數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器：原理、建模與控制

摘要：針對(duì)高精度驅(qū)動(dòng)需求，從新型離散構(gòu)型和數(shù)字驅(qū)動(dòng)原理出發(fā)，首先探究不同數(shù)字編碼方式下數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器的動(dòng)、靜態(tài)輸出特性；其次探究數(shù)字驅(qū)動(dòng)下遲滯減小的內(nèi)在機(jī)理，結(jié)合非線性動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)建模描述執(zhí)行器的遲滯、蠕變和動(dòng)力學(xué)等特性；最后提出數(shù)字開(kāi)/關(guān)時(shí)間控制來(lái)消除剩余遲滯，進(jìn)一步提高定位精度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相比傳統(tǒng)壓電疊堆，數(shù)字壓電疊堆遲滯減小66%以上，所提的建模方法在10 Hz以內(nèi)均方根誤差小于0.3889 μm，所提的數(shù)字開(kāi)/關(guān)時(shí)間控制方法能夠在10 Hz以內(nèi)有效消除執(zhí)行器剩余遲滯特性的影響。

關(guān)鍵詞：智能材料；驅(qū)動(dòng)技術(shù)；遲滯；數(shù)字控制

中圖分類號(hào)：TH7；TP223

Digital Piezoelectric Stack Actuators： Principle， Modeling and Control

LING Jie* ZHANG Yunzhi CHEN Long ZHU Yuchuan

College of Mechanical and Electrical Engineering，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing，210016

Abstract： Based on the new discrete configuration and the principle of digital drive， the dynamic and static output characteristics of a digital piezoelectric stack actuator（DPEA） were studied under different digital coding modes. Secondly the internal mechanism of hysteresis reduction under digital drive， was explored， and described the hysteresis， creep and dynamics characteristics of the DPEA were combined with nonlinear dynamic mathematical modeling. Finally， digital on/off time control was proposed to eliminate the remaining hysteresis and further improve the positioning accuracy. Experimental results show that compared to traditional piezoelectric stacks， the hysteresis of DPEA is reduced by more than 66%. The proposed modeling method yields a root mean square error of less than 0.3889 μm within 10 Hz. The proposed digital on/off time control may effectively eliminate the residual hysteresis of the DPEA within 10 Hz.

Key words： smart material； driving technology； hysteresis； digital control

0 引言

壓電材料作為一種能直接實(shí)現(xiàn)電機(jī)轉(zhuǎn)換的智能材料^［1］，因高分辨率、高能量密度、高頻響和結(jié)構(gòu)緊湊的優(yōu)勢(shì)而成為精密運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中的重要驅(qū)動(dòng)元件，廣泛運(yùn)用于微/納操作、航空航天驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)、半導(dǎo)體加工等領(lǐng)域^［2-3］。

由于單片壓電陶瓷的輸出位移較小，實(shí)際使用中常通過(guò)粘接工藝將多片壓電陶瓷片和電極疊合，形成壓電疊堆以放大位移^［4］。但是，壓電材料固有的遲滯非線性會(huì)引起其輸出精度的降低和閉環(huán)系統(tǒng)的振蕩^［5-6］，限制了其在快速、高精密定位系統(tǒng)中的應(yīng)用。

目前已有三種方法可用于抑制或消除遲滯非線性。第一種方法是通過(guò)設(shè)計(jì)控制器補(bǔ)償遲滯，其中包括：① 無(wú)遲滯模型的控制^［7］ ；② 有遲滯模型的控制^［8］。前者因?yàn)榉答伩刂茙捥?，無(wú)法解決高頻、大位移下的遲滯非線性，同時(shí)，也面臨控制穩(wěn)定性和性能提升的矛盾，控制器的設(shè)計(jì)往往十分復(fù)雜。后者采用構(gòu)建遲滯模型的方式，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建前饋控制器以消除遲滯?？紤]到未建模誤差導(dǎo)致的控制器失效問(wèn)題^［9-10］，目前常用前饋反饋復(fù)合控制的方式補(bǔ)償未建模誤差，其難點(diǎn)在于考慮逆補(bǔ)償誤差時(shí)的閉環(huán)穩(wěn)定性問(wèn)題。第二種方法是采用電荷控制的方式消除遲滯。但由于電荷放大器研制復(fù)雜、成本高昂，故電荷控制方法目前并未被廣泛應(yīng)用^［11］。

