[摘 要]高中數(shù)學(xué)中,導(dǎo)函數(shù)多變量問題常見且復(fù)雜。這類問題不僅考查基礎(chǔ)知識(shí),還對(duì)學(xué)生的邏輯思維、問題分析和問題解決能力有較高要求。文章探討高中導(dǎo)函數(shù)多變量問題的解題策略,通過案例分析、方法總結(jié)及技巧提煉,幫助學(xué)生更好地應(yīng)對(duì)此類難題。
[關(guān)鍵詞]導(dǎo)函數(shù);多變量問題;解題策略
[中圖分類號(hào)]" " G633.6" " " " " " " " [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]" " A" " " " " " " " [文章編號(hào)]" " 1674-6058(2025)02-0013-04
導(dǎo)函數(shù)作為微積分的基礎(chǔ),在高中數(shù)學(xué)中具有舉足輕重的地位。多變量問題是導(dǎo)函數(shù)應(yīng)用的一大難點(diǎn),尤其在處理不等式、極值、最值等問題時(shí),學(xué)生常常感到無從下手。本文將從六個(gè)方面探討導(dǎo)函數(shù)多變量問題的解題策略,為學(xué)生提供有效的解題方法和思路。
一、利用韋達(dá)定理消元
韋達(dá)定理揭示了一元二次方程中根與系數(shù)之間的關(guān)系。利用韋達(dá)定理處理導(dǎo)函數(shù)多變量問題是一種巧妙的策略。當(dāng)問題涉及多個(gè)變量且滿足二次關(guān)系時(shí),可構(gòu)造一元二次方程,利用韋達(dá)定理將多變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題。關(guān)鍵在于識(shí)別可構(gòu)造的一元二次方程,并準(zhǔn)確應(yīng)用韋達(dá)定理。轉(zhuǎn)化后,問題大大簡(jiǎn)化,此時(shí)可利用一元二次方程根的性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)工具求解。
[例1]已知函數(shù)[f(x)=ax2-2x+lnx]([a≠0],[a∈R])。(1)討論函數(shù)[f(x)]的單調(diào)性;(2)若函數(shù)[f(x)]有兩個(gè)極值點(diǎn)[x1],[x2],求證:[f(x1)+f(x2)lt;-3]。
解析:(1)由題意得,函數(shù)[f(x)]的定義域是[(0,+∞)],[f '(x)=2ax-2+1x=2ax2-2x+1x],令[g(x)=2ax2-2x+1],[Δ=4-8a],接下來可對(duì)[a]進(jìn)行分類討論,研究函數(shù)的單調(diào)性(過程略)。
(2)由(1)得[0lt;alt;12]時(shí),函數(shù)[f(x)]有[2]個(gè)極值點(diǎn)[x1],[x2],且[x1+x2=1a],[x1x2=12a],所以[f(x1)+f(x2)=-lna+1a-(1+ln2)],令[h(a)=-lna+1a-(1+ln2)0lt;alt;12],則[h'(a)=-1a-1a2=1-aa2gt;0],所以[h(a)]在[0,12]上遞增,則[h(a)lt;h12=-ln12+2-(1+ln2)=-3],即[f(x1)+f(x2)lt;-3]。
評(píng)析:第一問含參變量,需要對(duì)其進(jìn)行分類討論;第二問基于第一問,進(jìn)一步縮小參變量的取值范圍。當(dāng)函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)時(shí),函數(shù)的極值點(diǎn)是其導(dǎo)函數(shù)變號(hào)的零點(diǎn)。利用韋達(dá)定理,建立極值點(diǎn)與參變量的關(guān)系,通過變形可將多變量化為單變量,從而得出目標(biāo)函數(shù)。
二、齊次化處理
齊次化是處理導(dǎo)函數(shù)多變量問題的有效策略。它通過代數(shù)變換,將多變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題,簡(jiǎn)化求解過程。具體步驟包括:(1)觀察與識(shí)別。觀察題目,識(shí)別出可通過代數(shù)變換形成齊次形式的項(xiàng)。(2)代數(shù)變換。利用已知條件進(jìn)行乘除、加減、換元等代數(shù)變換,使多變量表達(dá)式轉(zhuǎn)化為齊次形式。(3)引入新變量。為簡(jiǎn)化問題,可引入新變量(如令某兩個(gè)變量的比值為新變量),將多變量轉(zhuǎn)化為單變量或更簡(jiǎn)單的多變量形式。(4)利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)。齊次化后,利用鏈?zhǔn)椒▌t、乘積法則等,對(duì)新的單變量函數(shù)求導(dǎo),求解問題。(5)回代求解。如需求出原變量值,可將新變量或中間結(jié)果回代到原問題中求解。通過這些步驟,齊次化策略能有效地將復(fù)雜的多變量問題轉(zhuǎn)化為更易解決的問題。
