清明上河園中的銳角三角函數(shù)

河南開(kāi)封的清明上河園是依照北宋畫(huà)家張擇端的傳世之作《清明上河圖》為藍(lán)本建造的，不僅重現(xiàn)了宋朝的市井生活、建筑風(fēng)貌，還通過(guò)豐富的文化內(nèi)涵和精彩的文藝表演，為游客帶來(lái)了一場(chǎng)穿越時(shí)空的盛宴。那么你知道嗎？清明上河園中的建筑也蘊(yùn)含著很多的數(shù)學(xué)知識(shí)。下面我們來(lái)看2022年河南省中考數(shù)學(xué)中的一道以“清明上河園”為背景的銳角三角函數(shù)題。

例題 開(kāi)封清明上河園是依照北宋著名畫(huà)家張擇端的《清明上河圖》建造的，拂云閣（如圖1）是園內(nèi)最高的建筑。某數(shù)學(xué)小組測(cè)量拂云閣DC的高度，如圖2，在A處用測(cè)角儀測(cè)得拂云閣頂端D的仰角為34°，沿AC方向前進(jìn)15m到達(dá)B處，又測(cè)得拂云閣頂端D的仰角為45°。已知測(cè)角儀的高度為1.5m，測(cè)量點(diǎn)A、B與拂云閣DC的底部C在同一水平線上，求拂云閣DC的高度（結(jié)果精確到1m）。（參考數(shù)據(jù)sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）

【思路分析】題目中給出了測(cè)角儀的高度為1.5m，即AE=BF=1.5m，還給出了在點(diǎn)E處的仰角和在點(diǎn)F處的仰角。結(jié)合題意，我們需要構(gòu)造直角三角形，而且是雙直角三角形。解雙直角三角形問(wèn)題的關(guān)鍵是以公共邊為橋梁，分別在兩個(gè)直角三角形中利用銳角三角函數(shù)的定義或勾股定理求相關(guān)線段長(zhǎng)。雖然拂云閣DC的高度無(wú)法直接求出，但是我們發(fā)現(xiàn)，測(cè)角儀在平移的過(guò)程中，與地面的高度是不變的，所以我們只要求出點(diǎn)D到直線EF的距離即可。在圖3中，我們延長(zhǎng)EF交DC于點(diǎn)H，構(gòu)造了Rt△DHF和Rt△DHE，得到EF=AB=15m，CH=BF=AE=1.5m。

我們由tan∠DFH=[DHHF]=1，得到DH=HF；由tan∠DEH=[DHHF]≈0.67，得到DH≈0.67HE，也就是HF≈0.67HE。而HE=HF+15，我們進(jìn)而可以設(shè)HF為xm，則HE=（x+15）m，列方程為x≈0.67（x+15），解得x≈30.5。那么DC的長(zhǎng)度為DH+CH=30.5+1.5=32m。

銳角三角函數(shù)刻畫(huà)了直角三角形中的邊角關(guān)系。我們?cè)诮鉀Q這些問(wèn)題的過(guò)程中，不難發(fā)現(xiàn)需要經(jīng)歷以下過(guò)程：第一步，需要弄清楚要求什么；第二步，根據(jù)所給的條件能求出什么；第三步，需要弄清楚已知量與未知量之間的關(guān)系，將要求的邊和角放到合適的直角三角形中，這里常常需要添加輔助線（一般為垂線和平行線），將原圖分割成一些直角三角形和矩形；第四步，選用合適的數(shù)據(jù)來(lái)解決這個(gè)直角三角形問(wèn)題，如果不能直接求，還可以設(shè)未知數(shù)建立方程來(lái)求；第五步，根據(jù)求得的結(jié)果，聯(lián)系與要求的量之間的關(guān)系，進(jìn)行求解和判斷。

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)段玉裁中學(xué)）