棉花磷肥施用量與磷素養(yǎng)分平衡的數(shù)學(xué)模型構(gòu)建

摘要：為了優(yōu)化棉花磷肥施用量，保證磷素養(yǎng)分平衡，選擇Logistic模型分析棉花不同生長期的磷素積累量，之后使用指數(shù)模型和線性模型分析施磷量與土壤速效磷含量之間的關(guān)系；基于肥料效應(yīng)函數(shù)法，構(gòu)建了一種線性加平臺數(shù)學(xué)模型，模擬磷肥施用量和棉花產(chǎn)量間的關(guān)系；并在此基礎(chǔ)上通過養(yǎng)分平衡法確定最佳施肥量。結(jié)果表明，當(dāng)磷肥施用量逐漸增加，棉花的產(chǎn)量也隨之提高，當(dāng)磷肥（P2O5）施用量在83.99 kg/hm2時(shí)，子棉產(chǎn)量達(dá)最高，為6 410.784 kg/hm2。通過優(yōu)化施肥策略，確定棉花磷素輸入量為21.98 mg/kg，對應(yīng)磷肥（P2O5）施用量為82.64 kg/hm2，該施肥量既能保證棉花產(chǎn)量，也能確保磷素養(yǎng)分獲得和支出之間的平衡。

關(guān)鍵詞：棉花；磷肥；施用量；磷素養(yǎng)分平衡；數(shù)學(xué)模型；肥料效應(yīng)函數(shù)法

中圖分類號：S147.21+4；S158.2；S562" " " " "文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：0439-8114（2025）01-0039-05

DOI：10.14088/j.cnki.issn0439-8114.2025.01.007 開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識碼（OSID）：

Construction of mathematical models for phosphorus fertilizer application amount and phosphorus nutrient balance in cotton

CAO Zuan， HU Yan， LIU Xue-yun

（College of Intelligent Science and Engineering， Xi’an Peihua University， Xi’an" 710125，China）

Abstract： In order to optimize the application amount of phosphorus fertilizer in cotton and ensure the balance of phosphorus， the Logistic model was selected to analyze the phosphorus accumulation in different growth stages of cotton， and then the exponential model and linear model were used to analyze the relationship between phosphorus application amount and soil available phosphorus content. Based on the fertilizer effect function method， a linear plus platform mathematical model was constructed to simulate the relationship between phosphorus fertilizer application amount and cotton yield. On this basis， the optimum fertilization amount was determined by the nutrient balance method. The results showed that as the application of phosphorus fertilizer gradually increased， the yield of cotton also increased accordingly. When the application amount of phosphorus fertilizer was 83.99 kg/hm2， the yield of seed cotton reached the highest level， which was 6 410.784 kg/hm2. By optimizing the fertilization strategy， the phosphorus input of cotton was determined to be 21.98 mg/kg， and the corresponding phosphorus fertilizer application amount （P2O5） was 82.64 kg/hm2， which could not only ensure the cotton yield， but also ensure the balance between the acquisition and expenditure of phosphorus.

Key words： cotton； phosphate fertilizer； application amount； phosphorus nutrient balance； mathematical model； fertilizer effect function method

棉花作為重要的經(jīng)濟(jì)作物，其生長發(fā)育對養(yǎng)分的需求較為復(fù)雜。其中，磷素養(yǎng)分在棉花生長期起著至關(guān)重要的作用。然而，在實(shí)際生產(chǎn)中，磷肥施用量的確定往往缺乏科學(xué)依據(jù)，導(dǎo)致磷素養(yǎng)分的分配存在精準(zhǔn)性和高效性不足的問題，進(jìn)而影響棉花的產(chǎn)量和品質(zhì)［1］。當(dāng)前，在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，農(nóng)戶常常依賴經(jīng)驗(yàn)或傳統(tǒng)習(xí)慣來決定磷肥的施用量，缺乏科學(xué)依據(jù)和精準(zhǔn)指導(dǎo)。這種做法往往導(dǎo)致施肥量偏高，未能充分考慮土壤養(yǎng)分狀況和作物實(shí)際需求［2，3］。為此，本研究引入了多種模型方法，以科學(xué)分析棉花在不同生長期的磷素積累情況，并優(yōu)化磷肥的施用策略，以提高磷素養(yǎng)分的利用率。

1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)學(xué)模型構(gòu)建

1.1 棉花磷肥施用試驗(yàn)設(shè)計(jì)