[例2]已知函數(shù)[f(x)=xlnx-2ax2+x],[a∈R]。(1)若[f(x)]在([0,+∞)]內(nèi)單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)[a]的取值范圍;(2)若函數(shù)[f(x)]有兩個(gè)極值點(diǎn)[x1],[x2],證明:[x1+x2gt;12a]。
解析:(1)令[f '(x)≤0]在[x∈(0,+∞)]上恒成立,分離參數(shù)得出[4a≥lnx+2x],利用函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)[g(x)=lnx+2x]的最大值即可得出[a]的取值范圍。
(2)因?yàn)閇f(x)]有兩個(gè)極值點(diǎn),所以[f '(x)=lnx+2-4ax=0]在[(0,+∞)]上有兩個(gè)解,即[4a=lnx+2x]有兩個(gè)解,由(1)可知[0lt;alt;e4]。由[lnx1-4ax1+2=0],[lnx2-4ax2+2=0],可得[lnx1-lnx2=4a(x1-x2)],不妨設(shè)[0lt;x1lt;x2],要證明[x1+x2gt;12a],只需證明[x1+x24a(x1-x2)lt;12a(lnx1-lnx2)],即證明[2(x1-x2)x1+x2gt;lnx1-lnx2],即證明[2x1x2-1x1x2+1gt;lnx1x2],令[h(x)=2(x-1)x+1-lnx(0lt;x≤1)],則[h'(x)=-(x-1)2x(x+1)2≤0],故[h(x)]在[0,1]上單調(diào)遞減,所以當(dāng)[x∈0,1]時(shí),[h(x)gt;h(1)=0],即[2(x-1)x+1gt;lnx]在[0,1]上恒成立,故不等式[2x1x2-1x1x2+1gt;lnx1x2]恒成立。綜上,[x1+x2gt;12a]。
三、利用放縮法
在導(dǎo)函數(shù)多變量問題中,放縮法是一種有效簡(jiǎn)化復(fù)雜問題的策略。它通過放縮不等式,將多變量表達(dá)式轉(zhuǎn)化為易處理的單變量表達(dá)式。具體過程為:首先,識(shí)別影響問題復(fù)雜度的關(guān)鍵變量或表達(dá)式;然后,利用不等式性質(zhì)或函數(shù)單調(diào)性,對(duì)原表達(dá)式進(jìn)行放大或縮小,使處理后的表達(dá)式僅關(guān)于一個(gè)變量。在這一過程中,需要巧妙選擇放縮的“度”,既要保證放縮后的表達(dá)式易處理,又要不改變?cè)瓎栴}的核心性質(zhì)。
[例3]已知函數(shù)[f(x)=xlnx-x]。若[f(x)=b]有兩個(gè)實(shí)數(shù)根[x1],[x2],且[x1lt;x2]。求證:[be+elt;x2-x1lt;2b+e+1e]。
解析:[f(x)]的定義域?yàn)椋?,+∞),[f'(x)=lnx]。令[f'(x)gt;0],得[xgt;1];令[f'(x)lt;0],得[0lt;xlt;1],所以[f(x)]在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(0,1)上單調(diào)遞減。因?yàn)閇f(x)=b]有兩個(gè)實(shí)數(shù)根[x1],[x2],且[x1lt;x2],所以[0lt;x1lt;1lt;x2]。
先證不等式[x2-x1lt;2b+e+1e]。因?yàn)閇f(e)=0],[f1e=-2e],[f'(e)=1],[f'1e=-1],所以曲線[y=f(x)]在[x1=1e]和[x2=e]處的切線分別為[l1]:[y=-x-1e]和[l2]:[y=x-e],如圖1所示。
lt;G:\2025-3月數(shù)據(jù)\A 加急3-15\中學(xué)教學(xué)參考·理科版202501 系統(tǒng)里沒有\Z14.epsgt;[x][l2][l1]
圖1
令[g(x)=f(x)--x-1e=xlnx+1e],[0lt;xlt;1],則[g'(x)=1+lnx]。令[g'(x)gt;0],則[1elt;xlt;1],令[g'(x)lt;0],則[0lt;xlt;1e],所以[g(x)]在[0,1e]上單調(diào)遞減,在[1e,1]上單調(diào)遞增,所以[g(x)≥g1e=0],所以[f(x)≥-x-1e]在(0,1)上恒成立。設(shè)直線[y=b]與直線[l1]交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為[x′1],則[x′1≤x1];設(shè)直線[y=b]與直線[l2]交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為[x′2],同理可證[x2≤x′2]。因?yàn)閇x′1=-b-1e],[x′2=b+e],所以[x2-x1lt;x′2-x′1=b+e--b-1e=2b+e+1e](兩個(gè)等號(hào)不同時(shí)成立),因此[x2-x1lt;2b+e+1e]。
