高中物理近似運算中的困惑與解決策略

摘" "要：由于高中生對近似運算相關(guān)知識的缺失和混沌現(xiàn)象的存在，使其對高中物理教科書中的近似運算過程產(chǎn)生困惑。給出了結(jié)合高中數(shù)學(xué)知識先推導(dǎo)精確結(jié)果再進(jìn)行近似運算的解決策略，建議教科書編寫與教學(xué)設(shè)計要切合學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與認(rèn)知能力。

關(guān)鍵詞：高中物理；近似運算；雙縫干涉；條紋間距公式

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A " " 文章編號：1003-6148（2025）1-0072-3

1" " 高中物理近似運算中的困惑

現(xiàn)行人教版高中物理教科書中有不少問題涉及近似運算，但近似運算只停留在告訴學(xué)生可以那樣運算，卻沒有很好地提供可以那樣運算的理由，這就形成了典型的灌輸式教學(xué)。學(xué)生憑借死記硬背來掌握相關(guān)知識點，無疑在增加學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)的同時也使學(xué)生失去了學(xué)習(xí)的興趣。加上高中物理教師對近似運算知識的缺乏，不能給學(xué)生足夠的指導(dǎo)，近似運算在學(xué)生心中變得神秘莫測，產(chǎn)生了諸如“反正書上是這樣寫的，這樣寫就是對的”等主動放棄批判性思維的認(rèn)識，“小了就都近似相等了（比如當(dāng)θ角很小時，有θ=sinθ=tanθ）”等錯誤認(rèn)識。此外，很多學(xué)生都了解作為一種混沌現(xiàn)象的蝴蝶效應(yīng)——一只南美洲的蝴蝶扇動翅膀，結(jié)果可能引發(fā)美國德克薩斯州的一場龍卷風(fēng)。20世紀(jì)60年代初，美國氣象學(xué)家洛倫茲將僅僅相差0.0001的兩個初始條件輸入一個數(shù)學(xué)方程，計算得出的兩條曲線不久就分道揚鑣、南轅北轍，真是“差之毫厘，謬以千里”［1］。這就進(jìn)一步加劇了近似運算對學(xué)生的神秘感。因為高中物理教科書上的近似運算從一開始便采用近似處理，這些近似處理會不會像洛倫茲所面對的問題一樣在計算的過程中產(chǎn)生“混沌現(xiàn)象”使結(jié)果嚴(yán)重偏離真實值呢？學(xué)生對此毫不知情。綜上，有兩個原因使學(xué)生在學(xué)習(xí)近似運算相關(guān)的問題時遇到巨大的困難，以至于產(chǎn)生不良的學(xué)習(xí)效果，挫傷學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心，阻礙核心素養(yǎng)的發(fā)展：

（1）近似運算相關(guān)知識的缺失；

（2）混沌現(xiàn)象的存在（微小的初值差別，使結(jié)果差異巨大）。

下面以雙縫干涉條紋間距公式的推導(dǎo)為例，進(jìn)行具體說明。人教版高中物理教科書中的推導(dǎo)如下：如圖1所示，在線段P1S2上作P1M=P1S1，由于兩縫之間的距離d遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于縫到屏幕的距離l，所以能夠認(rèn)為三角形S1S2M是直角三角形。根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系，有r2-r1=dsinθ，另一方面x=ltanθ≈lsinθ，消去sinθ，有r2-r1=d。當(dāng)r2-r1=nλ時，出現(xiàn)亮條紋，因此亮紋中心的位置為x=nλ。相鄰兩條亮條紋或暗條紋的中心間距是Δx=λ。

教科書中的證明初看并不復(fù)雜，但高中生卻不容易理解。一是為什么在θ很小的情況下，用弧度制表示的θ與sinθ、tanθ近似相等；二是為什么兩縫之間的距離d遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于縫到屏幕的距離l，就可以認(rèn)為三角形S1S2M是直角三角形［2］；三是開始運算時物理量的近似會不會導(dǎo)致最后結(jié)果偏差較大。很明顯，前兩點是由于近似運算知識的缺失而帶來的疑惑，第三點是由于混沌現(xiàn)象而帶來的疑惑。但是，近似運算知識需要運用高等數(shù)學(xué)進(jìn)行解釋，高中生不具備這個知識基礎(chǔ)，因而無法理解近似運算知識，對混沌現(xiàn)象也只是了解其大概。至于在推導(dǎo)中會不會對結(jié)果產(chǎn)生大幅度的影響，學(xué)生也無從得知?？梢?，教科書中公式的推導(dǎo)方法遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了學(xué)生的認(rèn)知，高中階段的學(xué)生不能把握，更不能很好地理解和運用，需要探求新的方法。

2" " 高中物理近似運算的解決策略

為了解決學(xué)生近似運算知識不足的問題，可以使用高中數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推導(dǎo)。為了避免混沌現(xiàn)象的出現(xiàn)，可以先進(jìn)行精確的推導(dǎo)，最后再進(jìn)行近似（如果有必要的話），避免在推導(dǎo)開始的時候就進(jìn)行近似?？傊x擇的推導(dǎo)方式應(yīng)該符合學(xué)生的知識基礎(chǔ)和認(rèn)知能力，使學(xué)生真正理解推導(dǎo)的過程，做到舉一反三、靈活運用，進(jìn)而提升分析問題和解決問題的能力，最終實現(xiàn)物理學(xué)科核心素養(yǎng)的提升。

