試觸法判斷電流表內(nèi)外接的物理依據(jù)

摘" "要：待測(cè)電阻未知時(shí)，試觸法是判斷電流表采用內(nèi)接或外接的重要方法，通過比較電壓相對(duì)變化量和電流相對(duì)變化量的大小判斷電流表采用內(nèi)接或外接。利用比較內(nèi)接法和外接法的相對(duì)誤差為這一判斷方法找到理論依據(jù)，論證了電壓相對(duì)變化量大于電流相對(duì)變化量等價(jià)于外接相對(duì)誤差小于內(nèi)接相對(duì)誤差。

關(guān)鍵詞：試觸法；內(nèi)接法；外接法；相對(duì)誤差；電表內(nèi)阻

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A " " 文章編號(hào)：1003-6148（2025）1-0075-3

伏安法是測(cè)量電阻的重要方法，由于電壓表和電流表均有內(nèi)阻，測(cè)量值不等于電阻的真實(shí)值，測(cè)量存在誤差。電流表有內(nèi)接和外接兩種方式，電流表的接法是電學(xué)實(shí)驗(yàn)的重點(diǎn)考查內(nèi)容。當(dāng)待測(cè)阻值未知時(shí)，常采用試觸法決定電流表的連接方式。各種教輔資料對(duì)試觸法均有詳細(xì)的解釋，但缺少對(duì)試觸法可行性的定量分析。以下從比較相對(duì)誤差的角度說明試觸法的物理原理，為試觸法的使用找尋物理依據(jù)。

1" " 判斷內(nèi)、外接的方法

電壓表內(nèi)阻為RV，電流表內(nèi)阻為RA，待測(cè)電阻阻值為Rx。若知道待測(cè)電阻Rx的估計(jì)值，Rxgt;，使用電流表內(nèi)接法；Rxlt;，使用電流表外接法。比較電流表內(nèi)接和外接的相對(duì)誤差大小，并應(yīng)用RAlt;lt;RV（對(duì)于磁電式電表，該條件成立），可以得到上述判斷公式［1-2］。

若待測(cè)電阻估計(jì)值未知，采用試觸法選擇電流表的連接方式，如圖 1所示。將電壓表一端的導(dǎo)線空出，接在a點(diǎn)時(shí)，電壓表示數(shù)為U1，電流表示數(shù)為I1；接在b點(diǎn)時(shí)，電壓表示數(shù)為U2，電流表示數(shù)為I2。電壓表示數(shù)變化明顯，選擇外接法；電流表示數(shù)變化明顯，選擇內(nèi)接法。電壓表示數(shù)變化明顯，即電流表的分壓作用明顯，表明電流表內(nèi)阻RA較大，因此選擇外接法。電流表示數(shù)變化明顯，即電壓表的分流作用顯著，表明電壓表內(nèi)阻不是足夠大，故選擇內(nèi)接法［3］。如何判斷哪一個(gè)電表的示數(shù)變化更顯著？比較電壓和電流的相對(duì)變化，即比較和。若gt;，采用外接法；若lt;，采用內(nèi)接法［4］。比較電表示數(shù)的相對(duì)變化定量解決了變化顯著的問題，但需要注意分母中的U和I是內(nèi)接還是外接時(shí)的電壓值和電流值。文獻(xiàn)［5］從內(nèi)外接絕對(duì)誤差相等推理得到R=R（R+R），讓gt;且分母中的U和I取內(nèi)接時(shí)的電壓值和電流值，也推理得到R=R（R+R）。但如果分母取的是外接時(shí)的電壓值和電流值，無法得到R=R（R+R），認(rèn)為分母應(yīng)取內(nèi)接時(shí)的電壓值和電流值［5］。

筆者認(rèn)為，計(jì)算電壓和電流的相對(duì)變化量時(shí)，分母取內(nèi)接對(duì)應(yīng)的電壓值和電流值或者取外接對(duì)應(yīng)的電壓值和電流值均可。取不同的電壓值和電流值，電壓或電流的相對(duì)變化量數(shù)值略有差異，但電壓相對(duì)變化量和電流相對(duì)變化量的大小關(guān)系是相同的，對(duì)于判斷電流表采用哪種接法沒有影響。下文通過具體計(jì)算論證這一點(diǎn)。

2" " 試觸法的物理依據(jù)

上述對(duì)比較相對(duì)變化量判斷電流表的內(nèi)外接的解釋是一種定性分析的方法，定性分析不如定量分析嚴(yán)謹(jǐn)、深入。電流表采用內(nèi)接法或外接法的判斷依據(jù)是：哪種接法測(cè)量值更接近真實(shí)值，即相對(duì)誤差越小，就應(yīng)選擇對(duì)應(yīng)的連接方式。若從gt;能證明外接的相對(duì)誤差δ小于內(nèi)接的相對(duì)誤差δ，就選用外接法。接下來，推理論證上述判斷的正確性。