研究區(qū)位于湖北省枝江市某農(nóng)田，具有典型的棉花種植生態(tài)環(huán)境。土壤為中等肥力的黃壤土，排水良好，適宜棉花根系生長。該試驗(yàn)于2022—2023年進(jìn)行，春季播種，種植模式為一膜六行，棉花品種為鄂棉15。磷肥選擇重過磷酸鈣，其含有較高的水溶性磷，能夠迅速被植物吸收，滿足棉花在生長關(guān)鍵期對磷的需求。試驗(yàn)設(shè)6個(gè)不同磷肥（P2O5）施用水平，分別為0、50、100、150、200、300 kg/hm2，用于研究不同磷肥用量對棉花生長和產(chǎn)量的影響，磷肥施用量的梯度設(shè)計(jì)有助于探討磷肥的最佳施用量，為實(shí)際生產(chǎn)提供指導(dǎo)。鉀肥為200 kg/hm2硫酸鉀，氮肥為100 kg/hm2尿素。2年時(shí)間在試驗(yàn)地按相同的密度和品種種植棉花，播種時(shí)間和方法保持一致。整個(gè)生長期內(nèi)，除了磷肥以外，其他管理措施如灌溉、病蟲害防治均按照統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，確保試驗(yàn)結(jié)果僅反映磷肥施用量的差異。

每個(gè)處理設(shè)置3個(gè)重復(fù)以確保數(shù)據(jù)的可靠性［4，5］，每個(gè)重復(fù)的小區(qū)面積為50 m2，為了減少環(huán)境差異對試驗(yàn)結(jié)果的影響，各處理小區(qū)隨機(jī)排列。同時(shí)，每個(gè)處理設(shè)置3個(gè)重復(fù)以確保數(shù)據(jù)的可靠性［4，5］。所有肥料在播種前翻地時(shí)一次性施入，按照當(dāng)?shù)孛藁ㄉa(chǎn)的普遍管理模式進(jìn)行灌溉和施肥等。為了確保試驗(yàn)的可比性，耕作、除草、防病蟲害等措施保持一致［6］。在棉花成熟期，為了確保采樣的代表性，采樣方法應(yīng)遵循隨機(jī)取樣原則。首先確定樣本區(qū)域，在每個(gè)小區(qū)內(nèi)隨機(jī)劃定多個(gè)10 m2區(qū)域，確保這些區(qū)域覆蓋小區(qū)的不同部分，另外，為了避免邊緣效應(yīng)，劃定區(qū)域時(shí)排除距離邊界至少1 m的邊緣區(qū)域。每個(gè)處理小區(qū)內(nèi)至少采樣3個(gè)10 m2的區(qū)域，以獲得具有代表性的產(chǎn)量數(shù)據(jù)。采樣區(qū)域應(yīng)遠(yuǎn)離小區(qū)的邊緣和步道，確保采集到的數(shù)據(jù)僅反映處理效果，而非邊緣效應(yīng)。在劃定的采樣區(qū)域內(nèi)，按照常規(guī)方法采摘成熟的棉花，確保不遺漏任何一個(gè)棉鈴。將采摘到的棉花樣本進(jìn)行清理，去除雜質(zhì)后稱重，記錄子棉質(zhì)量。記錄每個(gè)小區(qū)的重復(fù)采樣數(shù)據(jù)，計(jì)算各處理小區(qū)的平均產(chǎn)量。最后，將數(shù)據(jù)輸入SPSS 15.0統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行分析，以比較不同磷肥施用量對棉花產(chǎn)量的影響［7，8］。

1.2 測定指標(biāo)及方法

1.2.1 棉花植株磷含量的測定 將收集到的棉花植株樣品，包括根、莖、葉、果等部位，在烘箱中烘干，溫度控制在60～70 ℃，烘干至恒重。將烘干后的植株樣品放入電動磨樣機(jī)中粉碎，直至樣品變?yōu)榧?xì)粉末。粉碎后的樣品過0.3 mm孔篩，以獲得均勻的細(xì)粉末。將過篩后的樣品裝入自封袋中，密封保存，待進(jìn)一步分析。準(zhǔn)確稱取1.0 g的植株樣品粉末，放入消煮管中。向樣品中加入適量的硫酸和過氧化氫（體積比1∶1），在通風(fēng)櫥中加熱消煮，溫度控制在150～200 ℃，直到樣品完全溶解，溶液澄清為止。消煮完成后，將溶液冷卻至室溫。將冷卻后的溶液轉(zhuǎn)移至小白瓶中，密封保存，備用，各植株器官的磷含量采用釩鉬黃比色法測定［9］。