為了推導(dǎo)雙縫干涉條紋間距公式，可以在圖1中建立平面直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)系的原點置于圖中的O點，x軸與S1S2重合，y軸與OP0重合（圖中未畫出）。容易得到，兩縫S1、S2距離之差等于nλ的點的軌跡是一對雙曲線。雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是-=1。相當(dāng)于標(biāo)準(zhǔn)方程中的a，相當(dāng)于半焦距c，標(biāo)準(zhǔn)方程中的b2=c2-a2=（）2-（）2，代入雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得

上式是精確的x的表達(dá)式，但比較復(fù)雜，物理學(xué)中常用抓住主要因素、忽略次要因素的方法對復(fù)雜的結(jié)果進(jìn)行簡化，在不失科學(xué)性的同時得到簡單的物理規(guī)律。通過分析精確表達(dá)式中各個物理量的數(shù)量級，可以有效把握近似計算過程中產(chǎn)生的誤差是否為次要的、可忽略的。學(xué)生也可以在這個過程中明確何謂“次要”，何謂“主要”，哪些可以忽略，哪些不可以忽略。這樣做可以增加學(xué)生對具體數(shù)字的敏感度，在數(shù)字的意義上明確“抓住主要，忽略次要”的意義，從根本上提升學(xué)生的認(rèn)知。

d的數(shù)量級為10-4 m，λ的數(shù)量級為10-7 m，故d2-n2λ2≈d2，x的表達(dá)式簡化為

x=nλ

上式中l(wèi)的數(shù)量級為100 m，d的數(shù)量級為 10-4 m。故≈104，+≈，x的表達(dá)式簡化為

x=nλ=nλ

當(dāng)上式中的n分別取0、1、2、3時，代表x處到雙縫的距離之差從0到λ、2λ、3λ…不同的x值構(gòu)成一個等差數(shù)列，公差為λ，這說明：

（1）條紋是等間距的；

（2）相鄰兩明或暗條紋的間距為λ。

至此，找到了條紋間距公式Δx=λ。雙縫干涉實驗中亮條紋或暗條紋等間距的事實是對該公式正確性的一種肯定。

3" " 啟" 示

利用高中數(shù)學(xué)，先將精確公式推導(dǎo)出來，再對結(jié)果進(jìn)行近似的方法，避免了近似運算相關(guān)知識的缺失和混沌現(xiàn)象的存在而給學(xué)生帶來的困惑。高中物理教科書中除條紋間距公式推導(dǎo)外，還有單擺周期公式的推導(dǎo)、回旋加速器中運動時間計算等諸多需要進(jìn)行近似計算的問題。雖然本文僅討論了雙縫干涉條紋間距公式的推導(dǎo)，但其原則與方法可以用到其他情境中去。

以學(xué)生為中心，并不簡單地只是讓學(xué)生學(xué)、讓學(xué)生交流、讓學(xué)生展示，還應(yīng)該在教科書編寫和教學(xué)設(shè)計的過程中考慮學(xué)生的知識基礎(chǔ)和認(rèn)識能力。人教版高中物理教科書關(guān)于雙縫干涉條紋間距公式的推導(dǎo)采用了看似簡單、實則是以復(fù)雜的數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)、以學(xué)生未知的混沌現(xiàn)象為未知風(fēng)險的推導(dǎo)方式，顯然未充分考慮學(xué)生的基礎(chǔ)和認(rèn)知能力。教科書中的這種推導(dǎo)方式超出了學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，使學(xué)生跳幾跳也夠不著，最后在教科書的權(quán)威下產(chǎn)生困惑和無奈的情感，進(jìn)而失去批判的信心，喪失奮斗的精神，最終形成習(xí)得性無助，對后續(xù)學(xué)習(xí)造成損害的同時，也損害了學(xué)生的身心健康。人的發(fā)展既有連續(xù)性，又有階段性［3］?？畿S了學(xué)生的認(rèn)識階段，超出了學(xué)生認(rèn)知范疇的教科書編寫和教學(xué)設(shè)計，不但收不到好的效果，還會帶來不利的影響。

教科書編寫與教學(xué)設(shè)計也不能明顯低于學(xué)生的基礎(chǔ)與認(rèn)知。同時，教師在教學(xué)中要努力提高自己對學(xué)生的認(rèn)識，了解學(xué)生的基礎(chǔ)，尤其是學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)?，F(xiàn)階段，由于各種原因，高中物理解決問題時幾乎局限和僵化在了用方程解決物理問題這一條思路上，高中數(shù)學(xué)中的向量、函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、立體幾何等數(shù)學(xué)知識和方法并沒有得到廣泛的應(yīng)用。如果是高中物理問題都用初中數(shù)學(xué)知識解答，而初中物理都用小學(xué)數(shù)學(xué)知識解答，就不利于數(shù)學(xué)與物理兩個學(xué)科的融合，也不利于學(xué)生綜合素質(zhì)的提高，更不利于拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

［1］人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書物理必修1［M］.北京：人民教育出版社，2006：5.

［2］江立坤，陳紫鵬.雙縫干涉中相鄰亮條紋間距公式的巧證［J］.湖南中學(xué)物理，2012，27（10）：45，26.

［3］劉獻(xiàn)君.論“以學(xué)生為中心”［J］.高等教育研究，2012，33（8）：1-6.

（欄目編輯" " 蔣小平）