電流表內(nèi)接時(shí)的電阻測(cè)量值R=R+R，內(nèi)接的相對(duì)誤差為δ==。電流表外接時(shí)的電阻測(cè)量值R=，外接的相對(duì)誤差為δ==。由δlt;δ得到

R-RR-RRlt;0（1）

不等式的解為

0lt;Rlt;≈（2）

最后的約等于號(hào)用到近似條件RAlt;lt;RV，忽略根號(hào)外面的RA和根號(hào)里的R。只要（1）式成立，可以逆向推理得到δlt;δ，即δlt;δ??" "R-RR-RRlt;0，應(yīng)選擇電流表外接法。

下面證明從gt;可以得到（1）式。

參見圖 1電路，將電路接在輸出電壓為U的恒壓源上。電流表內(nèi)接時(shí)，電壓表示數(shù)為U1=U，電流表示數(shù)為I1，U1=I1（R+R）。電流表外接時(shí)，電壓表示數(shù)為U2，電流表示數(shù)為I2。由串、并聯(lián)規(guī)律，有U=U=U和=。

電壓滿足U1gt;U2，電流滿足I1lt;I2。

電壓相對(duì)變化量==1-，電流相對(duì)變化量==-1。利用I=和=，得=·

電流相對(duì)變化量為=-1=·-1（3）

由gt;，將=1-和（3）式代入，化簡(jiǎn)得+·lt;2（4）

利用U=U和U=U，得=，代入（4）式，得+=

gt;，即從電壓相對(duì)變化量大于電流相對(duì)變化量可以推理得到外接時(shí)電阻的相對(duì)誤差小于內(nèi)接時(shí)的相對(duì)誤差。

上述計(jì)算中和的分母U和I取的是內(nèi)接時(shí)的電壓值和電流值。如果取外接時(shí)的電壓值和電流值，將得到相同的結(jié)果，計(jì)算如下。

（6）式左邊是關(guān)于R的一元三次方程，利用一元三次方程的求根公式判斷出有三個(gè)實(shí)根，并且為兩個(gè)負(fù)根，一個(gè)正根。通過一個(gè)具體實(shí)例說明，取RA=0.1 Ω，RV=160 Ω，用幾何畫板繪制關(guān)于Rx的一元三次函數(shù)圖像，如圖2所示。

圖 2中的A、B和C為三個(gè)零點(diǎn)，可以看出xBlt;0，xClt;0，xAgt;0。保持RA值不變，增大RV，發(fā)現(xiàn)C點(diǎn)向左移動(dòng)，A點(diǎn)向右移動(dòng)。利用幾何畫板的度量功能得到xA=4.15，即0lt;Rxlt;4.15 Ω時(shí)，（6）式成立，gt;成立。取RA=0.1 Ω，RV=160 Ω，計(jì)算得=4.05 Ωlt;4.15 Ω，二者很接近。將和中的U和I取為電流表內(nèi)接時(shí)的電壓值和電流值，根據(jù)gt;求解得到的Rx一定滿足gt;。無論分母取內(nèi)接時(shí)的電壓值和電流值或者取外接時(shí)的電壓值和電流值，和的大小關(guān)系是相同的。

對(duì)不等式（6）左邊方程做近似處理。利用RAlt;lt;RV，可以認(rèn)為RV-RA≈RV，R+2RR≈2RR，2RR+RR≈RR。每一項(xiàng)除以RV，（6）式變?yōu)?/p>

R-2RR-RRRx-RRlt;0（7）

RRV是RA的二階小量，忽略不計(jì)，約去一個(gè)Rx，得到

R-2RRx-RRlt;0（8）

（8）式的解為

0lt;Rxlt;R+≈（9）

（9）式最后的約等于號(hào)利用了RAlt;lt;RV，R+≈。由gt;和gt;求解得到的Rx的取值范圍近似是相同的。因此，在計(jì)算電壓相對(duì)變化量和電流相對(duì)變化量時(shí)，分母取內(nèi)接或外接時(shí)的電壓值和電流值均可。

3" " 結(jié)" 論

從比較內(nèi)外接相對(duì)誤差的角度定量分析試觸法判斷電流表內(nèi)外接的物理依據(jù)，證明了電壓相對(duì)變化量大于電流相對(duì)變化量等價(jià)于外接的相對(duì)誤差小于內(nèi)接的相對(duì)誤差。在計(jì)算電壓相對(duì)變化量和電流相對(duì)變化量時(shí)，分母取內(nèi)接或外接對(duì)應(yīng)的電壓值和電流值均可，判斷出的電流表連接方式相同。

參考文獻(xiàn)：

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［3］陳清梅，邢紅軍，朱南.也談伏安法測(cè)電阻時(shí)電流表內(nèi)、外接法的判定條件［J］.大學(xué)物理，2007，26（8）：42-43.

［4］何崇榮.用試觸法判斷電流表內(nèi)接和外接的依據(jù)［J］.中學(xué)物理，2011，29（13）：34-36.

［5］譚一偉.電流表內(nèi)接還是外接——“試觸法”釋疑［J］.物理通報(bào)，2015（8）：38-39.

（欄目編輯" " 蔣小平）