核心素養(yǎng)視角下初中數(shù)學(xué)中與圓有關(guān)的問題解法探析

［摘 要］初中數(shù)學(xué)中與圓有關(guān)的問題蘊含豐富的數(shù)學(xué)思維和問題解決技巧，對培養(yǎng)學(xué)生空間觀念、邏輯思維和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力至關(guān)重要。文章以初中數(shù)學(xué)中與圓有關(guān)的問題，探索核心素養(yǎng)視角下的初中數(shù)學(xué)解題策略，旨在提升學(xué)生的解題能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］核心素養(yǎng)；解題；初中數(shù)學(xué)；圓

［中圖分類號］" " G633.6" " " " " " " " ［文獻標(biāo)識碼］" " A" " " " " " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2025）02-0029-03

隨著新課程改革的不斷深入，核心素養(yǎng)成為教育的核心目標(biāo)。數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)僅限于知識傳授，應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和知識應(yīng)用能力。本文以初中數(shù)學(xué)中與圓有關(guān)的問題，探討如何通過問題及解法分析實現(xiàn)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。本文聚焦最短路線問題、直線與圓的位置關(guān)系問題、點與圓的位置關(guān)系問題以及邊心距問題，揭示問題解決中核心素養(yǎng)的體現(xiàn)，為初中數(shù)學(xué)教學(xué)提供新的視角和方法。

一、最短路線問題

[例1]如圖1所示，[⊙O]的半徑為1，[MN]為[⊙O]的直徑。點[A]位于[⊙O]上，且[∠AMN=30°]，點[B]為劣弧[AN]的中點。在直徑[MN]上取動點[P]，[PA+PB]的最小值為" " " " " " " " " " " 。

lt;G：＼2025-3月數(shù)據(jù)＼A 加急3-15＼中學(xué)教學(xué)參考·理科版202501 系統(tǒng)里沒有＼Z2.epsgt;

圖1

分析：本題要求學(xué)生利用圓的對稱性質(zhì)，通過軸對稱來確定[A]和[B]之間的最短路徑。其中，點[B]是劣弧[AN]的中點，這一特殊位置引發(fā)了關(guān)于等腰三角形和直角三角形的討論。解題時，首先構(gòu)建點[B]關(guān)于直徑[MN]的對稱點[B']，并利用“圓周角是圓心角的一半”的性質(zhì)，分析三角形[AOB']的特性。在此基礎(chǔ)上，引入點[P]，結(jié)合對稱性和直徑的性質(zhì)推導(dǎo)出：當(dāng)點[P]落在[AB′]與直徑[MN]的交點時，[PA+PB]的和有最小值。

解：如圖2所示，作點[B]關(guān)于直徑[MN]的對稱點[B']，連接[OA]，[OB]，[OB′]，[AB′]，由軸對稱性質(zhì)可知[AB']即為[PA+PB]的最小值。

∵點[A]位于[⊙O]上，[∠AMN=30°]，

∴圓心角[∠AON=2∠AMN=60°]。

∵點[B]為劣弧[AN]的中點，

∴圓心角[∠BON=12∠AON=30°]。

∵點[B']是點[B]關(guān)于直徑[MN]的對稱點，

∴[∠B'ON=∠BON=30°]。

∵[∠AOB'=∠AON+∠B'ON=60°+30°=90°]，

∴△[AOB']是等腰直角三角形。

∵在等腰直角三角形[AOB']中，[AB']是斜邊，[OA]和[OB']是兩腰，

∴[AB'=2OA=2×1=2]。

∵[AB']與[MN]的交點即為[PA+PB]值最小的點，

∴[PA+PB]的最小值為[AB'=2]。

評析：本題依托圓的基本屬性和對稱性原理，旨在提升學(xué)生的空間思維和邏輯推理素養(yǎng)。從核心素養(yǎng)視角出發(fā)，本題強調(diào)數(shù)學(xué)思維的系統(tǒng)性和創(chuàng)造性，要求學(xué)生構(gòu)造點[B]的對稱點[B']，探討由此形成的幾何圖形，并通過實際操作驗證等腰直角三角形的性質(zhì)。同時，融入動態(tài)思維訓(xùn)練，通過動點[P]的位置變化探索解題的最優(yōu)策略。本題綜合考查學(xué)生的幾何直觀、邏輯推理等核心素養(yǎng)及數(shù)學(xué)表達能力，解決此類問題有助于學(xué)生準(zhǔn)確使用數(shù)學(xué)語言，增強解決實際問題的能力[1]。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生深入理解問題背后的數(shù)學(xué)原理和思想，思考對稱性如何簡化問題以及幾何直觀如何助力解題[2]。

