“類周期”函數(shù)問題分類探討

［摘 要］文章結(jié)合典例和變式，分類探討“類周期”函數(shù)問題，旨在培養(yǎng)學(xué)生的類比分析能力和數(shù)形結(jié)合思想，同時發(fā)展學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］“類周期”；函數(shù)；類比；數(shù)形結(jié)合

［中圖分類號］" " G633.6" " " " " " " " ［文獻標(biāo)識碼］" " A" " " " " " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2025）02-0020-03

對于函數(shù)[f（x）]，若存在一個常數(shù)[T（T≠0）]，使[f（x+T）=f（x）]對定義域內(nèi)的任意[x]值都成立，則稱[f（x）]為周期函數(shù)，[T]為[f（x）]的周期。然而，在高中數(shù)學(xué)中，常會遇到一類與周期函數(shù)相似的函數(shù)，如[f（x）=g（x），x≤0，f（x-T），xgt;0，][f（x+T）=f（x）+m]，[f（x+T）=mf（x）]或[f（nx）=kf（x）]等，它們雖然不是周期函數(shù)，但它們的圖象也呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，我們稱之為“類周期”函數(shù)，[T]為[f（x）]的“類周期”。本文將對此類問題進行分類舉例探討。

一、單側(cè)周期型

單側(cè)周期型函數(shù)是指形如[f（x）=g（x），x≤a，f（x-T），xgt;a]或[f（x）=f（x-T），x≤a，g（x），xgt;a]的分段函數(shù)。它在定義域內(nèi)不是周期函數(shù)，但它的圖象在分界點的一側(cè)呈現(xiàn)周期性。

［例1］已知[f（x）=1-x2，-1≤x≤1，f（x-2），xgt;1，]若直線[y=knx]與[f（x）]有[2n]個交點[（n∈N*）]，則[k21+k22+…+k2n=]" " " " " " " " 。

解析：當(dāng)[-1≤x≤1]時，[y=f（x）=1-x2]，即[x2+y2=1]，[y≥0]；當(dāng)[xgt;1]時，[f（x）=f（x-2）]，函數(shù)周期為2，作出函數(shù)圖象（如圖1）。若直線[y=knx]與[f（x）]有[2n]個交點，根據(jù)圖象可知，直線[y=knx]與第[n+1]個半圓相切，其圓心為[On+1（2n，0）]，不妨設(shè)切點為[P]，連接[POn+1]，所以，在[Rt△OPOn+1]中，[tan∠POOn+1=POn+1OP=1（On+1O）2-12=kn]，[kn=1（2n）2-1=14n2-1]，故[k2n=14n2-1=1（2n-1）（2n+1）=1212n-1-12n+1]，所以[k21+k22+…+k2n=121-13+13-15+…+12n-1-12n+1=n2n+1]。故答案為[n2n+1]。

評析：本題屬于零點問題，數(shù)形結(jié)合是首選方法。本題涉及的函數(shù)正是單側(cè)周期型函數(shù)，利用這個特征可以很快地作出函數(shù)圖象，為問題的解決指明方向。

二、平移型

平移型函數(shù)的表達式滿足[f（x+T）=f（x）+m]，其圖象特征是后一個“類周期”的圖象在前一個“類周期”的基礎(chǔ)上向上（[mgt;0]）或向下（[mlt;0]）平移[m]個單位，函數(shù)值的特征是在前一個“類周期”的基礎(chǔ)上增加（[mgt;0]）或減少（[mlt;0]）[m]個單位。

［例2］（多選題）定義：若存在非零常數(shù)[k]，[T]，使得函數(shù)[f（x）]滿足[f（x+T）=f（x）+k]對定義域內(nèi)的任意實數(shù)[x]恒成立，則稱函數(shù)[f（x）]為“[k]距周期函數(shù)”，其中[T]稱為函數(shù)的“類周期”。則（" " " " ）。

A.一次函數(shù)均為“[k]距周期函數(shù)”

B.存在某些二次函數(shù)為“[k]距周期函數(shù)”

C.若“1距周期函數(shù)”[f（x）]的“類周期”為1，且[f（1）=1]，則[f（x）=x]

D.若[g（x）]是周期為2的函數(shù)，且函數(shù)[f（x）=x+g（x）]在[0，2]上的值域為[0，1]，則函數(shù)[f（x）=x+g（x）]在區(qū)間[2n，2n+2]上的值域為[2n，2n+1]

解析：對于選項A，設(shè)一次函數(shù)為[f（x）=ax+b]，則[f（x+T）=a（x+T）+b=ax+b+aT=f（x）+aT]，其中[k=aT]，選項A正確；對于選項B，設(shè)二次函數(shù)為[f（x）=ax2+bx+c（a≠0）]，[f（x+T）=a（x+T）2+b（x+T）+c=ax2+（2aT+b）x+aT2+bT+c]，若[f（x）]是“[k]距周期函數(shù)”，則[2aT=0]，則[T=0]，不滿足新定義，選項B錯誤；對于選項C，設(shè)[f（x）=x，x∈Q，x+2，x?Q，]則[f（x）]是“1距周期函數(shù)”，且“類周期”為1，[f（1）=1]，選項C錯誤；對于選項D，設(shè)[x∈2n，2n+2]，則[x-2n∈0，2]，即[g（x）=g（x-2n）]，則[f（x）=x+g（x）=（x-2n）+g（x-2n）+2n=f（x-2n）+2n∈2n，2n+1]，選項D正確。故選AD。