1.2.2 土壤樣品采集及速效磷含量的測定 土壤樣品依據(jù)隨機(jī)取樣原則采集，選取每個(gè)處理小區(qū)內(nèi)的3個(gè)隨機(jī)點(diǎn)，每個(gè)隨機(jī)點(diǎn)采樣深度為20 cm，以便采集到棉花根系活動較活躍的土層。每個(gè)取樣點(diǎn)采集500 g土壤樣品。土壤速效磷含量采用碳酸氫鈉浸提-鉬銻抗比色法測定。

1.3 數(shù)學(xué)模型的建立

棉花磷肥施用試驗(yàn)為建立磷肥施用量與產(chǎn)量及養(yǎng)分平衡之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型提供了基礎(chǔ)和驗(yàn)證依據(jù)。土壤磷素含量的補(bǔ)充途徑為投入的磷肥量。為保證土壤供磷能力，不僅要考慮磷肥施用后產(chǎn)量、肥料利用效率，還需研究土壤中的磷素養(yǎng)分平衡情況［10］。

1）磷素累積量。針對棉花生長過程，研究選擇Logistic模型分析棉花磷素累積量（yL），相關(guān)的數(shù)學(xué)模型如式（1）所示。

[yL=q1+me-nt]" " " " " nbsp; " " " " " " "（1）

式中，q為描述生長極限的常數(shù)，通常由試驗(yàn)數(shù)據(jù)通過擬合得到；m為與棉花累積的磷素量相關(guān)的阻滯系數(shù)；n為棉花累積的磷素量的增長率；t為出苗后的天數(shù)。

2）磷肥施用量與土壤速效磷含量的關(guān)系。使用指數(shù)模型和線性模型研究磷肥施用量（x）與土壤速效磷（[yp]）含量之間的關(guān)系，以從不同角度分析和理解這一關(guān)系，并找到最適合的模型來預(yù)測和指導(dǎo)實(shí)際施肥操作［11］。假設(shè)土壤速效磷含量與磷肥施用量之間更符合指數(shù)模型，則關(guān)系式如式（2）所示。

[yp=l+menx]" " " " " " " "（2）

式中，[m]、[n]、[l]為待估參數(shù)。

若磷肥施用量與土壤速效磷含量之間為線性關(guān)系，則關(guān)系式如式（3）所示。

[yp=mx+n]" " " " " " " " " （3）

3）磷肥利用效率相關(guān)指標(biāo)的計(jì)算。磷肥農(nóng)學(xué)利用率（Ragr）是指單位施磷量所增加的作物產(chǎn)量，反映棉花對磷養(yǎng)分的利用效率，計(jì)算式如式（4）所示。

[Ragr=P1-P2x]" " " " " " "（4）

式中，P1為施用磷肥區(qū)域的棉花產(chǎn)量，P2為未施用磷肥區(qū)域的棉花產(chǎn)量。

磷肥累積利用率（Racc）指棉花在其生長發(fā)育過程中對土壤中施用磷肥的累積利用效率，計(jì)算式如式（5）所示。

[Racc=CTx]" " " " " " " " "（5）

式中，[CT]為棉花吸磷量。

磷肥偏生產(chǎn)力（RP）指單位磷肥用量對單位棉花產(chǎn)量的貢獻(xiàn)［12］，其能夠反映農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中磷肥的利用效率和經(jīng)濟(jì)效益，計(jì)算式如式（6）所示。

[RP=P1x]" " " " " " " " " "（6）

4）磷肥施用量與棉花產(chǎn)量的擬合。在推薦棉花磷肥施用量中，為了提高試驗(yàn)效率，肥料效應(yīng)函數(shù)種類選擇線性加平臺模型［13，14］，模擬磷肥施用量和棉花產(chǎn)量（y）之間的關(guān)系，如式（7）所示。

[y=a+bxx≤Sy=Pxgt;S]" " " " " （7）

式中，a是方程的截距，即當(dāng)不施肥（x=0）時(shí)的棉花產(chǎn)量；b為一次項(xiàng)回歸系數(shù)，表示磷肥施用量增加時(shí)產(chǎn)量的增長幅度，即單位磷肥施用量對產(chǎn)量的影響；S為直線和平臺的交點(diǎn)，即達(dá)到平衡時(shí)的施肥量；P為施肥量達(dá)到或者超過S時(shí)的最大產(chǎn)量。