二、直線與圓的位置關(guān)系問題

[例2]如圖3所示，在Rt△[ABC]中，[∠C=90°]，[BE]為[∠ABC]的平分線，并交[AC]于點[E]。點[D]位于[AB]邊上，[DE⊥BE]。請判斷直線[AC]與[△DBE]外接圓的位置關(guān)系，并說明理由。

lt;G：＼2025-3月數(shù)據(jù)＼A 加急3-15＼中學(xué)教學(xué)參考·理科版202501 系統(tǒng)里沒有＼Z5.epsgt;

圖3

分析：本題主要考查幾何圖形的切線特性及角平分線性質(zhì)。解題時，首先分析三角形特性，并基于[BE]是[∠ABC]的平分線推導(dǎo)出相關(guān)性質(zhì)；接著，利用直角性質(zhì)以及[DE]與[BE]的垂直關(guān)系，推出角度關(guān)系；最后，結(jié)合勾股定理和三角形的外接圓性質(zhì)，證明在某些條件下[AC]為切線，從而完成解答。本題核心在于應(yīng)用直角三角形的基本性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，結(jié)合外接圓和切線的定義進行判斷和證明。

解：直線[AC]與[△DBE]外接圓相切。理由：∵[DE⊥BE]，∴[BD]為[△DBE]外接圓的直徑，取[BD]的中點[O]（即[△DBE]外接圓的圓心），連接[OE]，如圖4所示。

∵[OE=OB]，

∴[∠OEB=∠OBE]，

∵[BE]平分[∠ABC]，

∴[∠OBE=∠CBE]，

∴[∠OEB=∠CBE]，

∵[∠CBE+∠CEB=90°]，

∴[∠OEB+∠CEB=90°]，即[OE⊥AC]，

∴直線[AC]與[△DBE]外接圓相切。

評析：本題為典型幾何題，綜合考查直角三角形性質(zhì)、角平分線性質(zhì)及圓的切線定義與性質(zhì)。題目在直角三角形的基礎(chǔ)上，引入角平分線和垂直線段，要求學(xué)生深刻理解并準(zhǔn)確應(yīng)用這些幾何概念，通過分析[BE]角平分線和[DE⊥BE]，識別這些線段之間的關(guān)系，構(gòu)造外接圓的圓心，理解切線的性質(zhì)。題目在考查學(xué)生幾何圖形分析能力的同時，還考查學(xué)生將理論知識應(yīng)用到具體問題中的能力。解題的關(guān)鍵在于判斷[BD]為外接圓直徑、[AC]為外接圓的切線，這需要熟練運用圓的性質(zhì)和勾股定理，展示良好的幾何思維和嚴(yán)謹?shù)倪壿嬐评砟芰3]。

三、點與圓的位置關(guān)系問題

[例3]已知點[P]到[⊙O]上的點的最大距離為6 cm，最小距離為2 cm，則該圓的半徑[r]為" " " " " " 。

分析：通過分析點[P]到圓心[O]的最大距離和最小距離可推斷點[P]不在[⊙O]上。判斷點[P]是在[⊙O]的內(nèi)部還是外部，需比較圓心到點[P]的距離與圓的半徑大?。喝魣A心到點[P]的距離小于半徑，則點[P]在圓內(nèi)；若大于半徑，則點[P]在圓外。解題時需利用圓的定義和性質(zhì)，結(jié)合點到圓的距離關(guān)系，明確圓心到圓周上任意點的距離等于圓的半徑，以及點到圓的最短距離和最長距離的幾何意義，建立點[P]到圓心[O]的距離與圓的半徑之間的關(guān)系。

解：（1）考慮點[P]在[⊙O]內(nèi)的情形，如圖5所示。

設(shè)[PA]和[PB]分別是點[P]到[⊙O]上的最大距離和最小距離，即[PA=6]，[PB=2]，∴[PA+PB=AB=6+2=8]，∵[AB]為直徑，∴[⊙O]的半徑[r=12AB=12×8=4]，故當(dāng)點[P]在[⊙O]內(nèi)部時，[⊙O]的半徑[r]為4。

（2）考慮點[P]在[⊙O]外的情形，如圖6所示。

設(shè)[PA]為點[P]到圓上的最小距離，[PB]為點[P]到圓上的最大距離，即[PA=2]，[PB=6]，

∴[AB=PB-PA=6-2=4]，

∵[AB]是通過圓心[O]的割線段中，圓外點到圓上點的長度差，即[⊙O]的直徑，∴[⊙O]的半徑[r=12AB=12×4=2]，故當(dāng)點[P]在[⊙O]外部時，[⊙O]的半徑[r]為2。