第三種抑制遲滯的方法是結(jié)合離散和數(shù)字編碼的思想，利用數(shù)字信號(hào)對(duì)各離散壓電層進(jìn)行逐層驅(qū)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)遲滯的減小。實(shí)現(xiàn)這種驅(qū)動(dòng)方式需要進(jìn)行以下工作：① 在機(jī)械連接上將傳統(tǒng)壓電疊堆離散為多層結(jié)構(gòu)、互相疊加但不粘接；② 在電氣驅(qū)動(dòng)上，每一層都有一對(duì)獨(dú)立的正負(fù)端子用以驅(qū)動(dòng)，而不是各壓電層共享一對(duì)驅(qū)動(dòng)電極，以此釋放控制自由度；③ 在控制原理上，對(duì)離散后的多層壓電疊堆按層進(jìn)行編碼，利用一系列方波數(shù)字信號(hào)對(duì)各離散壓電層進(jìn)行開(kāi)/關(guān)控制，實(shí)現(xiàn)從“單自由度模擬控制”向“多自由度數(shù)字控制”的轉(zhuǎn)變。這種離散數(shù)字驅(qū)動(dòng)的數(shù)字壓電執(zhí)行器最早由XIA等^［12］提出，通過(guò)8層厚度按二進(jìn)制編碼的離散壓電疊堆組成，可以實(shí)現(xiàn)256位的位移輸出，實(shí)驗(yàn)證明，該數(shù)字壓電執(zhí)行器的位移近似線性、平滑的輸出。XIAO等^［13］利用相同原理實(shí)現(xiàn)了一種二進(jìn)制編碼下的數(shù)字壓電雙晶片執(zhí)行器，實(shí)現(xiàn)了遲滯的減小。高強(qiáng)等^［14］同樣提出了一種離散結(jié)構(gòu)和二進(jìn)制編碼的陣列壓電疊堆執(zhí)行器，通過(guò)仿真驗(yàn)證了其工作原理。可見(jiàn)，第三種方法無(wú)需設(shè)計(jì)復(fù)雜的閉環(huán)控制器和昂貴的電荷放大器，通過(guò)離散和數(shù)字編碼的數(shù)字信號(hào)驅(qū)動(dòng)即可實(shí)現(xiàn)減小遲滯。目前國(guó)內(nèi)外關(guān)于數(shù)字壓電執(zhí)行器的研究存在以下不足：①在驅(qū)動(dòng)原理方面，并沒(méi)有對(duì)數(shù)字驅(qū)動(dòng)下減小遲滯的原理進(jìn)行解釋；②在理論建模方面，目前文獻(xiàn)中并沒(méi)有對(duì)數(shù)字驅(qū)動(dòng)下的壓電執(zhí)行器非線性動(dòng)力學(xué)進(jìn)行建模；③數(shù)字壓電執(zhí)行器的遲滯雖然有所減小，但依然存在剩余遲滯，設(shè)計(jì)相關(guān)控制方法對(duì)剩余遲滯進(jìn)行消除的研究目前未見(jiàn)報(bào)道。

本文針對(duì)數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器，較完整地完成了以下工作：① 從不同數(shù)字編碼的角度對(duì)執(zhí)行器的靜態(tài)、動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行分析；② 將數(shù)字/傳統(tǒng)壓電執(zhí)行器的遲滯非線性進(jìn)行比較，并完成數(shù)字驅(qū)動(dòng)下遲滯減小的原理分析；③ 完成了執(zhí)行器非線性動(dòng)力學(xué)建模；④ 針對(duì)數(shù)字驅(qū)動(dòng)下剩余遲滯非線性，提出了一種對(duì)應(yīng)的數(shù)字開(kāi)/關(guān)時(shí)間控制方法，進(jìn)一步提高數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器的輸出精度。

1 數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器結(jié)構(gòu)和原理

1.1 數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

如圖1所示，設(shè)計(jì)的數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器采用直驅(qū)式結(jié)構(gòu)。直驅(qū)式結(jié)構(gòu)相對(duì)于杠桿式、柔性放大式結(jié)構(gòu)具有帶寬高、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)的優(yōu)勢(shì)。執(zhí)行器中包含8層10 mm×10 mm的壓電片，層與層之間在結(jié)構(gòu)和驅(qū)動(dòng)上都進(jìn)行了離散，總計(jì)釋放8對(duì)控制端口。

1.2 數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器工作原理

數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器工作原理如圖1所示。該系統(tǒng)由以下部分組成：8層離散數(shù)字壓電疊堆、驅(qū)動(dòng)器和控制器。其中，控制器進(jìn)行數(shù)據(jù)采集、處理和控制信號(hào)的生成、輸出；驅(qū)動(dòng)器有8對(duì)輸入輸出的功率放大驅(qū)動(dòng)電路，其功能是將0～5 V指令方波信號(hào)轉(zhuǎn)換為0～100 V的驅(qū)動(dòng)信號(hào)；數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器作為核心驅(qū)動(dòng)單元，最終輸出位移。與傳統(tǒng)壓電疊堆往往通過(guò)模擬諧波信號(hào)進(jìn)行控制不同的是，數(shù)字壓電疊堆各層控制信號(hào)為一系列獨(dú)立的方波。為了實(shí)現(xiàn)“類模擬諧波驅(qū)動(dòng)”的輸出位移，需要對(duì)原本的模擬信號(hào)按壓電層數(shù)進(jìn)行比例放大，即

