基于馬爾科夫鏈種群競(jìng)爭(zhēng)的貝葉斯有限元模型修正

關(guān)鍵詞：模型修正；貝葉斯估計(jì)；馬爾科夫鏈蒙特卡洛；種群競(jìng)爭(zhēng)

0 引言

在結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)領(lǐng)域中，隨著建立精確有限元模型評(píng)估結(jié)構(gòu)服役狀態(tài)的方法不斷完善，有限元法逐漸成為最廣泛、最常用、最基本的數(shù)值分析手段。但由于實(shí)際工程結(jié)構(gòu)存在材料的參數(shù)誤差、邊界條件的不明確、外部荷載的變化、環(huán)境因素以及測(cè)量噪聲等影響，造成實(shí)際工程問(wèn)題具有來(lái)源未知、難以測(cè)量的不確定性［1-2］。因此，已有的一些確定性模型修正方法往往處于理論效果好，但實(shí)際應(yīng)用效果不佳的尷尬位置。為了解決不確定性造成的理論與實(shí)際之間的差距，采用概率或統(tǒng)計(jì)手段量化與結(jié)構(gòu)相關(guān)的不確定性，已逐漸成為建立有限元模型關(guān)注的重點(diǎn)。其中，數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)分析中貝葉斯學(xué)派以可充分考慮不確定性而聞名。

近年來(lái)，大量國(guó)內(nèi)外學(xué)者開(kāi)始研究基于貝葉斯理論的概率模型修正方法，原因在于貝葉斯推理過(guò)程具有可同時(shí)考慮結(jié)構(gòu)的先驗(yàn)信息和當(dāng)前測(cè)量值的優(yōu)勢(shì)［3］。因此，其逐步成為模型修正領(lǐng)域的重點(diǎn)研究方向，實(shí)現(xiàn)了多種工程結(jié)構(gòu)的模型修正和健康監(jiān)測(cè)。其中BECK等［4］首次將貝葉斯理論應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu)模型修正，并建立了修正的基本流程體系，通過(guò)Laplace漸進(jìn)法近似得到后驗(yàn)概率分布對(duì)兩自由度的框架修正；同時(shí)，KATAFYGIOTIS 等［5］ 提出了一種基于Metropolis-Hastings（MH）隨機(jī)游走算法的馬爾科夫鏈蒙特卡洛（Markov Chain Monte Carlo， MCMC）模擬方法，通過(guò)模擬采樣近似得到后驗(yàn)概率分布，并以兩自由度模型驗(yàn)證了方法的正確性；易偉建等［6］采用MH法對(duì)混凝土框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行修正，編制了MCMC方法的損傷識(shí)別程序；WAN 等［7］提出一種延緩拒絕自適應(yīng)Metropolis（Delayed Rejection Adaptive Metropolis， DRAM）算法，并對(duì)一座復(fù)雜的斜拉人行橋修正，結(jié)果表明DRAM算法擁有較好的樣本遍歷性；GREEN［8］針對(duì)非線性問(wèn)題，提出了一種模擬退火思路的新式MCMC模擬方法，有效地提高了模型修正的效率；CHING等［9］從模型類的選擇出發(fā)，采取避開(kāi)復(fù)雜概率密度函數(shù)的采樣方法，提出了一種過(guò)渡馬爾科夫鏈蒙特卡洛（TransitionalMarkov Chain Monte Carlo，TMCMC）算法，通過(guò)3 個(gè)例子說(shuō)明了TMCMC方法在貝葉斯模型更新、模型類選擇和模型平均方面的有效性；ZENG等［10］利用振動(dòng)響應(yīng)或模態(tài)參數(shù)來(lái)估計(jì)結(jié)構(gòu)參數(shù)和估計(jì)本身相關(guān)的不確定性，采用差分進(jìn)化自適應(yīng)Metropolis （DifferentialEvolutionary Adaptive Metropolis， DREAM）算法通過(guò)并行運(yùn)行多個(gè)Markov鏈抽取樣本提高接受率，并通過(guò)十層剪力建筑和三層框架結(jié)構(gòu)的數(shù)值示例驗(yàn)證了算法的有效性；WU 等［11］為了解決Expectation?Maximization（EM）算法因時(shí)間復(fù)雜導(dǎo)致的計(jì)算困難，以MCMC采樣用潛在變量的模擬樣本逼近EM算法，提出了MCMCEM算法，并驗(yàn)證了其比傳統(tǒng)EM 算法的先進(jìn)性；HUANG等［12］將貝葉斯概率法和微擾模型相結(jié)合的方法，該方法可僅利用少量有噪聲干擾的節(jié)點(diǎn)振動(dòng)響應(yīng)，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行健康監(jiān)測(cè)；劉綱等［13］針對(duì)MCMC方法面對(duì)高維待修正參數(shù)收斂難效率低問(wèn)題，引進(jìn)相關(guān)向量機(jī)作為回歸模型代替有限元計(jì)算提高效率；SHERRI等［14］針對(duì)不確定性量化問(wèn)題提出一種改進(jìn)的進(jìn)化MCMC方法，并使用斯諾克更新器改進(jìn)和擴(kuò)展更新過(guò)程，通過(guò)一個(gè)F型框架結(jié)構(gòu)驗(yàn)證了方法的有效性；彭珍瑞等［15］通過(guò)新鳥(niǎo)巢更新思想改進(jìn)標(biāo)準(zhǔn)MH算法，同時(shí)使用支持向量機(jī)（Support Vector Machines，SVM）建立代理模型，有效地解決了MH算法不收斂、拒絕率高的問(wèn)題，并在一個(gè)三自由度平面桁架上驗(yàn)證了方法的可行性。