再證不等式[x2-x1gt;be+e]。函數(shù)圖象[f(x)]上有兩點(diǎn)A(1,-1),B(e,0),設(shè)直線[y=b]與直線[OA]:[y=-x],直線[AB]:[y=1e-1(x-e)]的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為[x3],[x4],易證[x1lt;x3lt;x4lt;x2],且[x3=-b],[x4=(e-1)b+e],所以[x2-x1gt;x4-x3=(e-1)b+e-(-b)=be+e]。綜上,[be+elt;x2-x1lt;2b+e+1e]成立。
評(píng)析:本題涉及含有兩個(gè)零點(diǎn)的[f(x)]的解析式(可能含有參數(shù)[x1],[x2]),已知方程[f(x)=b]有兩個(gè)實(shí)根,要證明這兩個(gè)實(shí)根之差小于(或大于)某個(gè)表達(dá)式。求解策略:首先,畫出[f(x)]的圖象,并求出[f(x)]在兩個(gè)零點(diǎn)處(或曲線上的某兩點(diǎn))的切線方程(或找過曲線上某兩點(diǎn)的直線);然后,嚴(yán)格證明曲線[f(x)]在切線(或所找直線)的上方或下方;最后,對(duì)[x1],[x2]進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆糯蠡蛘呖s小,以精確證明所需結(jié)論。
四、利用主元法
主元法的核心在于選定或引入一個(gè)變量作為“主元”進(jìn)行主要研究,而將其他變量視為參數(shù)或常量。求解時(shí),可利用導(dǎo)數(shù)工具對(duì)主元求導(dǎo)、分析單調(diào)性、求極值等,得到主元的解。這種策略關(guān)鍵在于合理選擇主元,并靈活處理其他變量與主元的關(guān)系。
(一)確定主元
[例4]已知函數(shù)[f(x)=a(x-1)-lnx+1]。(1)求[f(x)]的單調(diào)區(qū)間;([2)]當(dāng)[a≤2]時(shí),證明:當(dāng)[xgt;1]時(shí),[f(x)lt;ex-1]恒成立。
解析:(1)對(duì)函數(shù)直接求導(dǎo),分[a≤0]和[agt;0]兩種情況討論,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)[a≤2],且[xgt;1]時(shí),[ex-1-f(x)=ex-1-a(x-1)+lnx-1≥ex-1-2x+1+lnx],令[g(x)=ex-1-2x+1+lnx(xgt;1)],下證[g(x)gt;0]即可。[g'(x)=ex-1-2+1x],再令[h(x)=g'(x)],則[h'(x)=ex-1-1x2],顯然[h'(x)]在[(1,+∞)]上遞增,則[h'(x)gt;] [h'(1)=e0-1=0],即[g'(x)=h(x)]在[(1,+∞)]上遞增,故[g'(x)gt;g'(1)=e0-2+1=0],即[g(x)]在[(1,+∞)]上單調(diào)遞增,故[g(x)gt;g(1)=e0-2+1+ln1=0],問題得證。
(二)引入新主元
[例5]設(shè)函數(shù)[f(x)=(x+a)ln(x+b)],若[f(x)≥0]恒成立,則[a2]+[b2]的最小值為" " " " " " " " 。
解析:引入新主元[t],并令[t=x+b],則原式可變?yōu)閇F(t)=(t+a-b)lnt][(tgt;0)],[F(t)≥0=F(1)],所以最小值落在了極值點(diǎn)處,則只需[F(1)=0],得出[1+a-b=0],所以[a2+b2=a2+(1+a)2=2a2+2a+1≥12],[a2+b2]的最小值為[12]。這樣就把多元問題最終化為一元問題。
五、利用單調(diào)性分析法
在解決導(dǎo)函數(shù)多變量復(fù)雜問題時(shí),利用單調(diào)性分析法將其轉(zhuǎn)化為單變量問題,是一種直觀有效的策略。這種策略的核心在于通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,簡(jiǎn)化求解過程。其基礎(chǔ)步驟為:首先,明確多變量函數(shù)及其定義域。然后,選取一個(gè)變量作為“主變量”,其余變量視為參數(shù)或常量。最后,對(duì)函數(shù)關(guān)于主變量求導(dǎo),分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化,確定函數(shù)的單調(diào)性。這樣處理,求解過程更加清晰。
[例6]已知函數(shù)[f(x)=13ax3-4x(a∈R)]。([1)]討論函數(shù)[f(x)]的單調(diào)性;([2)]若[a=1],[?x1],[x2∈1,2]且[x1≠x2],都有[f(x1)-f(x2)lt;mlnx1-lnx2]成立,求實(shí)數(shù)[m]的取值范圍。