U=2.5npsin（ωt+1.5π）+2.5np （1）

式中：U為按壓電層數(shù)放大后的電壓信號(hào)；np為壓電層數(shù)；ω為信號(hào)角頻率。

此處2.5np為直流偏置，防止壓電承受負(fù)壓而擊穿。

再按壓電層數(shù)進(jìn)行數(shù)字量化：

Uq=Umaxnpround（Umaxnp）（2）

式中：Uq為量化后信號(hào)；round（）為四舍五入取整函數(shù)。

根據(jù)量化后信號(hào)進(jìn)行各壓電層驅(qū)動(dòng)信號(hào)的分配：由于控制器數(shù)字輸出口只能輸出5 V的高電平和0 V低電平，故每一層壓電的驅(qū)動(dòng)信號(hào)幅值為5 V；各層開(kāi)/關(guān)時(shí)間由編碼方式?jīng)Q定。本文著重討論最常見(jiàn)的編碼方法：二進(jìn)制編碼和等值編碼下，數(shù)字壓電疊堆的靜態(tài)、動(dòng)態(tài)輸出特性。由于只有8層壓電，二進(jìn)制數(shù)最多為［1 1 1］，故實(shí)際工作時(shí)，只有7層壓電被驅(qū)動(dòng)。兩種編碼下各壓電層開(kāi)/關(guān)切換方法如圖2所示：①對(duì)于二進(jìn)制編碼的7層數(shù)字壓電，可按二進(jìn)制數(shù)001、010、100，分別設(shè)置第一層壓電為001，第二、三層壓電為010，第四～七層壓電為100；② 對(duì)于等值編碼，則每層壓電均為1。量化后信號(hào)的每一級(jí)輸出位移與編碼數(shù)一一對(duì)應(yīng)，實(shí)際工作時(shí)根據(jù)所需位移即可確定編碼數(shù)，以此確定各層壓電的實(shí)時(shí)開(kāi)/關(guān)切換狀態(tài)。

1.3 數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器實(shí)驗(yàn)平臺(tái)與信號(hào)流圖見(jiàn)圖3?；趚PC-Target實(shí)時(shí)控制系統(tǒng)，由運(yùn)動(dòng)采集卡（NI公司，PCI-6259）、上位機(jī)和下位機(jī)等組成。上位機(jī)指令經(jīng)由7組獨(dú)立輸入輸出口的功率放大器驅(qū)動(dòng)7層數(shù)字壓電疊堆（哈爾濱芯明天公司，NAC2015），電容位移傳感器（哈爾濱芯明天公司，E09.Cap）反饋到下位機(jī)采集卡并由局域網(wǎng)上傳至上位機(jī)。

2 數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器靜態(tài)、動(dòng)態(tài)輸出特性分析與實(shí)驗(yàn)

針對(duì)常用的二進(jìn)制編碼和等值編碼方式，分析不同驅(qū)動(dòng)方式下數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器的靜態(tài)、動(dòng)態(tài)輸出特性。

2.1 數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器靜態(tài)輸出特性分析

靜態(tài)輸出特性是指數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器在不同編碼方式下實(shí)現(xiàn)相同位移的組合數(shù)，直接反映了執(zhí)行器的性能冗余性和容錯(cuò)能力。對(duì)于二進(jìn)制編碼，每一種輸出位移對(duì)應(yīng)的驅(qū)動(dòng)壓電組合是唯一的；而對(duì)于等值編碼，非滿量程輸出位移的組合數(shù)不唯一。以三層數(shù)字壓電疊堆為例，不同輸出位移等級(jí)下等值編碼與二進(jìn)制編碼的組合數(shù)比較如圖4所示。相比二進(jìn)制編碼，等值編碼的輸出位移組合數(shù)冗余性更強(qiáng)：當(dāng)數(shù)字壓電疊堆的層數(shù)相同時(shí)，在相同的輸出位移等級(jí)下，等值編碼具備的組合數(shù)大于或等于二進(jìn)制編碼的組合數(shù)，即等值編碼的容錯(cuò)能力更強(qiáng)。

2.2 數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器動(dòng)態(tài)輸出特性分析

動(dòng)態(tài)輸出特性指執(zhí)行器從一個(gè)輸出位移狀態(tài)向另一個(gè)狀態(tài)改變時(shí)的瞬態(tài)輸出特性，能夠體現(xiàn)執(zhí)行器的切換穩(wěn)定性。數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器的動(dòng)態(tài)輸出特性取決于每層壓電響應(yīng)特性差異。圖5所示為八層同時(shí)驅(qū)動(dòng)和各層獨(dú)立驅(qū)動(dòng)下執(zhí)行器整體的階躍響應(yīng)?？梢悦黠@看出，執(zhí)行器的階躍響應(yīng)都近似于一個(gè)欠阻尼系統(tǒng)。此外，兩端的壓電層階躍響應(yīng)有別于中間層的階躍響應(yīng)，體現(xiàn)為響應(yīng)速度更快，超調(diào)量更大。這種響應(yīng)差異性最終會(huì)體現(xiàn)為狀態(tài)切換時(shí)的瞬態(tài)輸出特性。

通過(guò)階躍響應(yīng)實(shí)驗(yàn)辨識(shí)出每層壓電層的傳遞函數(shù)，通過(guò)仿真得到兩種編碼方式下數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器的動(dòng)態(tài)特性，如圖6所示?？梢?jiàn)：①針對(duì)兩種編碼方式，數(shù)字壓電疊堆的第一層壓電被驅(qū)動(dòng)時(shí)，兩種編碼動(dòng)態(tài)特性相同；②等值編碼下壓電層逐層驅(qū)動(dòng)后再逐層關(guān)閉，除第一層輸出位移的超調(diào)明顯以外，其余各層在打開(kāi)和關(guān)閉時(shí)超調(diào)均不明顯。與之相對(duì)，由于二進(jìn)制編碼下，輸出位移等級(jí)在切換時(shí)對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)為001的第一層壓電層的開(kāi)閉狀態(tài)總是會(huì)隨之切換，故每一級(jí)輸出的位移都會(huì)因第一層壓電狀態(tài)切換的關(guān)系而具有明顯的超調(diào)。