由上述研究可以看出，貝葉斯理論的核心內(nèi)容主要是通過(guò)查閱資料或根據(jù)已有先前經(jīng)驗(yàn)得到先驗(yàn)分布，采用當(dāng)前實(shí)測(cè)信息來(lái)修正先驗(yàn)分布，使其不斷接近后驗(yàn)概率分布，從而有效處理參數(shù)不確定性。但是后驗(yàn)分布的求解難度較高，原因在于其分母涉及復(fù)雜且難以求解的高維積分，通過(guò)常規(guī)的數(shù)值積分手段效果甚微，引進(jìn)MCMC采樣算法，以近似解等效替代精確解，因此采樣算法的精確度將直接影響修正結(jié)果。目前已有的標(biāo)準(zhǔn)MH采樣算法，對(duì)單個(gè)參數(shù)的模型采樣效果較好，在多參數(shù)的采樣過(guò)程中容易出現(xiàn)大面積滯留現(xiàn)象，同時(shí)樣本采樣拒絕率過(guò)高會(huì)導(dǎo)致收斂困難，甚至無(wú)法收斂。針對(duì)以上缺陷，本文在標(biāo)準(zhǔn)MH算法基礎(chǔ)上引入種群競(jìng)爭(zhēng)算法和差進(jìn)化算法，可有效地改善高維參數(shù)模型修正的不足，并通過(guò)一個(gè)桁架結(jié)構(gòu)數(shù)值算例驗(yàn)證了本文算法的高效性。

1 貝葉斯有限元模型修正理論

采用貝葉斯方法描述有限元模型修正過(guò)程中，不確定性參數(shù)分布通過(guò)后驗(yàn)概率密度函數(shù)的數(shù)值求解得到，其根據(jù)貝葉斯方法具體表述為［16］［17］115-132

π （θ | D， M ） = [ P （D| θ，M ） π （θ，M ） ] / [ P （D，M ） ]（1）式中，M 為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模型類別（每個(gè)結(jié)構(gòu)類別的定義的修正參數(shù)不同）；θ 為不確定參數(shù)；D 為結(jié)構(gòu)體系的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)樣本（本文采用固有頻率和振型）；π（θ，M）為先驗(yàn)概率密度分布，表示不確定參數(shù)θ 在給定的模型M 中且不含D 時(shí)的初始認(rèn)知；P（D|θ，M）為似然函數(shù)，表示實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與有限元解之間的差異；π（θ|D，M）為給定模型M 和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)D 的修正參數(shù)的后驗(yàn)概率分布函數(shù)；由于本文只研究單個(gè)模型，后續(xù)公式推導(dǎo)中將M 省略，且P（D，M）與修正參數(shù)θ 不相關(guān)，可用常數(shù)c 表示。因此，π（θ|D）與P（D|θ）π（θ）存在正比例關(guān)系為