解析:(1)對(duì)函數(shù)[f(x)]求導(dǎo),討論[a]的取值范圍,得出單調(diào)性。
[(2)]當(dāng)[a=1]時(shí),[f(x)=13x3-4x],由(1)可知[f(x)]在[1,2]上單調(diào)遞減,不妨設(shè)[1≤x1lt;x2≤2],則原式轉(zhuǎn)化為[f(x1)+mlnx1lt;f(x2)+mlnx2]對(duì)任意的[x1,x2∈1,2]成立,則[g(x)=f(x)+mlnx]在[1,2]單調(diào)遞增,[g′(x)=f ′(x)+mx=x2-4+mx≥0],則[m≥-x3+4x]對(duì)[x∈1,2]恒成立,令[h(x)=-x3+4x],求出[h(x)]的最大值,即可得出結(jié)果。
六、對(duì)稱化構(gòu)造函數(shù)
在解決極值點(diǎn)或拐點(diǎn)偏移問題時(shí),對(duì)稱化構(gòu)造函數(shù)能夠直觀展現(xiàn)偏移規(guī)律,將復(fù)雜的雙變量問題轉(zhuǎn)化為易于處理的單變量問題。通過構(gòu)造函數(shù)并對(duì)其求導(dǎo),分析其在特定區(qū)間的單調(diào)性,可得出偏移的結(jié)論,彰顯該策略的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)。
[例7]已知函數(shù)[f(x)=xe2-x]。(1)求[f(x)]的極值;(2)若[agt;1],[bgt;1],[a≠b],[f(a)+f(b)=4],證明:[a+blt;4]。
解析:(1)因?yàn)閇f(x)=xe2-x],所以[f'(x)=(1-x)e2-x],由[f'(x)gt;0],解得[xlt;1];由[f'(x)lt;0],解得[xgt;1],所以[f(x)]在(-∞,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,又[f(1)=e],所以[f(x)]在[x=1]處取得極大值e,無極小值。
(2)由(1)可知,[f(x)]在(1,+∞)上單調(diào)遞減,[f(2)=2],且[agt;1],[bgt;1],[a≠b],[f(a)+f(b)=4],不妨設(shè)[1lt;alt;2lt;b],要證[a+blt;4],只需證[blt;4-a],而[bgt;2],[2lt;4-alt;3],且[f(x)]在(1,+∞)單調(diào)遞減,所以只需證[f(b)gt;f(4-a)],即證[4-f(a)gt;f(4-a)],即證[f(a)+f(4-a)lt;4],即證當(dāng)[1lt;xlt;2]時(shí),[f(x)+f(4-x)lt;4],令[F(x)=f(x)+f(4-x)],[1lt;xlt;2],則[F′(x)=f ′(x)-f ′(4-x)=(1-x)e2-x-ex-2(x-3)],令[h(x)=(1-x)e2-x-ex-2(x-3)],[1lt;xlt;2],則[h'(x)=e2-x(x-2)-ex-2(x-2)=(x-2)(e2-x-ex-2)],因?yàn)閇1lt;xlt;2],所以[x-2lt;0],[e2-x-ex-2gt;0],所以[h'(x)lt;0],即[h(x)]在(1,2)上單調(diào)遞減,則[h(x)gt;h(2)=0],即[F'(x)gt;0],所以[F(x)]在(1,2)上單調(diào)遞增,所以[F(x)lt;F(2)=2f(2)=4],即當(dāng)[1lt;xlt;2]時(shí), [f(x)+f(4-x)lt;4],所以原命題成立。
一般地,對(duì)稱化構(gòu)造函數(shù)常有下列兩種情形:(1)對(duì)結(jié)論[x1+x2gt;2x0]的類型,構(gòu)造函數(shù)[F(x)=f(x)-f(2x0-x)];(2)對(duì)結(jié)論[x1x2gt;x20]的類型,構(gòu)造函數(shù)[F(x)=f(x)-f x20x],通過求導(dǎo)研究[F(x)]的單調(diào)性獲得不等式。
導(dǎo)函數(shù)多變量問題是高中數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)和重點(diǎn)。在處理這類問題時(shí),韋達(dá)定理消元、齊次化處理、放縮法、主元法及單調(diào)性分析法、對(duì)稱化構(gòu)造函數(shù)等方法各有優(yōu)勢(shì)、相互補(bǔ)充,共同構(gòu)成了解決導(dǎo)函數(shù)多變量問題的有效工具庫。掌握并靈活運(yùn)用這些方法,能實(shí)現(xiàn)多變量到單變量的有效轉(zhuǎn)化,顯著提升學(xué)生解決復(fù)雜導(dǎo)函數(shù)問題的能力。同時(shí),這些方法不僅適用于導(dǎo)函數(shù)多變量問題,還可以推廣到其他數(shù)學(xué)問題,幫助學(xué)生提升解題能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
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