為研究層間響應(yīng)特性差異對(duì)瞬態(tài)輸出特性的影響，在仿真中以兩層壓電為例。設(shè)第一層壓電的輸出位移等級(jí)為1，響應(yīng)時(shí)間為T1，第二層壓電的輸出位移等級(jí)為2，響應(yīng)時(shí)間為T2，按二進(jìn)制編碼。仿真設(shè)置第二層壓電的響應(yīng)時(shí)間T2分別小于T1、等于T1和大于T1，得到二進(jìn)制編碼下的執(zhí)行器位移輸出特性如圖7所示?？梢?jiàn)，對(duì)于二進(jìn)制編碼：①當(dāng)所需輸出位移等級(jí)為奇數(shù)時(shí)，數(shù)字壓電疊堆的動(dòng)態(tài)特性幾乎由第一層的動(dòng)態(tài)特性決定；②當(dāng)所需輸出位移等級(jí)為偶數(shù)時(shí)，若T2≠T1，執(zhí)行器的輸出位移會(huì)產(chǎn)生突變。具體表現(xiàn)為位移超調(diào)量變大或位移先減小再增大的現(xiàn)象。另外，當(dāng)所有壓電層的工作狀態(tài)都發(fā)生變化，即編碼從［0 1］切換為［1 0］時(shí)，位移突變最明顯。

2.3 數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器開(kāi)環(huán)實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器驅(qū)動(dòng)原理和動(dòng)態(tài)輸出性能分析的準(zhǔn)確性，進(jìn)行數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器開(kāi)環(huán)實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)測(cè)得兩種編碼下的輸出位移結(jié)果如圖8所示。可見(jiàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析結(jié)果基本一致，位移從［0 1］切換為［1 0］時(shí)出現(xiàn)了先減小再增大的情況，而超調(diào)量的變化并不明顯。

綜上，由于壓電層間差異性的原因，不同壓電層的動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)間和超調(diào)量必然存在一定程度上的差異。相比于二進(jìn)制編碼，等值編碼由于在切換過(guò)程中有且僅有一層的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)會(huì)發(fā)生改變，其輸出位移的瞬態(tài)不確定性較小、位移突變較小，有助于提高數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器的穩(wěn)定性與控制精度。對(duì)于二進(jìn)制編碼，后續(xù)也可采用阻尼控制的方式減小各層響應(yīng)差異和位移突變。

3 數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器遲滯非線性特性分析與實(shí)驗(yàn)

遲滯非線性作為壓電的固有特性，在模擬信號(hào)驅(qū)動(dòng)時(shí)體現(xiàn)為輸入電壓與輸出位移的非線性與多值映射關(guān)系。壓電內(nèi)部不完全可逆的非180°疇的轉(zhuǎn)向是遲滯產(chǎn)生的原因^［15］。場(chǎng)強(qiáng)E與180°疇轉(zhuǎn)向的晶胞數(shù)m的關(guān)系為

m（E↑）lt;m（E↓）（3）

場(chǎng)強(qiáng)越大，非180°疇轉(zhuǎn)向的晶胞數(shù)m越多，壓電的遲滯越嚴(yán)重。但相同幅值、不同類型的驅(qū)動(dòng)信號(hào)也會(huì)影響壓電的遲滯。

3.1 數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器遲滯特性分析

對(duì)模擬整體式模擬驅(qū)動(dòng)和數(shù)字驅(qū)動(dòng)下的遲滯進(jìn)行比較，解釋數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器遲滯減小的原因。

首先需要確定其一個(gè)驅(qū)動(dòng)周期內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度。針對(duì)模擬驅(qū)動(dòng)，模擬驅(qū)動(dòng)信號(hào)Ua為

Ua=A2sin（ωt+1.5π）+A2（4）

式中：A為信號(hào)峰峰值。

正弦驅(qū)動(dòng)信號(hào)下的執(zhí)行器輸出位移及滯環(huán)如圖9所示，為了方便觀察遲滯變化，將各個(gè)信號(hào)都進(jìn)行了歸一化處理?？梢钥吹剑因?qū)動(dòng)下的滯環(huán)兩邊小、中間大。對(duì)于模擬驅(qū)動(dòng)，信號(hào)幅值越接近峰值或者谷值，遲滯越小。采用相同峰峰值的階梯信號(hào)近似代替模擬驅(qū)動(dòng)信號(hào)時(shí)，每一級(jí)階梯所對(duì)應(yīng)的位移在滯環(huán)上是離散的點(diǎn)，可見(jiàn)在相同輸入電壓下，遲滯并沒(méi)有減少。