式中，N 為用于修正的結(jié)構(gòu)響應(yīng)量階數(shù)；θ 為修正參數(shù)組集的向量（θ∈RN）；Z*為實(shí)測(cè)獲得的結(jié)構(gòu)響應(yīng)量組集的向量（Z*∈RN）；Z（θ）為有限元模型計(jì)算值組集的向量［Z（θ）∈RN］；ε為測(cè)試波動(dòng)、環(huán)境變化等不確定性引起的差值組集的向量（ε∈RN）；其中，RN為對(duì)應(yīng)階數(shù)的實(shí)數(shù)集范圍，R 為實(shí)數(shù)集，上標(biāo)N 為用于修正的結(jié)構(gòu)響應(yīng)量階數(shù)。故后驗(yàn)概率分布函數(shù)表示為

貝葉斯修正過(guò)程知之非難，行之不易，要想取得良好效果需解決以下兩個(gè)難題：①結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性越大，后驗(yàn)概率密度函數(shù)解析解的獲取越困難；②未知參數(shù)的維數(shù)以及樣本空間的復(fù)雜性會(huì)顯著影響修正過(guò)程，且不確定參數(shù)的全局解不容易獲得。因此，貝葉斯修正過(guò)程往往與MCMC方法相結(jié)合，通過(guò)MCMC方法以采樣代替復(fù)雜高維積分計(jì)算，近似獲取π（θ|D），從而得到近似的后驗(yàn)分布函數(shù)。

2 基于種群的多鏈差分競(jìng)爭(zhēng)算法

傳統(tǒng)MCMC方法只能得到單條Markov鏈，如應(yīng)用廣泛的標(biāo)準(zhǔn)MH 算法通過(guò)隨機(jī)游走采樣生成一條Markov鏈，依據(jù)Markov鏈中樣本分布近似得到后驗(yàn)分布，而其采樣機(jī)制的受限于固定的建議分布方差，若方差較大則易導(dǎo)致建議點(diǎn)時(shí)常被拒絕沿用上次迭代值，遍歷性差出現(xiàn)滯留現(xiàn)象；方差較小則遍歷步距小、收斂速度慢，甚至出現(xiàn)迭代結(jié)束而樣本未更新，導(dǎo)致該方法在面對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)或后驗(yàn)概率密度復(fù)雜的情況時(shí)，存在采樣效率低且精度不佳的缺陷。本節(jié)通過(guò)建立Markov鏈種群，以多鏈角度引入差分算法以克服滯留和難收斂缺陷。在此基礎(chǔ)上，加入競(jìng)爭(zhēng)算法，通過(guò)種群中多鏈差分競(jìng)爭(zhēng)的方式選擇更優(yōu)修正方案，提出一種基于種群內(nèi)部競(jìng)爭(zhēng)的算法以提高采樣效率及修正精度，從而高效逼近目標(biāo)分布。

2. 1 Markov鏈種群

種群競(jìng)爭(zhēng)需要在多條Markov鏈中進(jìn)行，本文采用標(biāo)準(zhǔn)MH算法，對(duì)同一目標(biāo)函數(shù)設(shè)定不同建議分布方差，采樣得到多條Markov鏈，建立Markov鏈種群［Y1，Y2，…，YN］。在理論層面Markov鏈中N 越大種群攜帶測(cè)試信息越豐富效果越好，但綜合考慮種群競(jìng)爭(zhēng)計(jì)算性價(jià)比本文設(shè)定N=7，其原因在于剛好能滿足完成一次完整的種群競(jìng)爭(zhēng)，而交叉、變異采用的Markov鏈不重復(fù)使用，建議分布方差在范圍［0. 1，1. 0］依據(jù)Markov鏈數(shù)均勻取值。

