0的終點看平面π）旋轉(zhuǎn)90°得OA2，A2B2，OB2，依上述作圖法可知OA2=a→×c→0，A2B2=b→×c→0，OB2=（a→+b→）×c→0，而OB2=OA2+A2B2，所以（a→+b→）×c→0=a→×c→0+b→×c→0。

在上式兩邊乘c→，得（a→+b→）×c→c→0=a→×c→c→0+b→×c→c→0，由于c→=c→c→0，所以結(jié)論成立。

（四）向量積的坐標(biāo)表示

設(shè)a→=X1i→+Y1j→+Z1k→，b→=X2i→+Y2j→+Z2k→，那么根據(jù)向量積的運算性質(zhì)可得

a→×b→=（X1i→+Y1j→+Z1k→）×（X2i→+Y2j→+Z2k→）

=X1X2（i→×i→）+X1Y1（i→×j→）+X1Z2（i→×k→）+

Y1X2（j→×i→）+Y1Y2（j→×j→）+Y1Z2（j→×k→）+

Z1X2（k→×i→）+Z1Y2（k→×j→）+Z1Z2（k→×k→），

又因為坐標(biāo)向量i→，j→，k→是三個兩兩互相垂直的單位向量，所以有i→×i→=0，j→×j→=0，k→×k→=0，i→×j→=k→，j→×k→=i→，

k→×i→=j→，j→×i→=-k→，k→×j→=-i→，i→×k→=-j→，從而得到向量積的坐標(biāo)表示公式為［5］a→×b→=（Y1Z2-Y2Z1）i→+（Z1X2-Z2X1）j→+（X1Y2-X2Y1）k→=i→j→k→

X1Y1Z1

X2Y2Z2。

（五）混合積［24］

1.混合積的定義及坐標(biāo)表示

兩個向量a→與b→向量積的結(jié)果仍然是向量，可與第三個向量c→計算內(nèi)積，稱為混合積，記作（a→×b→）·c→或（a→，b→，c→）或（a→b→c→）。

設(shè)a→=X1i→+Y1j→+Z1k→，b→=X2i→+Y2j→+Z2k→，c→=X3i→+Y3j→+Z3k→，則結(jié)合向量積的坐標(biāo)表示，可以得到混合積的坐標(biāo)表示為（a→，b→，c→）=X1Y1Z1

X2Y2Z2

X3Y3Z3。

2.混合積的性質(zhì)

三個不共面的向量a→，b→，c→的混合積的絕對值等于以a→，b→，c→為棱的平行六面體的體積V，并且當(dāng)a→，b→，c→構(gòu)成右手系時混合積是正數(shù)；當(dāng)a→，b→，c→構(gòu)成左手系時，混合積是負(fù)數(shù)，也就是有（a→，b→，c→）=εV，當(dāng)a→，b→，c→是右手系時ε=1；當(dāng)a→，b→，c→是左手系時ε=-1。

推論：（a→×b→）·c→=a→·（b→×c→）。

（六）雙重向量積［24］

兩個向量a→與b→的向量積的結(jié)果仍是向量，可與第三個向量c→計算向量積，最后所得的結(jié)果仍然是向量（a→×b→）×c→，叫作所給三向量a→，b→，c→的雙重向量積。

注：根據(jù)向量積的定義，我們知道（a→×b→）×c→與c→垂直，并且它與a→×b→垂直，而a→，b→也與a→×b→垂直，所以（a→×b→）×c→和a→，b→共面，即（a→×b→）×c→是和a→，b→共面且垂直于c→的向量。由此，我們可以概括為如下定理：

（a→×b→）×c→=（a→·c→）b→-（b→·c→）a→。

三、向量積的應(yīng)用

例1：剛體（在物理學(xué)中，剛體是指在任何情況下形狀、大小都不發(fā)生變化的力學(xué)研究對象）以角速度ω繞z軸逆時針旋轉(zhuǎn)，試表示剛體上一點M的線速度［6］。

解：設(shè)點M到旋轉(zhuǎn)軸z的距離為a，在z軸上任取一點O作向量r→=OM，并以θ表示旋轉(zhuǎn)軸z軸與r→的夾角，那么a=r→sinθ。設(shè)線速度為v→，那么由線速度與角速度的關(guān)系可得v→=ω→a=ω→r→sinθ，其中v→垂直于ω→與r→，且ω→，r→，v→符合右手定則。如圖5所示，因此有v→=ω→×r→。

例2：求向量a→=（1，2，3）和b→=（1，1，0）所在平面的法向量。

解：由向量積坐標(biāo)表示可知a→×b→=i→j→k→

123

111=23

10i→+31

01j→+12

11k→=-3i→+3j→-k→。

由向量積的定義可知，a→×b→既垂直于a→，又垂直于b→，故垂直于a→與b→所在的平面，即a→×b→為所求平面的法向量，故所在平面的法向量為n→=a→×b→=（-3，3，-1）。

例3：已知空間三點A（1，2，3），B（2，-1，5），C（3，2，-5），試求（1）△ABC的面積；（2）△ABC的AB邊上的高。

解：（1）△ABC的面積=12，平行四邊形ABDC的面積=12AB×AC，而AB=（1，-3，2），AC=（2，0，-8），所以由向量積坐標(biāo)表示可得AB×AC=i→j→k→

1-32

20-8=24i→+12j→+6k→，從而AB×AC=242+122+62=621，所以△ABC的面積為321。

（2）如圖6所示，因為△ABC的AB邊上的高CH是平行四邊形ABDC的AB邊上的高，所以

CH=平行四邊形ABDC的面積AB=AB×ACAB。

又因為AB=1+-32+22=14，所以

CH=AB×ACAB=62114=36。

結(jié)語

向量積可用于計算三角形面積、平行四邊形面積及法向量計算等實際問題中。向量積的結(jié)果是一個向量，可繼續(xù)與向量做內(nèi)積定義混合積或與向量做向量積定義雙重向量積?；旌戏e可用于計算平行六面體或四面體的體積。本文通過擰開水杯、竹蜻蜓飛行及擰開螺絲中的向量積原理的導(dǎo)入，讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)與物理的緊密聯(lián)系以及數(shù)學(xué)在生活中的廣泛應(yīng)用，可以有效提高教學(xué)效果，培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力及將數(shù)學(xué)概念用于解釋實際現(xiàn)象的能力。

參考文獻：

［1］漆安慎，杜嬋英.普通物理學(xué)教程力學(xué)［M］.4版.北京：高等教育出版社，2021.

［2］呂林根.解析幾何［M］.5版.北京：高等教育出版社，2019.

［3］同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：下冊［M］.7版.北京：高等教育出版社，2014.

［4］廖華奎，王寶富.解析幾何教程［M］.北京：科學(xué)出版社，2000.

［5］鄭平，李明，李樹海，等.向量積在定理證明和公式推導(dǎo)中的運用［J］.甘肅高師學(xué)

報，2016，21（12）：6264.

［6］朱穎，劉益民.向量在高中物理教學(xué)中的應(yīng)用［J］.湖南中學(xué)物理，2013，28（10）：3538.