勾股定理與一次函數(shù)的“雙劍合璧”

勾股定理和一次函數(shù)都是初中數(shù)學(xué)的重點和難點，近年來一次函數(shù)和勾股定理結(jié)合起來的綜合題在各類考試中更是屢見不鮮.下面舉例介紹.

題型1：一次函數(shù)背景下的折疊問題

例1 如圖1，一次函數(shù)[y=-43x+4]的圖像與x軸交于點A，與y軸交于點B，點C為線段OA上一點，將△BOC沿直線BC翻折，點O恰好落在一次函數(shù)y = -[43]x + 4的圖像上的點O'處.請求出直線BC的函數(shù)表達(dá)式.

解題策略：折疊問題是初中階段幾何圖形變換的一種重要形式，已然成為各種考試的重點題型，解決此類問題的關(guān)鍵在于找到折疊后的對應(yīng)線段和對應(yīng)角. 在折疊中利用勾股定理列方程求線段長是常用的方法之一.本題折疊后有BO = BO'，CO = CO'，∠BOC = ∠BO'C = 90°，由此構(gòu)成Rt△AO'C，列方程可求出OC的長，從而求出直線BC的函數(shù)表達(dá)式.

解：由一次函數(shù)y = - [43]x + 4可得：當(dāng)x = 0時，y = 4；當(dāng)y = 0時，x = 3.

∴A（3，0），B（0，4），∴OB = 4，OA = 3.

在Rt△AOB中，∠AOB = 90°，由勾股定理得[AB=OA2+OB2=5].

由折疊可知O'B = OB = 4，O'C = OC，∠BO'C = ∠BOC = 90°，

∴O'A = AB - O'B = 5 - 4 = 1.

設(shè)OC = x，則O'C = x，AC = OA - OC = 3 - x.

∵點O'落在直線AB上，∴∠AO'C = 90°.

在Rt△AO'C中，由勾股定理得O'C2 + O'A2 = AC2，即x2 + 12 = （3 - x）2，

解得x = [43]，∴點C[43，0].

設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y = kx + b，由點B（0，4）和點C[43，0]在直線BC上，

可得[4=b，0=43k+b，]解得[b=4，k=-3.]

∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y = -3x + 4.

題型2：一次函數(shù)背景下的等腰三角形存在性問題

例2 如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線y = -x + 4與x軸交于點A，與y軸交于點B，與直線y = kx + 1交于點P（1，m）.

（1）求m和k的值；

（2）連接OP，如圖3，在x軸上找點Q，使得△OPQ為等腰三角形，請求出點Q的坐標(biāo).

解題策略：一次函數(shù)背景下等腰三角形的存在性問題，一般都涉及分類、畫圖和計算.其解法通常是通過一次函數(shù)求出點的坐標(biāo)，再將坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成線段長，最后利用線段相等和勾股定理來求解.

解：（1）將點P（1，m）代入直線y = -x + 4中，可得m = 3，

∴點P的坐標(biāo)為（1，3）.

將點P（1，3）代入y = kx + 1中，可得k = 2.

（2）由（1）可知點P（1，3），過點P作PH ⊥ x軸于點H，則∠PHO = 90°，OH = 1，PH = 3.在Rt△PHO中，由勾股定理可得OP = [10].

①當(dāng)OP = OQ時，如圖4.

∵OQ1 = OQ2 = OP = [10]，∴Q1（[-10，0]），Q2（[10，0]）.

②當(dāng)PO = PQ時，如圖5.

∵PH ⊥ x軸，∴OH = Q3H = 1，∴OQ3 = 2，∴Q3（2，0）..

③當(dāng)QO = QP時，如圖6.

作OP的垂直平分線Q4M，交x軸于點Q4 .

設(shè)Q4（x，0），則PQ4 = OQ4 = x.

∵OH = 1，∴HQ4 = x - 1.

在Rt△PHQ4 中，由勾股定理得HQ42 + PH2 = PQ42，即（x - 1）2 + 32 = x2，解得x = 5，∴Q4（5，0）.

∴符合條件的點Q的坐標(biāo)為（-[10]，0），（[10]，0），（2，0），（5，0）.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★ 解題時間：15分鐘

1.如圖7，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸交于點B（16，0），與y軸交于點A（0，12），點C為線段OB上一點.

（1）AB的長為 ，直線AB 的函數(shù)表達(dá)式為 .

（2）把△AOB沿著直線AC翻折，使得點B落在y軸上，求OC的長．

2.如圖8，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y = -2x + b的圖像與x軸交于點A（1，0），與y軸交于點B．

（1）求一次函數(shù)的表達(dá)式和點B的坐標(biāo)；

（2）點C在x軸上，若△ABC是以邊AB為腰的等腰三角形，請直接寫出點C的坐標(biāo)．

[圖7" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "圖8] [y][A][A][O][C][B][x] [x][y][A][B][O][1]

難度系數(shù)：★★★★ 解題時間：10分鐘

3.在平面直角坐標(biāo)系中，已知長方形紙片OABC的邊長OA = 6，OC = 8，點D為邊OA上一點，連接CD，折疊長方形紙片OABC，點O的對應(yīng)點為點E，折痕為CD．

（1）如圖9，若點E恰好落在邊AB上，求直線DE的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若點E落在長方形紙片OABC的對稱軸上，求OD的長.

（答案見第39頁）

（作者單位：沈陽市實驗學(xué)校）