評析：本題屬于新定義型問題，解題的關(guān)鍵是理解新定義，并據(jù)此解決問題。新定義的實質(zhì)是[f（x+T）=f（x）+k]恒成立（[Tk≠0]），因此可轉(zhuǎn)化為恒等式進行分析。

三、縱向伸縮型

縱向伸縮型函數(shù)的表達式滿足“當(dāng)[x∈0，T]時，[f（x）=g（x）]；當(dāng)[xgt;T]或[x≤0]時，[f（x+T）=kf（x）]（[kgt;0]，[k≠1]）”。它的圖象規(guī)律是從左到右，后一個“類周期”圖象上的點的縱坐標(biāo)是前一個“類周期”圖象上的對應(yīng)點的縱坐標(biāo)的[k]倍。

［例3］函數(shù)[f（x）]的定義域為[R]，滿足[f（x）=2f（x-1）]，且當(dāng)[x∈0，1]時，[f（x）=x（1-x）]。若對任意[x∈-∞，m]，都有[f（x）≤1625]，則[m]的最大值是" " " " " " " " " "。

解析：因為[f（x）=2f（x-1）]，且當(dāng)[x∈0，1]時，[f（x）=-x-122+14]，[f（x）∈0，14]，當(dāng)[x∈k，k+1]，[k∈N?]時，[x-k∈0，1]，則[f（x）=2f（x-1）=22f（x-2）=???=2kf（x-k）]，[f（x）=2k（x-k）（1-x+k）=-2kx-2k+122+2k4∈0，2k-2]，當(dāng)[x∈] [-k，-k+1]，[k∈N?]時，[x+k∈0，1]，則[f（x）=2-1f（x+1）=2-2f（x+2）=…=2-kfx+k]，[f（x）=2-k（x+k）（1-x-k）=-2-kx+2k-122+12k+2∈][ 0，2-k-2]，作出函數(shù)[f（x）]的大致圖象（如圖2），對任意[x∈-∞，m]，都有[f（x）≤1625]，設(shè)[m]的最大值為[t]，則[f（t）=1625]，且[2lt;mlt;52]，所以[-22t-522+1=1625]，解得[t=115]或[t=145]（舍去），所以[m]的最大值為[115]。

評析：本題的解題關(guān)鍵是先根據(jù)給定條件分段求出解析式及對應(yīng)函數(shù)值的集合，然后依據(jù)函數(shù)特征（后一個周期的函數(shù)值是前一個周期函數(shù)值的兩倍）作出函數(shù)圖象，借助函數(shù)圖象的特點和變化規(guī)律求最值問題。

［變式］函數(shù)[f（x）]是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)[xgt;0]時，[f（x）=2x-1-1，0lt;x≤2，12f（x-2），xgt;2，]則函數(shù)[g（x）=xf（x）-1]在[-6，+∞]上的所有零點之和為" " " " "。

解析：[∵]函數(shù)[f（x）]是定義在[R]上的奇函數(shù)，[∴f（-x）=-f（x）]。又[∵]函數(shù)[g（x）=xf（x）-1]，[∴g（-x）=（-x）f（-x）-1=（-x）-f（x）-1=xf（x）-1=g（x）]，[∴]函數(shù)[g（x）]是偶函數(shù)，[∴]函數(shù)[g（x）]的零點都是以相反數(shù)的形式成對出現(xiàn)的，[∴]函數(shù)[g（x）]在[-6，6]上所有的零點的和為[0]，[∴]函數(shù)[g（x）]在[-6，+∞]上所有的零點的和即函數(shù)[g（x）]在[6，+∞]上所有的零點之和，即方程[f（x）=1x]在（6，+∞）上的所有實數(shù)解之和。當(dāng)[0lt;x≤2]時，[f（x）=2x-1-1]，故有[f（x）=21-x-1，0lt;x≤1，2x-1-1，1lt;x≤2，12f（x-2），xgt;2，] [∴]函數(shù)[f（x）]在[0，2]上的值域為[0，1]，當(dāng)且僅當(dāng)[x=2]時，[f（x）=1]。又[∵]當(dāng)[xgt;2]時，[f（x）=12f（x-2）]，如圖3所示，[∴]函數(shù)[f（x）]在[2，4]上的值域為[0，12]；函數(shù)[f（x）]在[4，6]上的值域為[0，14]；函數(shù)[f（x）]在[6，8]上的值域為[0，18]，當(dāng)且僅當(dāng)[x=8]時，[f（x）=18]，即方程[f（x）=1x]在[6，8]上有一個實數(shù)解[x=8]，即[g（x）=xf（x）-1]有一個零點[x=8]；函數(shù)[f（x）]在[8，10]上的值域為[0，116]，當(dāng)且僅當(dāng)[x=10]時，[f（x）=116lt;110]，故[f（x）lt;1x]在[8，10]上恒成立，[g（x）=xf（x）-1]在[8，10]上無零點，同理[g（x）=xf（x）-1]在[10，12]上無零點，以此類推，函數(shù)[g（x）]在（8，+∞）無零點。綜上，函數(shù)[g（x）=xf（x）-1]在[-6，+∞]上的所有零點之和為8。