5）養(yǎng)分平衡法確定最佳施肥量。結(jié)合農(nóng)作物施肥生產(chǎn)實(shí)踐中的應(yīng)用效果，選擇施肥量常用方法——養(yǎng)分平衡法［15］來確定適宜的施肥方案。該方法估算施肥量概念清楚，容易掌握。其數(shù)學(xué)模型如式（8）所示。

[x=T100×N]" " " " " " " " （8）

式中，T為目標(biāo)產(chǎn)量；N為養(yǎng)分系數(shù)，表示每100 kg棉花所需要的養(yǎng)分量。通過養(yǎng)分系數(shù)，根據(jù)棉花的需求量和土壤中養(yǎng)分含量的情況，制定適當(dāng)?shù)氖┓史桨?。養(yǎng)分系數(shù)計(jì)算式如式（9）所示。

[N=CTy×100]" " " " " （9）

土壤中磷素的供應(yīng)與棉花對磷素的需求之間的差額，即磷素的盈余或不足量［16］，可以反映土壤中磷素的供應(yīng)情況與棉花對磷素的實(shí)際需求之間的關(guān)系。磷素養(yǎng)分盈虧量（V）計(jì)算式如式（10）所示。

[V=C2-C1]" " " " " " " （10）

式中，C1、C2分別為施肥前、后的土壤磷素含量。

2 結(jié)果與分析

2.1 棉花磷素積累量的變化

試驗(yàn)地在播種前經(jīng)過統(tǒng)一耕作處理，施入氮肥、鉀肥，確保除磷肥外的其他養(yǎng)分供應(yīng)平衡。在同一試驗(yàn)地進(jìn)行第二年的試驗(yàn)，試驗(yàn)田塊經(jīng)過同樣的前期處理，以保持試驗(yàn)條件的一致性。在棉花生長期內(nèi)，測定棉花植株磷素積累量，2年試驗(yàn)中磷素平均積累量的變化結(jié)果如圖1所示。隨著出苗時(shí)間延長，不同磷肥施用量的磷素積累量變化趨勢基本相同。磷肥施用量為100 kg/hm2時(shí)，磷素最終的積累量最大，為82.64 kg/hm2，超過100 kg/hm2的施用量時(shí)，磷素積累量略微下降。磷肥施用量對磷素積累量的影響是正向的，但是超過一定量后，進(jìn)一步增加磷肥施用量磷素積累量不再增加，甚至可能出現(xiàn)一定程度的下降。試驗(yàn)結(jié)束時(shí)，6個(gè)磷肥施用處理的磷素積累量為55.31～82.64 kg/hm2。

2.2 磷肥施用量與土壤速效磷含量的關(guān)系

在棉花生長期內(nèi)，每隔15 d采集土壤樣本，分析速效磷含量，采用指數(shù)模型和線性模型確定磷肥施用量與土壤速效磷含量之間的關(guān)系，擬合情況如圖2所示。指數(shù)模型的[R2=0.918]，說明磷肥施用量與土壤速效磷含量之間的關(guān)系擬合較好，具有較高的相關(guān)性（圖2a）；線性模型的[R2=0.893]，對數(shù)據(jù)的擬合情況較好，可以較好地描述磷肥施用量與土壤速效磷含量之間的關(guān)系（圖2b）。這表明指數(shù)模型更適用于土壤施肥量與土壤速效磷含量之間的擬合。隨著磷肥施用量的增加，土壤速效磷含量呈增加趨勢，說明施肥能夠提高土壤的基礎(chǔ)供肥力。

2.3 磷肥施用量與其利用率的關(guān)系

磷肥施用量與Ragr、Racc、RP的擬合結(jié)果如圖3所示。磷肥施用量與Ragr擬合關(guān)系的R2=0.779，隨著磷肥施用量的增加，Ragr先是緩慢提升至11.98 kg/kg，后逐漸降低，增加磷肥施用量可以提高Ragr，但過量施肥會導(dǎo)致Ragr下降（圖3a）。磷肥施用量與Racc擬合關(guān)系的R2=0.855，隨著磷肥施用量的增加，Racc逐漸下降，存在磷肥的過量施入導(dǎo)致的累積效應(yīng)（圖3b）。磷肥施用量為50 kg/hm2，Racc最高，為1.51%。磷肥施用量與RP擬合關(guān)系的R2=0.898，磷肥施用量為50 kg/hm2，RP達(dá)最高，為116.11 kg/kg；隨著磷肥施用量的增加，RP逐漸下降，說明過量施肥并不能提高磷肥生產(chǎn)力（圖3c）。因此，應(yīng)該根據(jù)實(shí)際情況選擇適宜的磷肥施用量，以提高棉花的生產(chǎn)效率和資源利用效率。