同時(shí)，本方法建立Markov鏈種群的方法不局限于標(biāo)準(zhǔn)MH算法，其他能生成有效Markov鏈的采樣算法同樣適用。建立Markov鏈種群的具體步驟如下：

2. 2 多鏈差分算法

多鏈差分算法類似遺傳進(jìn)化均包含變異、交叉和選擇3個(gè)操作運(yùn)算，但與遺傳進(jìn)化不同的是變異這一操作運(yùn)算通過(guò)利用種群中個(gè)體與個(gè)體之間的差量實(shí)現(xiàn)條件分布的更新［18］。本文中個(gè)體為已構(gòu)建的種群中的Markov鏈，由于構(gòu)建每條鏈的目標(biāo)函數(shù)相同，但每條單鏈的初始建議分布，鏈內(nèi)接受概率不同，以及多鏈差分過(guò)程中鏈間變異、交叉概率的不同，導(dǎo)致部分交換有助于進(jìn)一步改善Markov鏈的質(zhì)量，且多鏈相對(duì)單鏈包含更多模態(tài)空間信息，通過(guò)選擇操作運(yùn)算接受可提升部分，可有效改善傳統(tǒng)單鏈面對(duì)高維模態(tài)空間能力受限問(wèn)題。其中多鏈差分算法變異具體操作方式如下：

因此，以Markov 鏈為個(gè)體的差分算法基于進(jìn)化MCMC方法，利用多鏈之間的相互作用關(guān)系得到新的優(yōu)化建議，可解決高維參數(shù)模型修正過(guò)程中的滯留缺陷，提高修正精度和效率。

2. 3 種群差分競(jìng)爭(zhēng)算法

種群競(jìng)爭(zhēng)算法是一種激勵(lì)算法，在多鏈差分算法基礎(chǔ)上，采用不斷競(jìng)爭(zhēng)與學(xué)習(xí)機(jī)制提高差分進(jìn)化效率，充分利用種群中Markov 鏈攜帶信息，采用較少的Markov鏈獲得較高的精度，是一種基于競(jìng)爭(zhēng)尋找解決目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)方案的新型改進(jìn)差分算法。

競(jìng)爭(zhēng)的具體思路是：Markov鏈在多鏈差分算法變異，交叉操作的基礎(chǔ)上融入競(jìng)爭(zhēng)，在選擇操作中定義處于拒絕狀態(tài)的為失敗者，反之為勝利者；通過(guò)競(jìng)爭(zhēng)算法提升多鏈差分的質(zhì)量，即失敗者通過(guò)選取勝利者M(jìn)arkov鏈的部分，試圖學(xué)習(xí)勝利者的優(yōu)勢(shì)進(jìn)而縮小與目標(biāo)函數(shù)的差距得到最優(yōu)方案；同時(shí)這又導(dǎo)致勝利者優(yōu)勢(shì)只是暫時(shí)的領(lǐng)先，多鏈差分算法中的變異、交叉、選擇3項(xiàng)操作也反過(guò)來(lái)輔助競(jìng)爭(zhēng)算法，使勝利者繼續(xù)突破尋找更佳的解，失敗者在快速學(xué)習(xí)勝利者的基礎(chǔ)上仍有超過(guò)勝利者的可能，勝利者與失敗者的定位在激烈的競(jìng)爭(zhēng)中隨時(shí)可能交換。

由于種群中Markov鏈的前部分處于燃燒階段，如一開(kāi)始便加入競(jìng)爭(zhēng)會(huì)影響算法的收斂速度，因此競(jìng)爭(zhēng)算法是人為假設(shè)在m 次迭代后出現(xiàn)競(jìng)爭(zhēng)直到迭代結(jié)束的整個(gè)過(guò)程，因此迭代階段按該算法思路，可根據(jù)是否含有競(jìng)爭(zhēng)劃分為競(jìng)爭(zhēng)期和正常期（競(jìng)爭(zhēng)期多鏈差分算法和競(jìng)爭(zhēng)算法均存在，正常期只含有多鏈差分算法）。

