二次函數(shù)中與角度有關(guān)的問題探討

［摘 要］在二次函數(shù)問題中，常涉及特殊角度、倍角等，要求學(xué)生求解點的坐標(biāo)或者判斷其存在性。文章結(jié)合四個例題，對二次函數(shù)中與角度有關(guān)的四類問題進行分析探討，旨在為師生專題復(fù)習(xí)提供啟示。

［關(guān)鍵詞］二次函數(shù)；角度；問題

［中圖分類號］" " G633.6" " " " " " " " ［文獻標(biāo)識碼］" " A" " " " " " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2025）02-0017-03

在二次函數(shù)問題中，常涉及特殊角度、倍角等，要求學(xué)生求解點的坐標(biāo)或者判斷其存在性，解答時需充分利用幾何圖形關(guān)系、函數(shù)圖象的性質(zhì)，必要時還需分類討論，具有一定難度?；诖耍P者將二次函數(shù)中與角度相關(guān)的問題歸納為四種類型并進行分析探討，以期為師生專題復(fù)習(xí)提供啟示。

一、與60°角有關(guān)的問題

在解決二次函數(shù)中與60°角有關(guān)的問題時，可先將其轉(zhuǎn)化為垂直或平行問題，再利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解。

［例1］如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線[y=ax2+bx+9]與[x]軸交于點[A（-23，0）]，[B（63，0）]，與[y]軸交于點[C]。已知點[D]為[y]軸上一點，且[OD=3OA]。（1）求拋物線的表達式；（2）如圖2，將原拋物線沿[x]軸向左平移[43]個單位得到新拋物線[y′]，新拋物線[y′]交[x]軸于點[A′]，[B′]，點[N]為新拋物線[y′]的對稱軸與[x]軸的交點，點[G]為新拋物線[y′]上一動點，使得[∠GND+∠A′DN=60°]。請直接寫出所有滿足條件的點[G]的坐標(biāo)。

lt;G：＼2025-3月數(shù)據(jù)＼A 加急3-15＼中學(xué)教學(xué)參考·理科版202501 系統(tǒng)里沒有＼Z24.epsgt;lt;G：＼2025-3月數(shù)據(jù)＼A 加急3-15＼中學(xué)教學(xué)參考·理科版202501 系統(tǒng)里沒有＼Z25.epsgt;

圖1" " " " " " " " " " " " " " " " "圖2

解：（1）拋物線的表達式為[y=-14x2+3x+9]（過程略）。

（2）當(dāng)點[G]在[A′D]上方時，設(shè)[A'D]交[GN]于點[K]，如圖3，將拋物線[y=-14x2+3x+9=-14（x﹣23）2+12]沿[x]軸向左平移[43]個單位得到新拋物線[y′=-14（x+23）2+12]，∴新拋物線的對稱軸為直線[x=-23]，∴[N（-23，0）]。在[y′=-14（x+23）2+12]中，令[y'=0]得[0=-14（x+23）2+12]，解得[x=-63]或[x=23]，∴[A'（-63，0）]，∴[OA'=63]，∵[OD=3OA=6]，∴[A'D=OA'2+OD2=12]，∴[OD=12A'D]，∴[∠DA'O=30°]，∵[∠GND+∠A′DN=60°]，∴[∠A'KN=60°]，∴[∠A'NK=90°]，∴[GN⊥A'N]，∴點[G]為新拋物線[y′=-14（x+23）2+12]的頂點，∴點[G]的坐標(biāo)為（-2[3]，12）。當(dāng)點[G]在[A′D]下方時，如圖4，∵[A'（-63，0）]，[D（0，6）]，[N（-23，0）]，[DN=ON2+OD2=43]，∴[A'N=DN=43]，∴[∠DA'N=∠A'DN=30°]，∵[∠GND+∠A′DN=60°]，∴[∠GND=30°]，∴[∠GND=∠A'DN]，∴[A'D]∥[NG]，由[A'（-63，0）]，[D（0，6）]得直線[A'D]的表達式為[y=33x+6]，設(shè)直線[NG]的表達式為[y=33x+t]，將[N（-23，0）]代入得[0=-2+t]，解得[t=2]，∴直線[NG]的表達式為[y=33x+2]，聯(lián)立[y=33x+2，y=-14（x+23）2+12，]解得[x=-83+21113，y=-2+2373，]或[x=-83-21113，y=-2-2373]（在第三象限，舍去），∴[G-83+21113]，[-2+2373]。綜上所述，點[G]的坐標(biāo)為（[-23]，12）或[-83+21113，-2+2373]。

評析：本題以二次函數(shù)為背景，探究了兩個角的和為60°時，動點[G]的位置。分兩種情況進行討論：第一種情況，由兩個角的和為60°，推導(dǎo)出一個直角三角形，從而確定點[G]為拋物線的頂點；第二種情況，由兩個角的和為60°，得到一組平行線，通過解方程組求得直線與拋物線的交點[G]的坐標(biāo)。