2.4 磷肥施用量與棉花產(chǎn)量的模型關(guān)系

采用線性加平臺模型擬合磷肥施用量與子棉產(chǎn)量的關(guān)系，如圖4所示。該模型線性部分表示肥料施用量增加時(shí)作物產(chǎn)量呈線性增加趨勢，而平臺部分表示當(dāng)肥料施用量達(dá)一定水平后，作物產(chǎn)量達(dá)飽和狀態(tài)，不再增加。通過將磷肥施用量和子棉產(chǎn)量數(shù)據(jù)輸入SPSS 15.0軟件進(jìn)行非線性回歸分析，擬合得到二者的線性加平臺函數(shù)方程：y=5 206.337+14.339x（x≤83.998 kg/hm2）。當(dāng)磷肥施用量在83.99 kg/hm2時(shí)，子棉產(chǎn)量達(dá)最高，為6 410.784 kg/hm2。之后磷肥施用量再增加，子棉產(chǎn)量始終保持不變。該方法能夠較為合理地確定磷肥施用量，保證經(jīng)濟(jì)效益，并且最接近土壤養(yǎng)分的獲得和支出平衡。

2.5 磷素養(yǎng)分平衡的實(shí)現(xiàn)

施磷前后的土壤速效養(yǎng)分情況如表1所示。棉花對磷素的吸收能力為100 kg棉花平均吸收的磷素量為1.12 kg。根據(jù)線性加平臺函數(shù)的方程及養(yǎng)分系數(shù)公式，獲得對應(yīng)磷肥施用量的養(yǎng)分系數(shù)值。綜合考慮土壤類型、pH、土壤有機(jī)質(zhì)等土壤性質(zhì)，設(shè)計(jì)棉花磷素輸入量為21.98 mg/kg以充分支持其生長，此時(shí)施磷量（P2O5）為82.64 kg/hm2。這個(gè)施磷量既能夠保證棉花產(chǎn)量，又能夠達(dá)到磷素養(yǎng)分的平衡，使得磷素的輸入和輸出達(dá)到平衡狀態(tài)。

3 結(jié)論

為了提高磷素養(yǎng)分的利用率，研究結(jié)合養(yǎng)分平衡法和肥料效應(yīng)函數(shù)法，設(shè)計(jì)了一種磷肥施用數(shù)學(xué)模型。結(jié)果表明，花鈴期磷素積累量的增長變化最大，不同磷肥施用量對磷素積累量的影響在花鈴期內(nèi)體現(xiàn)得最明顯，增長量為35.37～40.39 kg/hm2。磷肥施用量與土壤速效磷含量指數(shù)模型的R2=0.918，隨著磷肥施用量的增加，土壤速效磷含量逐漸增加。磷肥施用量與農(nóng)學(xué)利用率、累積利用率、偏生產(chǎn)力擬合關(guān)系的決定系數(shù)分別為0.779、0.855、0.898。增加磷肥施用量可以提高農(nóng)學(xué)利用率，但過量施肥可能導(dǎo)致農(nóng)學(xué)利用率下降。隨著磷肥施用量的增加，磷肥累積利用率逐漸下降，存在磷肥過量施入導(dǎo)致的累積效應(yīng)。磷肥（P2O5）施用量為50 kg/hm2時(shí)，累積利用率最高，為1.51%，磷肥偏生產(chǎn)力也達(dá)最高，為116.11 kg/kg。隨著磷肥施用量的增加，磷肥偏生產(chǎn)力逐漸下降，說明過量施肥并不能提高磷肥生產(chǎn)力。另外，施用磷肥能夠提高土壤的基礎(chǔ)供肥力。本研究方法能夠合理分配磷肥施用量，滿足經(jīng)濟(jì)效益。這為棉花生產(chǎn)提供了有價(jià)值的信息，同時(shí)展示了在優(yōu)化施肥策略、提高棉花產(chǎn)量和保證養(yǎng)分平衡方面的應(yīng)用潛力。但試驗(yàn)可能受到植株采集方法的限制，存在一定的偏差，未來可以設(shè)計(jì)智能化植株采集機(jī)器，有助于提高計(jì)算的準(zhǔn)確性。

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