其中，正常期算法具體思路與操作步驟如下：步驟1：開(kāi)始t=1～m 時(shí)，迭代處于正常期，待修正參數(shù)更新方法是在Markov鏈種群中隨機(jī)一個(gè)鏈記為Yts，根據(jù)式（11）突變得到Y(jié)tsp。

此外由于Markov鏈燃燒階段的樣本是未收斂的，若以此為修正模型參數(shù)會(huì)降低精度，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式［17］115-132可知，只要迭代步數(shù)滿足T ≥ 300d，得到的樣本個(gè)數(shù)對(duì)于修正后參數(shù)值的精確幾乎不造成影響，因此，本文迭代步數(shù)設(shè)定為T = 1 × 104 gt; 300d，迭代步數(shù)充分滿足修正要求，其中，正常期與競(jìng)爭(zhēng)期的m 雖是人為假設(shè)，但其選值需大于Markov鏈?zhǔn)諗糠纸琰c(diǎn)10%的迭代步數(shù)，若取值太小，在Markov鏈?zhǔn)諗糠纸琰c(diǎn)之內(nèi)，將會(huì)影響算法的收斂；若取值太大，超過(guò)收斂分界點(diǎn)太多，將會(huì)消除競(jìng)爭(zhēng)作用，延長(zhǎng)正常期，影響修正精度和效率。所提方法的具體步驟流程如圖1所示。

3 數(shù)值算例

3. 1 平面桁架

某平面桁架結(jié)構(gòu)如圖2所示，以此算例檢驗(yàn)所提算法的高效性。該桁架為對(duì)稱斜三角桁架，由21個(gè)桿件鉸接組成，共有12個(gè)節(jié)點(diǎn)、21個(gè)單元和21個(gè)自由度，如圖3所示。按桿件單元位置將其劃分為5個(gè)小組，其中編號(hào)1、2、3、10、11號(hào)單元為第1組；編號(hào)1、4、12、13、18號(hào)單元為第2組；編號(hào)13、14、15、19、21號(hào)單元為第3組；編號(hào)5、6、16、19、20號(hào)單元為第4組；編號(hào)6、7、8、9、17號(hào)單元為第5組。選取第1、3、5組的彈性模量和密度為模型的待修正參數(shù)，一共6個(gè)待修正參數(shù)，分別為θ1 =E1 /E0，θ2 =ρ2 /ρ0，θ3 =E3 /E0，θ4=ρ4 /ρ0，θ5 =E1 /E0，θ6=ρ6 /ρ0，其中桁架基數(shù)分別為E0 =210 GPa，ρ0 =7 800 kg/m3。桁架組號(hào)劃分內(nèi)容及結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

本文假定6 個(gè)試驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)服從正態(tài)分布N｛［0. 8，0. 12］，［1. 0，0. 12］，［1. 2，0. 12］，［1. 4，0. 12］，［1. 6，0. 12］，［1. 8，0. 12］｝，且參數(shù)之間相互獨(dú)立。通過(guò)概率統(tǒng)計(jì)手段，隨機(jī)抽取一組待修正參數(shù)代入桁架有限元模型，計(jì)算得到前6階模態(tài)，為了充分考慮實(shí)際工程測(cè)試中的不確定性因素，得到更接近實(shí)測(cè)情況的測(cè)試數(shù)據(jù)，本文共模擬計(jì)算35次，以得到的35次數(shù)據(jù)均值為結(jié)構(gòu)實(shí)測(cè)響應(yīng)。

對(duì)樣本進(jìn)行獨(dú)立檢驗(yàn)，由圖4可知，6個(gè)參數(shù)35次模擬得到的樣本點(diǎn)絕大部分處于正態(tài)分布的假設(shè)概率密度山形圖的山峰表面，表明隨機(jī)采樣得到樣本點(diǎn)滿足試驗(yàn)獨(dú)立假設(shè)要求，所得到的樣本點(diǎn)具有足夠的代表性。