但當(dāng)階梯只有一級(jí)，即壓電以方波進(jìn)行驅(qū)動(dòng)時(shí)，遲滯只出現(xiàn)在圖9中的P1和P8處，該處的遲滯很小。因此，在數(shù)字驅(qū)動(dòng)下，由于信號(hào)只是方波信號(hào)，每一層壓電被驅(qū)動(dòng)時(shí)，其遲滯只包含圖9中P8處的遲滯，相對(duì)于等幅值的模擬信號(hào)驅(qū)動(dòng)時(shí)很小。

3.2 數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器遲滯特性實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器在數(shù)字驅(qū)動(dòng)下的遲滯比模擬驅(qū)動(dòng)下更小的優(yōu)勢(shì)，分別對(duì)7層數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器進(jìn)行模擬驅(qū)動(dòng)和數(shù)字驅(qū)動(dòng)。

模擬式和數(shù)字式驅(qū)動(dòng)的輸入信號(hào)幅值相同、頻率相同。實(shí)驗(yàn)依次在三種驅(qū)動(dòng)頻率1、5、10 Hz下，比較數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器在不同驅(qū)動(dòng)信號(hào)下的遲滯大小，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖10所示?？梢?jiàn)，對(duì)于同一電壓幅值，數(shù)字驅(qū)動(dòng)相較于模擬驅(qū)動(dòng)的遲滯大大減小，并且數(shù)字驅(qū)動(dòng)下的輸出位移與參考信號(hào)之間基本不存在滯后。

進(jìn)一步量化不同驅(qū)動(dòng)方式下遲滯的減小，分別在驅(qū)動(dòng)頻率1、5、10 Hz下，比較在同一電勢(shì)下的遲滯大小，見(jiàn)表1～表3。相比于傳統(tǒng)整體式模擬驅(qū)動(dòng)，數(shù)字驅(qū)動(dòng)下的遲滯平均減小69.24%（1 Hz），66.97%（5 Hz），68.57%（10 Hz），且當(dāng)驅(qū)動(dòng)信號(hào)為10 Hz時(shí)，遲滯最大可減小83.33%。

4 數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器建模與實(shí)驗(yàn)

4.1 數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器非線性動(dòng)力學(xué)建模

由于壓電本身具有固有的遲滯非線性和蠕變非線性，故在建立執(zhí)行器動(dòng)力學(xué)模型時(shí)需要同時(shí)引入遲滯模型和蠕變模型。

對(duì)于遲滯非線性，由于數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器的遲滯只關(guān)心壓電在方波低電平下的遲滯，故遲滯遠(yuǎn)小于模擬式的驅(qū)動(dòng)。但是，由于遲滯依然存在，為了建立準(zhǔn)確的數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器非線性動(dòng)力學(xué)模型，仍然需要考慮遲滯非線性。Hammerstein結(jié)構(gòu)作為一種模擬率相關(guān)遲滯非線性的遲滯模型^［16］，由靜態(tài)遲滯模型和線性動(dòng)力學(xué)模型級(jí)聯(lián)而成。考慮遲滯和線性動(dòng)力學(xué)的數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器動(dòng)力學(xué)模型可由Hammerstein的結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)。其中，靜態(tài)遲滯模型采用Prandtl-Ishlinskii （P-I模型）^［17］：

Y［u］（t）=w0u（t）+∑ni=1wiHri［u］（t）（5）

其中，Y（u）為模型輸出；wi為算子權(quán)重；u為輸入信號(hào)；ri為算子閾值；i為算子編號(hào)；Hri（u）為齒隙算子，ts為采樣時(shí)間。Hri（u）表達(dá)式為

Hri［u］（t）=

max（u（t）－ri，min（u（t）+ri，Hri［u］（t－ts）））

（6）

數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器的線性動(dòng)力學(xué)模型由階躍響應(yīng)直接辨識(shí)獲得。壓電的蠕變非線性是指當(dāng)壓電執(zhí)行器被驅(qū)動(dòng)時(shí)的輸出位移漂移現(xiàn)象，在低速運(yùn)行時(shí)，壓電的蠕變非線性會(huì)變得很明顯^［18］。因此，當(dāng)壓電驅(qū)動(dòng)器接受方波信號(hào)時(shí)，在瞬態(tài)響應(yīng)后的幾毫秒后會(huì)產(chǎn)生明顯蠕變的特點(diǎn)，直到下一個(gè)電平變化的時(shí)刻。在Hammerstein結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，需要考慮蠕變模型。蠕變模型采用對(duì)數(shù)函數(shù)的形式描述^［19］。同時(shí)，蠕變?cè)诜讲ㄐ盘?hào)的上升沿和下降沿發(fā)生后都會(huì)出現(xiàn)，原本的蠕變模型只適用于上升沿，對(duì)蠕變模型進(jìn)行改進(jìn)：

L（t）=1+γlgtfn－1+t0"" 上升沿蠕變

1－γlgtfn－1+t0－tb下降沿蠕變（7）

式中：L為模型輸出；L0為蠕變開(kāi)始時(shí)的位移；γ為蠕變因子；tb為1 Hz下每個(gè)驅(qū)動(dòng)周期中每一層壓電的啟動(dòng)時(shí)刻；t0為每個(gè)驅(qū)動(dòng)周期中動(dòng)態(tài)響應(yīng)至蠕變開(kāi)始的時(shí)間；t為當(dāng)前時(shí)間；n為當(dāng)前驅(qū)動(dòng)的周期數(shù)；f為驅(qū)動(dòng)頻率。