評析：本題由已知條件可判斷函數(shù)[g（x）]為偶函數(shù)，其零點必然關(guān)于原點對稱，故[g（x）]在[-6，6]上所有零點的和為0。求解時，只需找出（6，+∞）上所有的零點之和即可得出答案，而作出“縱向縮短”型函數(shù)圖象對解題起到了關(guān)鍵作用。

四、全伸縮型

全伸縮型函數(shù)的表達式一般滿足“當(dāng)[x∈（1，T]]時，有[f（x）=g（x）]；當(dāng)[x∈I]時，[f（nx）=kf（x）]（[ngt;0]，[n≠1]，[kgt;0]，[k≠1]）”。它的圖象規(guī)律是從左到右“類周期”成以[n]為公比的等比數(shù)列變化，每個“類周期”內(nèi)的非零最值成以[k]為公比的等比數(shù)列變化。

［例4］（多選題）已知函數(shù)[f（x）=x-12，xlt;1，2fx2，x≥1，]則下列說法正確的是（" " " " ）。

A. [f（x）]為增函數(shù)

B.方程[f（x）=-x2+1]有兩個實根

C. [f（x）lt;x2]恒成立

D.當(dāng)[n∈N*]時，[f（2n）=2n-1]

解析：當(dāng)[1≤xlt;2]時，[x2∈12，1]，則[f（x）=2x-12=x-1]，當(dāng)[2≤xlt;4]時，[x2∈1，2]，[f（x）=212x-1=x-2]，…，可以作出[f（x）]的大致圖象（如圖4），則[f（x）]在定義域內(nèi)不是增函數(shù)，故選項A錯誤；利用函數(shù)圖象可得[y=f（x）]與[y=-x2+1]有兩個交點，故選項B正確；在圖象中作出[y=12x]，利用函數(shù)圖象可得[f（x）lt;x2]在整個定義域內(nèi)恒成立，故選項C正確；由[f（x）]的零點可知，當(dāng)[n∈N*]，[f（2n）=0]，故選項D錯誤。故選BC。

評析：本題的關(guān)鍵在于作出函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象分析此“類周期”函數(shù)的特性，再作出直線[y=12x]和[y=-x2+1]，利用函數(shù)圖象的性質(zhì)即可作出相關(guān)判斷。

［變式］定義在（0，+∞）上的函數(shù)[f（x）]滿足：對[?x∈（0，+∞）]，都有[f（2x）=2f（x）]，當(dāng)[x∈1，2]時，[f（x）=2-x]，給出如下結(jié)論，其中所有正確結(jié)論的序號是" " " " " "。①對[?m∈Z]，有[f（2m）=0]；②函數(shù)[f（x）]的值域為[0，+∞]；③存在[n∈Z]，使得[f（2n+1）=9]。

解析：因為[f（2m）=2f（2m-1）=…=2m-1f（2）=0]，所以①正確;因為當(dāng)[x∈1，2]時，[ f（x）=2-x∈0，1]，當(dāng)[x∈12，1]時，[f（x）=12（2-2x）∈0，12]，當(dāng)[x∈12k，12k-1]時，[f（x）=12k（2-2kx）∈0，12k]，當(dāng)[x∈2k-1，2k]時，[f（x）=2k-12-12k-1x∈0，2k-1]，因此當(dāng)[k→+∞]時，[2k-1→+∞]，[12k→0]，從而函數(shù)[f（x）]的值域為[0，+∞]，所以②正確;因為[9∈（23，24）]，所以由上可得[f（2n+1）=2k-12-2n+12k-1=9]，[k-1≥4]，即[2k-2n=10]，[2k-1-2n-1=5]，所以[2n-1=1]，[2k-1=6]無解，所以③錯誤。綜上，正確結(jié)論的序號是①②。

評析：本題屬于新定義型問題，解題步驟包括根據(jù)定義求[f（2m）]的值、求[f（x）]的值域、解方程[f（2n+1）=9]，并根據(jù)計算結(jié)果進行選擇。本題強調(diào)，合理利用有關(guān)性質(zhì)是解決新定義型問題的關(guān)鍵。解題時，要善于從題設(shè)條件中的數(shù)式發(fā)現(xiàn)可利用的性質(zhì)，并合理利用。

綜上，“類周期”函數(shù)的研究方法和周期函數(shù)相似。“類周期”函數(shù)問題注重考查學(xué)生的類比分析能力與數(shù)形結(jié)合思想，以及邏輯推理和數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，是一類值得關(guān)注的、區(qū)分度極強的常考題型。

（責(zé)任編輯" " 黃春香）