將不確定參數(shù)θ1～θ6均除以其對(duì)應(yīng)的初始值θ0k （k=1、2、3、4、5、6），得到歸一化數(shù)據(jù)后繪制置信橢圓圖（誤差橢圓圖）如圖5所示。圖中的點(diǎn)為迭代1×104次后得到的不確定性參數(shù)樣本，橢圓區(qū)域表示95%置信度的樣本空間，可以看出不確定性參數(shù)基本落位在置信橢圓之內(nèi)。

圖6給出了標(biāo)準(zhǔn)MH算法和本文所提算法的收斂曲線對(duì)比圖。其中，誤差定義為6個(gè)待修正參數(shù)的絕對(duì)誤差之和，其計(jì)算式為

如圖6所示，在收斂速度上，可明顯觀察到本文所提算法在第200 次迭代步后基本收斂，而MH算法在400次迭代步才逐漸收斂；在收斂精度上，也可看出本文所提算法的誤差更?。辉谑諗柯窂缴?，MH算法呈鋸齒狀，表明采樣空間未充分探索，而本文所提算法小范圍波動(dòng)，具備良好的遍歷性。

圖7給出了MH算法和本文所提算法的修正對(duì)比圖。由圖7分析可知，當(dāng)完成1×104迭代步時(shí)兩種算法均已收斂，但MH算法得到的Markov鏈6個(gè)參數(shù)均明顯出現(xiàn)大塊區(qū)域的滯留現(xiàn)象，在較高維模型修正中樣本的采樣效率極低；而本文所提算法融入差分思想有效改善高維參數(shù)模型修正滯留缺點(diǎn)，同時(shí)收斂速度較快。再根據(jù)圖7（a）、圖7（b）對(duì)參數(shù)θ4和θ5局部對(duì)比放大可知（圖7右側(cè)圖），本文所提算法迭代得到的參數(shù)樣本滯留區(qū)域較小、接受率和采樣效率較高、采樣具有良好的遍歷性，且融入的種群競(jìng)爭(zhēng)和差分步驟使修正在穩(wěn)定后仍在收斂值附近小幅度起伏波動(dòng)，進(jìn)而提高模型修正精度，相比MH算法可更好地模擬出接近真實(shí)情況的修正參數(shù)后驗(yàn)分布的樣本空間。

提取前800次迭代步的修正過(guò)程如圖8所示。處于正常期時(shí)，以Markov鏈為個(gè)體的差分算法有效地改善了傳統(tǒng)MCMC采樣效率低且難收斂的問(wèn)題；200次迭代步加入競(jìng)爭(zhēng)算法進(jìn)入競(jìng)爭(zhēng)期后，差分算法與競(jìng)爭(zhēng)算法相互提供激勵(lì)條件，可觀察到6個(gè)修正參數(shù)收斂后的波動(dòng)幅度更小，進(jìn)一步提升了模型修正精度。

理論上對(duì)比修正后模型得到的響應(yīng)與實(shí)測(cè)響應(yīng)是否一致可判斷是否達(dá)到修正要求，但在研究中僅以此來(lái)判斷模型修正效果是片面的，還需結(jié)合修正參數(shù)值。因此，本文給出了不同算法修正前后模態(tài)響應(yīng)和參數(shù)的對(duì)比數(shù)據(jù)表（表2、表3）。從表中可以看出：從頻率響應(yīng)角度分析，首先，初始模型響應(yīng)與真實(shí)響應(yīng)的前6階頻率均存有5% 左右的誤差，修正前第2 階誤差最大，達(dá)到10. 58%。標(biāo)準(zhǔn)MH算法修正后前6階頻率誤差均值為1%左右，修正后最大誤差為1. 77%，而本文所提算法修正后頻率誤差均值在0. 21%以內(nèi)，且修正后最大誤差僅為0. 21%；從修正前后參數(shù)對(duì)比分析，MH算法表現(xiàn)遠(yuǎn)不如本文所提算法，其中θ3和θ5修正后相對(duì)誤差分別為5. 84%和5. 1%，而本文所提算法的各參數(shù)相對(duì)誤差均在1%以內(nèi)。對(duì)比分析表明本文所提算法識(shí)別結(jié)構(gòu)參數(shù)精度較高，對(duì)高維參數(shù)模型修正效果遠(yuǎn)勝于標(biāo)準(zhǔn)MH算法。