蠕變模型中的參數(shù)γ和t0由對(duì)數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器數(shù)字驅(qū)動(dòng)實(shí)驗(yàn)的開(kāi)環(huán)數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識(shí)得到?？紤]遲滯、蠕變和線性動(dòng)力學(xué)的數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器動(dòng)力學(xué)模型如圖11所示。

4.2 數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)辨識(shí)

首先通過(guò)階躍響應(yīng)實(shí)驗(yàn)辨識(shí)各層壓電的線性動(dòng)力學(xué)模型。該模型忽略遲滯和蠕變的非線性行為，只考慮線性部分。得到線性動(dòng)力學(xué)模型后，通過(guò)準(zhǔn)靜態(tài)正弦信號(hào)驅(qū)動(dòng)壓電執(zhí)行器的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)辨識(shí)靜態(tài)P-I模型的參數(shù)。在正弦激勵(lì)下，蠕變可忽略，因此可以得到忽略蠕變的動(dòng)力學(xué)模型。最后通過(guò)方波信號(hào)驅(qū)動(dòng)執(zhí)行器獲得的輸出位移數(shù)據(jù)，在建立的Hammerstein結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上辨識(shí)蠕變模型參數(shù)，獲得考慮蠕變的執(zhí)行器非線性動(dòng)力學(xué)模型。

4.3 數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器非線性動(dòng)力學(xué)模型驗(yàn)證

將辨識(shí)所得模型與數(shù)字驅(qū)動(dòng)下的輸出位移實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，結(jié)果如圖12所示。可見(jiàn)，數(shù)字壓電疊堆動(dòng)力學(xué)模型可以較好地模擬數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器的動(dòng)力學(xué)、遲滯和蠕變。為進(jìn)一步驗(yàn)證模型的有效性，計(jì)算不同頻率下的模型均方根誤差。經(jīng)過(guò)誤差計(jì)算，建立的數(shù)字壓電疊堆動(dòng)力學(xué)模型在1、5、10 Hz下的均方根誤差分別為0.1279、0.2754、0.3889 μm。由此可見(jiàn)，本文建立的數(shù)字壓電執(zhí)行器動(dòng)力學(xué)模型在10 Hz下具有較高的準(zhǔn)確性。

5 數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器控制

5.1 數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器數(shù)字開(kāi)/關(guān)時(shí)間控制設(shè)計(jì)

數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器由于各層壓電存在遲滯非線性，實(shí)際輸出位移往往會(huì)在輸入電壓下降時(shí)大于參考位移信號(hào)，造成定位誤差，如圖13a所示。因此，需要根據(jù)執(zhí)行器的實(shí)際輸出位移進(jìn)行各層開(kāi)/關(guān)時(shí)間的控制，目的是確保整體的輸出位移低于參考位移且各級(jí)輸出位移與參考位移曲線相切，達(dá)到實(shí)際輸出位移的“嚴(yán)格類諧波輸出”，如圖13b所示。

本文所采取的數(shù)字開(kāi)/關(guān)時(shí)間控制方法是基于各層壓電層實(shí)際輸出位移進(jìn)行開(kāi)/關(guān)時(shí)間的修正，其控制流程如圖13c所示。壓電材料本身的輸出位移在初載周期和穩(wěn)定周期是不同的，設(shè)數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器的輸出位移矩陣為

X=x11x12x13x21x22x23xi1xi2xi3（8）

其中，i=1，2，…，N，N為壓電總個(gè)數(shù)。X是一個(gè)7×3矩陣（總計(jì)7層壓電被驅(qū)動(dòng)），每一行為第i層壓電層的輸出位移信息，第一列元素xi1代表第i層壓電層在初載周期打開(kāi)時(shí)的輸出位移；第二列元素xi2代表第i層壓電層在穩(wěn)定周期關(guān)閉時(shí)的輸出位移；第三列元素xi3代表第i層壓電層在穩(wěn)定周期打開(kāi)時(shí)的輸出位移，如圖13b所示。

根據(jù)參考位移的反函數(shù)x^-1ref與輸出位移矩陣X，得到數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器各層的開(kāi)/關(guān)時(shí)間矩陣T。此處反函數(shù)x^-1ref=［x^-1ref1 x^-1ref2 x^-1ref3］，依次為初載周期、穩(wěn)定周期信號(hào)下降段和穩(wěn)定周期信號(hào)上升段的反函數(shù)。開(kāi)/關(guān)時(shí)間矩陣為

T=x^－1ref（X）=

x^－1ref1（x11）x^－1ref2（x12）x^－1ref3（x13）x^－1ref1（x21）x^－1ref2（x22）x^－1ref3（x23）x^－1ref1（xi1）x^－1ref2（xi2）x^－1ref3（xi3）=

t11t12t13t21t22t23ti1ti2ti3（9）

其中，T也是一個(gè)7×3矩陣，T的每一行元素為第i層壓電層的開(kāi)/關(guān)時(shí)間信息。第一列元素ti1為第i層壓電層初載周期的開(kāi)啟時(shí)刻；第二列元素ti2為第i層壓電層穩(wěn)定周期的關(guān)閉時(shí)刻；第三列元素ti3為第i層壓電層穩(wěn)定周期的開(kāi)啟時(shí)刻。