評析：本題是經(jīng)典的點與圓位置關(guān)系問題，通過考查點到圓上點的最大距離和最小距離來推斷圓的半徑。此題既考查學(xué)生對圓的基本性質(zhì)的理解，又考查學(xué)生的邏輯推理能力和空間想象力[4]。學(xué)生需探討點在圓內(nèi)和圓外兩種情形，這種對比分析能加深學(xué)生對圓的幾何性質(zhì)的理解，幫助學(xué)生更好地掌握點與圓的位置關(guān)系，進而培養(yǎng)學(xué)生的空間感知能力和解決復(fù)雜幾何問題的能力[5]。

四、邊心距問題

[例4]如圖7所示，已知Rt[△ABC]中，[∠C]是直角。點[D]位于[AB]邊上，以[BD]為直徑畫半圓，圓心為[O]，該半圓與[AC]邊恰好相切于點[E]。作[OF⊥BC]，垂足為點[F]。

（1）證明：[OF=EC]；

（2）若[∠A=30°]，[BD=2]，求[AD]的長。

lt;G：＼2025-3月數(shù)據(jù)＼A 加急3-15＼中學(xué)教學(xué)參考·理科版202501 系統(tǒng)里沒有＼Z9.epsgt;

圖7

分析：本題主要考查學(xué)生對于邊心距概念、圓的切線性質(zhì)以及三角形的基本幾何性質(zhì)的理解和應(yīng)用。在解題過程中，學(xué)生需運用圓的半徑和切線性質(zhì)，結(jié)合直角三角形及特殊角的知識，計算相關(guān)線段長度。

解：（1）如圖8所示，連接[OE]，

∵[AC]是切線，且與半圓[O]相切于點[E]，

∴[OE⊥AC]，

∵[OF⊥BC]且[∠C=90°]，

∴[∠OEC=∠OFC=∠C=90°]，

故四邊形[OFCE]是矩形，

∴[OF=EC]。

（2）∵[BD]為直徑，且[BD=2]，

∴圓O的半徑[OE=12BD=1]，

∵[∠A=30°]，且[OE⊥AC]，

∴在Rt[△AOE]中，[AO]為斜邊，長度為[OE]的兩倍，即[AO=2OE=2]，∴[AD=AO-DO=2-1=1]。

評析：本題測試學(xué)生對基本幾何概念的掌握及綜合應(yīng)用能力。第一問要求學(xué)生證明[OF=EC]，利用切線與切點處半徑垂直的性質(zhì)，構(gòu)建矩形簡潔證明，既考查學(xué)生對圓的基本性質(zhì)的掌握，又考查學(xué)生幾何證明的邏輯性和準(zhǔn)確性。第二問結(jié)合[∠A=30°]的特殊性，利用直角三角形中的三角函數(shù)知識，通過圓的直徑求解線段[AD]的長度，此過程有助于促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

綜上所述，本文深入分析了最短路線問題、直線與圓的位置關(guān)系問題、點與圓的位置問題以及邊心距問題等的解題要點，明確了數(shù)學(xué)教學(xué)中核心素養(yǎng)的發(fā)展路徑。教師應(yīng)積極探索核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的數(shù)學(xué)解題技巧，形成系統(tǒng)的解題教學(xué)方法，同時加強自身的教學(xué)能力水平，以提升教學(xué)效果和學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

［" "參" "考" "文" "獻" "］

[1]" 伍春蘭，丁明怡，葛曉紅.數(shù)學(xué)定理教學(xué)的“轉(zhuǎn)識成智”：以初中“垂徑定理”起始課為例[J].數(shù)學(xué)通報，2022（9）：32-36，40.

[2]" 王進敬，余慶純.數(shù)學(xué)文化視角下“圓的周長”探究式教學(xué)[J].數(shù)學(xué)通報，2023（1）：19-22.

[3]" 丁福軍.學(xué)習(xí)機會視角下我國數(shù)學(xué)教材中的情境任務(wù)分析：以初中“圓的性質(zhì)”為例[J].上海教育科研，2020（1）：74-78，43.

[4]" 陶家友.關(guān)聯(lián)調(diào)用核心知識" "理性構(gòu)建基本圖形：一道尺規(guī)作圖題的解法探究賞析及教學(xué)價值導(dǎo)向[J].數(shù)學(xué)通報，2022，61（3）：41-46.

[5]" 趙思林，崔靜靜.中學(xué)數(shù)學(xué)建模的問題及其解決[J].教學(xué)與管理（中學(xué)版），2019（1）：45-47.

（責(zé)任編輯" " 黃春香）