二、與15°角有關(guān)的問題

在解決二次函數(shù)中與15°角有關(guān)的問題時，關(guān)鍵在于細致觀察圖形。要從函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)入手，識別出等腰直角三角形或者含30°角的直角三角形。

［例2］如圖5，已知頂點為C（0，-6）的拋物線[y=ax2+b]（[a≠0]）與[x]軸交于[A]，[B]兩點，且[OC=OB]。（1）求點[B]的坐標(biāo)；（2）求二次函數(shù)[y=ax2+b]（[a≠0]）的解析式；（3）作直線[CB]，問拋物線[y=ax2+b]（[a≠0]）上是否存在點[M]，使得[∠MCB=15°]。若存在，求出點[M]的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

解：（1）∵C（0，-6），∴[OC=6]，∵[OC=OB]，∴[OB=6]，∴點[B]的坐標(biāo)為（6，0）。

（2）∵拋物線[y=ax2+b]，[a≠0]，過點B（6，0），點C（0，-6），∴[b=-6，36a+b=0，]解得[a=16，b=-6，]∴二次函數(shù)的解析式為[y=16x2-6]。

（3）存在。如圖6，分以下兩種情況：①若點[M]在點[B]上方，設(shè)[M1C]交[x]軸于點[D]，∵[OC=OB]，∴[∠OCB=45°]，∵[∠M1CB=15°]，∴[∠OCD=30°]，∴[OD=OC·tan30°=6×33=23]，∴點[D]的坐標(biāo)為（2[3]，0）。設(shè)直線[DC]的方程為[y=k1x-6]，代入點[D（23，0）]，可得[k1=3]，∴直線[DC]的方程為[y=3x-6]，聯(lián)立兩個方程可得[y=3x-6，y=16x2-6，]解得[x1=0，y1=-6，]（舍去）[x2=63，y2=12，]∴[M1（63，12）]。②若點[M]在點[B]下方，設(shè)[M2C]交[x]軸于點[E]，∵[∠OBC=∠OEC+∠M2CB]，∴[∠OEC=45°-15°=30°]，∴[∠OCE=60°]，∴[OE=OC·tan60°=63]。設(shè)直線[EC]的方程為[y=k2x-6]，代入點[E]（6[3]，0）可得[k2=33]，∴直線[EC]的方程為[y=33x-6]，聯(lián)立兩個方程可得[y=33x-6，y=16x2-6，]解得[x1=0，y1=-6，]（舍去）[x2=23，y2=-4，]∴[M2（23，-4） ]。綜上所述，點[M]的坐標(biāo)為[（63，12）]或[（23，-4）]。

評析：本題以二次函數(shù)為背景，探究了與15°角有關(guān)的存在性問題。雖然15°角的三角函數(shù)值非常規(guī)數(shù)值，但通過與等腰直角三角形中的45°角相結(jié)合，就巧妙構(gòu)造出了兩個含30°角的直角三角形，而30°角的三角函數(shù)值則是學(xué)生熟知的。在最后一個問題中，求動點[M]的坐標(biāo)實際可以轉(zhuǎn)化為求兩個函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)，這一轉(zhuǎn)化使得問題迎刃而解。

三、與二倍角有關(guān)的問題

在解決二次函數(shù)中與二倍角有關(guān)的問題時，關(guān)鍵在于將二倍角轉(zhuǎn)化為等角，進而構(gòu)造出特殊的幾何圖形，如等腰三角形等。利用這些特殊圖形的性質(zhì)，便能有效解決問題。

［例3］拋物線[y=-14x2+bx+c]交[x]軸于[A]，[B]（[A]左[B]右）兩點，交[y]軸于點[C]且[OA=OB=OC]。（1）如圖7，求拋物線的表達式；（2）如圖8，[P]為第四象限拋物線上一點，連接[CP]，將線段[CP]沿著[y]軸翻折，得到線段[CQ]，連接[BQ]，設(shè)點[P]的橫坐標(biāo)為[m]，[△QBC]的面積為[S]，求[S]與[m]的函數(shù)關(guān)系式；（3）如圖9，在（2）的條件下，[E]是第一象限拋物線上的一點，[QH⊥x]軸交[PA]的延長線于點[M]，垂足是[H]，過點[E]作[EG]∥[y]軸交[x]軸于點[G]，交直線[MC]于點[F]，連接[FB]，[∠PMF=2∠BAP]，求點[P]的坐標(biāo)。

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圖7" " " " " " " " " " " " 圖8" " " " " " " " " " 圖9

解：（1）拋物線的表達式為[y=-14x2+4]（過程略）。

（2）點[P]在拋物線上，則[Pm，-14m2+4]，∵[P]，[Q]關(guān)于[y]軸對稱，∴[Q-m，-14m2+4]，如圖10，作[QH]垂直[x]軸于點[H]，∴[tan∠ABQ=14m2-44+m=tan∠OBD=OD4]，則[OD=m-4]，∵[OC=4]，∴[CD=m]，∴[S△BCQ=12CD·（OB+OH）=12m2+2m]。