開(kāi)/關(guān)矩陣每次更新完都進(jìn)行一次記錄。每一個(gè)周期開(kāi)始前都將輸出位移矩陣X與前一次開(kāi)/關(guān)矩陣對(duì)應(yīng)的參考位移函數(shù)xref（Tk-1）進(jìn)行誤差計(jì)算，若誤差大于設(shè)定閾值r，則再次更新開(kāi)/關(guān)時(shí)間矩陣T，反之則T保持不變，如圖13c所示。

5.2 數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器數(shù)字開(kāi)/關(guān)時(shí)間控制實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

根據(jù)執(zhí)行器數(shù)字開(kāi)/關(guān)時(shí)間控制方法，采用圖3所示實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，結(jié)果如圖14所示?？梢?jiàn)，當(dāng)目標(biāo)位移信號(hào)為1、5、10 Hz的正弦信號(hào)時(shí)，相比于開(kāi)/關(guān)時(shí)間控制前的輸出位移，開(kāi)/關(guān)時(shí)間控制后的位移實(shí)現(xiàn)了控制目的，即消除了層間遲滯非線性差異對(duì)輸出位移的影響。

6 結(jié)論

本文提出了一種新型數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器，并對(duì)其工作原理、驅(qū)動(dòng)方式、建模理論和控制方法進(jìn)行介紹，得出以下結(jié)論：

1）通過(guò)對(duì)數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器在不同編碼方式下的靜態(tài)、動(dòng)態(tài)特性分析可得，相對(duì)于二進(jìn)制編碼，等值編碼瞬態(tài)不確定性較小、位移突變較小，有助于提高數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器輸出穩(wěn)定性與精度。

2）通過(guò)對(duì)數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器在數(shù)字驅(qū)動(dòng)下的遲滯非線性分析可得，相比于傳統(tǒng)的整體式模擬驅(qū)動(dòng)方式，數(shù)字驅(qū)動(dòng)下的遲滯大幅減少，平均減小69.24%（1 Hz），66.97%（5 Hz），68.57%（10 Hz），且遲滯最多可減小83.33%。

3）通過(guò)對(duì)數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器的動(dòng)力學(xué)建?？傻茫紤]遲滯、線性動(dòng)力學(xué)和蠕變因素后，所建模型精度較高，在1、5、10 Hz下的均方根誤差（標(biāo)準(zhǔn)差）分別為0.1279、0.2754、0.3889 μm。

4）考慮壓電執(zhí)行器遲滯非線性的影響，進(jìn)行數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器數(shù)字開(kāi)/關(guān)時(shí)間控制的設(shè)計(jì)與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明開(kāi)/關(guān)時(shí)間控制后：① 輸出位移低于目標(biāo)位移；② 各級(jí)輸出位移與目標(biāo)位移曲線相切，即消除了層間遲滯非線性差異對(duì)輸出位移的影響，實(shí)現(xiàn)了實(shí)際輸出位移的“嚴(yán)格類諧波輸出”。

參考文獻(xiàn)：

［1］ JANOCHA H， KUHNEN K. Real-time Compensation of Hysteresis and Creep in Piezoelectric Actuators［J］. Sensors and Actuators A：Physical， 2000， 79（2）：83-89.

［2］ LING Jie， CHEN Long， FENG Zhao， et al. Development and Test of a High Speed Pusher-type Inchworm Piezoelectric Actuator with Asymmetric Driving and Clamping Configuration［J］. Mechanism and Machine Theory， 2022， 176：104997.

［3］ AN Dong， LI Ji， YANG Yixiao， et al. Compensation Method for Complex Hysteresis Characteristics on Piezoelectric Actuator Based on Separated Level-loop Prandtl-Ishlinskii Model［J］. Nonlinear Dynamics， 2022， 109（4）：2479-2497.

［4］ 余學(xué)貴. 壓電型步進(jìn)式旋轉(zhuǎn)精密驅(qū)動(dòng)器試驗(yàn)研究［D］. 長(zhǎng)春：吉林大學(xué)， 2005.

YU Xuegui. Design and Research on Precision Stepping Circumrotate Actuator Driving by Piezoelectricity［D］. Changchun：Jilin University， 2005.

［5］ HASSANI V， TJAHJOWIDODO T， DO T N. A Survey on Hysteresis Modeling， Identification and Control［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2014， 49（1/2）：209-233.

［6］ 魏燕定. 壓電驅(qū)動(dòng)器的非線性模型及其精密定位控制研究［J］. 中國(guó)機(jī)械工程， 2004， 15（7）：565-568.

WEI Yanding. Study on Non-linear Model of Piezoelectric Actuator and Accurate Positioning Control Strategy［J］. China Mechanical Engineering， 2004， 15（7）：565-568.

［7］ LING Jie， FENG Zhao， ZHENG Dongdong， et al. Robust Adaptive Motion Tracking of Piezoelectric Actuated Stages Using Online Neural-network-based Sliding Mode Control［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2021， 150：107235.

