巧用中點(diǎn)構(gòu)造輔助線

中點(diǎn)是初中幾何中特殊的點(diǎn)，當(dāng)已知條件中出現(xiàn)中點(diǎn)時(shí)，我們可以聯(lián)想到三角形的中線、三角形中位線、直角三角形斜邊上的中線、等腰三角形“三線合一”等一些特殊的線段，由特殊的線段再聯(lián)想到特殊的圖形，進(jìn)而解題. 因此，掌握與中點(diǎn)有關(guān)的輔助線添加方法對(duì)解決初中幾何問(wèn)題有著重要作用. 下面舉例說(shuō)明.

一、倍長(zhǎng)中線法

例1 如圖1，在△ABC中，AB = 10， AC = 6， AD是BC邊上的中線，求AD的取值范圍.

解：如圖2，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使得ED = AD，連接BE.

在△BDE和△CDA中，

BD = CD，∠BDE = ∠CDA，ED = AD，

∴△BDE ≌ △CDA，∴BE = AC = 6.

∵AB - BE lt; AE lt; AB + BE，∴10 - 6 lt; AE lt; 10 + 6.

又∵AD = [12]AE，∴2 lt; AD lt; 8.

二、倍長(zhǎng)類中線法

例2 如圖3，在△ABC中，AD為∠A的平分線，M為BC的中點(diǎn)，AD[?]ME. 求證：BE = CF = [12]（AB + AC）.

證明：如圖4，延長(zhǎng)FM至點(diǎn)G，使得GM = FM，連接BG.

在△BMG和△CMF中，BM = CM，∠BMG = ∠CMF，F(xiàn)M = GM，

∴△BMG ≌ △CMF（SAS），∴∠G = ∠CFM，BG = CF.

∵AD[?]EM，∴∠BAD = ∠E，∠DAF = ∠EFA.

∵∠BAD = ∠DAF，∴∠E = ∠EFA，∴AE = AF.

∵∠AFE = ∠CFM，∴∠E = ∠CFM，

∴∠G = ∠E，∴BE = BG = CF，

∴AB + AC = AB + AF + FC = AB + AE + BE = BE + BE = 2BE，

∴BE = CF = [12]（AB + AC）.

三、構(gòu)造直角三角形斜邊上的中線

例3 如圖5，在△ABC中，BD和CE均為高線，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是DE的中點(diǎn). 求證：MN ⊥ DE.

證明：如圖6，連接EM，DM.

∵點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，

∴在Rt△BEC中，EM = [12]BC；

在Rt△BDC中，DM = [12] BC，

∴EM = DM，

又∵ EN = ND，∴MN ⊥ DE.

四、構(gòu)造三角形中位線

例4 如圖7，在△ABC中，F(xiàn)是BC邊的中點(diǎn)，D是AC邊上一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，連接FE并延長(zhǎng)，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G. 若AB = DC = 10，∠FEC = 60°，求EF的長(zhǎng)度.

解：如圖8，連接BD，取BD的中點(diǎn)H，連接EH，F(xiàn)H.

∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，H是BD的中點(diǎn)，

∴EH是△ABD的中位線，

∴ EH = [12]AB.

同理，F(xiàn)H是△BCD的中位線，∴FH = [12]CD.

又∵ AB = CD，∴EH = FH，

∴∠HEF = ∠HFE.

又∵FH是△BCD的中位線，

∴ FH [?] CD，∴∠HFE = ∠FEC = 60°，

∴△EFH是等邊三角形，∴EF = EH = [12]AB = 5.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★ 解題時(shí)間：5分鐘

1. 已知：如圖9，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE = ∠CDE.

求證：AB = CD.

2.如圖10，CE是△ACD的中線，B是AD的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BD = AC，∠ACD + ∠CDB = 180°. 求證：BC = 2CE.

[B][圖9] [D][A][E][C][圖10] [C][A][E][D][B]

難度系數(shù)：★★★★ 解題時(shí)間：8分鐘

3. 如圖11，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，D為AB中點(diǎn)，點(diǎn)E在直線BC上（點(diǎn)E不與點(diǎn)B，C重合），連接DE，過(guò)點(diǎn)D作DF ⊥ DE，交直線AC于點(diǎn)F，連接EF. 若AC = 5，BC = 3，EC = 1，則線段AF的長(zhǎng)為 ." " （答案見本頁(yè)）

（作者單位：大連市東港第一中學(xué)）

答案速遞

第32頁(yè)：1. 201°

第33頁(yè)：2. （1）[∠D=30°]；（2）[∠D=12]（∠M + ∠N - 180°）．

3. （1）∠AOC = ∠A + ∠C + ∠P；（2）[∠P=12]（∠B + ∠D） = 38°；

（3）[∠P=90°+12]（∠B + ∠D）；（4）[∠P=180°-12]（∠B + ∠D）.

第36頁(yè)：1. （1）20，y = -[34x+12]；（2）OC的長(zhǎng)為6.

2. （1）y = -2x + 2，B（0，2）；（2）（1 + [5]，0）或（1 - [5]，0）或（-1，0）.

3. （1）y = [34x+5]. （2）當(dāng)點(diǎn)E落在OC的垂直平分線上時(shí)，OD = [1033]；當(dāng)點(diǎn)E落在OA的垂直平分線上時(shí)，OD = 25 - 5[21].

第38頁(yè)：1.略

第39頁(yè)：2.略 3. [115]或1.

第41頁(yè)：1.原式 = x - 1，當(dāng)x = 3時(shí)，原式 = 2.

2.原式 = [x2-2x-1x]，當(dāng)x = 2時(shí)，原式 = -[12].

3.原式 = [2x-4x+1]，當(dāng)x = 2時(shí)，原式 = 0.

4.原式 = [1x-2]，當(dāng)x = 1時(shí)，原式 = -1.