（3）設(shè)[∠BAP=α]，如圖11，過點[P]作[PK]垂直[x]軸于點[K]，并延長與[MF]的延長線交于點[I]，連接[PQ]，則[∠APK=90°-α]，∵[∠PMF=2∠BAP=2α]，[∠I=180°-（90°-α）-2α=90°-α]，∴[∠I=∠APK]，∴[MI=MP]，由（2）知[CD=m]，∵[CD]∥[PI]，由軸對稱可知點[D]是[MP]的中點，∴[CD]是[△MPI]的中位線，∴[CD=12PI]，[PI=2m]，∴[IW=WP=m]，[tan∠WPM=2]，∵[Pm，-14m2+4]，∴[tan∠WPM=AKKP=m+414m2-4=2]，解得[m=6]或4（舍去），∴點P（6，-5）。

評析：本題以二次函數(shù)為背景，探究了二倍角時點[P]的坐標(biāo)問題。通過二倍角關(guān)系，構(gòu)造出等腰三角形[MPI]，由此獲得銳角的正切值，再根據(jù)銳角的正切值建立方程求得點[P]的坐標(biāo)。本題看似復(fù)雜，但是因為拋物線關(guān)于[y]軸對稱以及[CP]，[CQ]關(guān)于[y]軸對稱，所以圖形中出現(xiàn)了多個中點或等長線段，為解題提供了便利。

四、與三倍角有關(guān)的問題

在解決二次函數(shù)中與三倍角有關(guān)的問題時，可以構(gòu)造兩個等腰三角形。具體地，在一個角內(nèi)構(gòu)造兩個等腰三角形，使得較大等腰三角形的一個外角是最小角的三倍。

［例4］如圖12，已知拋物線[y=ax2+bx-3]（[a≠0]）與[x]軸交于[A]，[B]兩點（點[A]在點[B]的左邊），與[y]軸交于點[C]，頂點[D]的坐標(biāo)為（1，-4），連接[AD]。直線[y=-12x+c]經(jīng)過點[B]，且與[y]軸交于點[E]。（1）求拋物線的表達式及[c]的值；（2）點[F]為線段[BE]上一點，點[G]為線段[OB]上一點，連接[FG]，[FG]的延長線與線段[AD]交于點[H]，當(dāng)[∠EFG=3∠ABE]，且[GH=2FG]時，求點[F]的橫坐標(biāo)。

解：（1）拋物線的表達式為[y=（x-1）2-4=x2-2x-3]，[c=32]（過程略）。

（2）如圖13，在[BE]上選一點[F]，在[OB]上選一點[M]，使得[FM=MB]，則[∠FMG=2∠ABE]。在[OB]上點[M]的左側(cè)取一點[G]，使得[FG=FM]，則[∠EFG=∠FGM+∠ABE=∠FMG+∠ABE=3∠ABE]。移動點[F]，當(dāng)[GH=2FG]時，點[F]即為所求。過點[F]作[FP]垂直[x]軸于點[P]，過點[H]作[HQ]垂直[x]軸于點[Q]，則[GP=PM]，[△FPG ]∽[△HQG]?！郲FPHQ=GPGQ=FGHG=12]。設(shè)[Fm，-12m+32]，則[OP=m]，[FP=-12m+32]，∴[HQ=2FP=-m+3]，易得[PB=2FP]，∴[FM=BM=PB-PM=2FP-PM]。由勾股定理得[FP2+PM2=FM2]，即[FP2+PM2=（2FP-PM）2]，∴[PM=34FP=34-12m+32=-38m+98=GP]，∴[OG=OP-GP=m--83m+98=118m-98]，[GQ=2GP=-34m+94]，∴[OQ=GQ-OG=-178m+278]，∴[H178m-278，m-3]。易求得直線[AD]的表達式為[y=-2x-2]，將[H178m-278，m-3]代入，得[m-3=-2178m-278-2]，解得[m=3121]。故點[F]的橫坐標(biāo)為[3121]。

評析：本題以二次函數(shù)為背景，探究了三倍角時點[F]的橫坐標(biāo)求解問題。通過將三倍角轉(zhuǎn)化為兩個等腰三角形的幾何構(gòu)造，利用等腰三角形的性質(zhì)得出線段之間的數(shù)量關(guān)系；由線段之間的二倍關(guān)系推導(dǎo)出相似三角形的相似比，將問題轉(zhuǎn)化為用含[m]的代數(shù)式表示點[H]的坐標(biāo)，最后代入直線的表達式求得點[F]的坐標(biāo)。

綜上，在解決二次函數(shù)中與角度有關(guān)的問題時，要了解條件與結(jié)論之間的關(guān)聯(lián)，把握圖形之間的架構(gòu)及其背后隱藏的數(shù)學(xué)模型等。通過抽絲剝繭、步步深入地分析，掌握必要的解題技巧，形成嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度，培養(yǎng)靈活思維的能力。

（責(zé)任編輯" " 黃春香）