［8］ MING Min， LING Jie， FENG Zhao， et al. A Model Prediction Control Design for Inverse Multiplicative Structure Based Feedforward Hysteresis Compensation of a Piezo Nanopositioning Stage［J］. International Journal of Precision Engineering and Manufacturing， 2018， 19（11）：1699-1708.

［9］ 郝瑞， 彭倍， 周吳. 微機(jī)電系統(tǒng)壓電振動(dòng)臺(tái)遲滯補(bǔ)償方法研究［J］. 中國(guó)機(jī)械工程， 2021， 32（17）：2118-2124.

HAO Rui， PENG Bei， ZHOU Wu. Research on Hysteresis Compensation Method of MEMS Piezoelectric Vibratory Platforms［J］. China Mechanical Engineering， 2021， 32（17）：2118-2124.

［10］ 胡斌梁， 陳國(guó)良. 壓電陶瓷微夾鉗遲滯環(huán)自適應(yīng)逆控制研究［J］. 中國(guó)機(jī)械工程， 2006， 17（8）：798-801.

HU Binliang， CHEN Guoliang. Study on Adaptive Inverse Control of Hysteresis in Piezoelectric Microgripper［J］. China Mechanical Engineering， 2006， 17（8）：798-801.

［11］ GU Guoying， ZHU Limin， SU Chunyi， et al. Modeling and Control of Piezo-actuated Nanopositioning Stages：a Survey［J］. IEEE Transactions on Automation Science and Engineering， 2016， 13（1）：313-332.

［12］ XIA Yanjiang， HUPPE B S， FUKAMI T. An Approach to Enlarging the Maximum Bit in Piezoelectric Digital Actuator［J］. Ferroelectrics， 1994， 160（1）：331-336.

［13］ XIAO Wenlei， HUAN Ji， LIU Guoxi， et al. A Digitally Linear Piezoelectric Bimorph Actuator in Open-loop Mode［J］. Applied Physics Letters， 2013， 102（12）：123503.

［14］ 高強(qiáng)， 朱勇， 錢鵬飛， 等. 陣列壓電疊堆驅(qū)動(dòng)高速開(kāi)關(guān)閥的設(shè)計(jì)與仿真分析［J］. 液壓與氣動(dòng)， 2023， 47（9）：56-62.

GAO Qiang， ZHU Yong， QIAN Pengfei， et al. Design and Simulation Analysis of a High Speedon/off Valve Actuated by Array Piezoelectric Stacks［J］. Chinese Hydraulics amp; Pneumatics， 2023， 47（9）：56-62.

［15］ 崔玉國(guó)， 孫寶元， 董維杰， 等. 壓電陶瓷執(zhí)行器遲滯與非線性成因分析［J］. 光學(xué)精密工程， 2003， 11（3）：270-275.

CUI Yuguo， SUN Baoyuan， DONG Weijie， et al. Causes for Hysteresis and Nonlinearity of Piezoelectric Ceramic Actuators［J］. Optics and Precision Engineering， 2003， 11（3）：270-275.

［16］ QI Chenkun， GAO Feng， LI Hanxiong， et al. An Incremental Hammerstein-like Modeling Approach for the Decoupled Creep， Vibration and Hysteresis Dynamics of Piezoelectric Actuator［J］. Nonlinear Dynamics， 2015， 82（4）：2097-2118.

［17］ QIN Yanding， TIAN Yanling， ZHANG Dawei， et al. A Novel Direct Inverse Modeling Approach for Hysteresis Compensation of Piezoelectric Actuator in Feedforward Applications［J］. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics， 2013， 18（3）：981-989.

［18］ 趙天， 楊智春， 劉昊， 等. 壓電陶瓷疊層作動(dòng)器遲滯蠕變非線性自適應(yīng)混合補(bǔ)償控制方法［J］. 航空學(xué)報(bào)， 2018， 39（12）：222308.

ZHAO Tian， YANG Zhichun， LIU Hao， et al. Hysteresis and Creep Nonlinearities Modeling and Adaptive Hybrid Compensation Control of Piezoelectric Stack Actuators［J］. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica， 2018， 39（12）：222308.

［19］ TASHAKORI S， VAZIRI V， APHALE S S. A Comparative Quantification of Existing Creep Models for Piezoactuators［C］∥Recent Trends in Wave Mechanics and Vibrations. Cham， 2023：419-426.

（編輯 陳 勇）

作者簡(jiǎn)介：凌 杰*，男，1990年生，副教授、博士。研究方向?yàn)榫茯?qū)動(dòng)與控制。E-mail：meejling@nuaa.edu.cn。

本文引用格式：凌杰，張?jiān)蕡?zhí)，陳龍，等.數(shù)字壓電疊堆執(zhí)行器：原理、建模與控制［J］. 中國(guó)機(jī)械工程，2025，36（2）：228-237.

LING Jie， ZHANG Yunzhi， CHEN Long， et al. Digital Piezoelectric Stack Actuators： Principle， Modeling and Control［J］. China Mechanical Engineering， 2025， 36（2）：228-237.

基金項(xiàng)目：航空科學(xué)基金（ASFC-20220007052001）