3. 2 加噪試驗(yàn)

為了使桁架模型修正更加合乎實(shí)際，以及進(jìn)一步驗(yàn)證所提方法的高效性，本文對(duì)試驗(yàn)得到的測(cè)試數(shù)據(jù)加入10%的噪聲，用來(lái)模擬實(shí)際工程問(wèn)題中測(cè)試遇到的不確定性因素（如實(shí)測(cè)人員操作規(guī)范問(wèn)題、設(shè)備裝置精度問(wèn)題等）。為對(duì)比不同算法在同一噪聲條件下的修正效果，根據(jù)式（26）隨機(jī)加入10%的測(cè)試噪聲，且假定模態(tài)噪聲在不同階和不同參數(shù)之間相互獨(dú)立。

圖9（b）為Markov鏈和每個(gè)修正參數(shù)的概率直方圖。首先對(duì)采樣過(guò)程圖分析可知，加噪10%對(duì)本文所提算法的收斂性影響不大，Markov鏈均可收斂，且每個(gè)參數(shù)的概率直方圖表明，加噪10%后的參數(shù)也大致在真實(shí)值±0. 04E0/ρ0左右，雖略有差距但在可允許接受范圍之內(nèi)，表明了本文所提算法具有良好的魯棒性。對(duì)加噪后得到的修正參數(shù)實(shí)施正態(tài)概率檢驗(yàn)，得到結(jié)果如圖10所示。從圖10可知，加噪后計(jì)算得到的樣本點(diǎn)基本位于假設(shè)參數(shù)分布線上，表明采樣得到的樣本點(diǎn)滿足正態(tài)分布假設(shè)，結(jié)果可充分接受（對(duì)縱坐標(biāo)刻度進(jìn)行了調(diào)整，以便觀察正態(tài)率，不影響檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否近似服從正態(tài)分布）。

因此，結(jié)合上述分析可知，本文所提算法可以在考慮各種不確定性因素下，可精準(zhǔn)識(shí)別結(jié)構(gòu)模型參數(shù)變化，高效地完成有限元模型修正，且算法具備較高的修正精度和良好的魯棒性。

4 結(jié)論

針對(duì)不確定性有限元模型修正問(wèn)題，以貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論為核心，在標(biāo)準(zhǔn)MH算法基礎(chǔ)上引進(jìn)了競(jìng)爭(zhēng)算法和差分算法，提出了一種基于Markov鏈種群競(jìng)爭(zhēng)差分進(jìn)化采樣的改進(jìn)算法，通過(guò)一個(gè)六參數(shù)桁架結(jié)構(gòu)模型修正數(shù)值算例驗(yàn)證了所提算法的精度和效率，且面對(duì)10%的測(cè)試噪聲干擾下仍保持一定精度，并與傳統(tǒng)MH算法計(jì)算結(jié)果對(duì)比，得出以下結(jié)論：

1）本文所提算法面對(duì)高維參數(shù)模型修正采樣接受率、遍歷性更好，通過(guò)提高采樣效率的方式極大地提升了模型修正速率，實(shí)現(xiàn)了高維參數(shù)的不確定性有限元模型修正。

2）本文所提算法通過(guò)種群競(jìng)爭(zhēng)和差分手段，以Markov鏈之間攜帶信息差異為建議優(yōu)化方向，進(jìn)一步提高了算法對(duì)高維參數(shù)模型修正精度。

3）本文所提算法在10%的測(cè)試噪聲干擾下，仍能保證較高精度，得到可靠的識(shí)別結(jié)果，表明所提算法具備良好的魯棒性。

本研究目前使用數(shù)值算例驗(yàn)證了所提算法的高效性，在保證采樣效率的同時(shí)具有較高的精度和穩(wěn)定性。后續(xù)將陸續(xù)開(kāi)展結(jié)構(gòu)模態(tài)試驗(yàn)研究，為實(shí)際結(jié)構(gòu)中考慮不確定性的有限元模型修正提供一種有效穩(wěn)定的手段。