力學(xué)性能可調(diào)的可逆裝配力學(xué)超材料性能表征

關(guān)鍵詞：可逆裝配；力學(xué)超材料；參數(shù)化建模；點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)；性能表征

中圖分類號：V211 DOI： 10. 16579/j. issn. 1001. 9669. 2025. 01. 011

0引言

點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)以其輕質(zhì)［1］［2］1373、高比強(qiáng)度［3］108、高比模量［4］1219和較靈活的可設(shè)計(jì)性［5］等特點(diǎn)廣泛應(yīng)用于航空航天等國防軍事領(lǐng)域［6］。例如，美國國家航空局采用點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)了全點(diǎn)陣的變形機(jī)翼結(jié)構(gòu)，有效地降低了機(jī)翼質(zhì)量，提高了機(jī)翼的整體性能［7-10］。此外，三維點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)在多個航天項(xiàng)目中已得到應(yīng)用，國際首個全三維點(diǎn)陣整星結(jié)構(gòu)已隨“千乘一號”成功發(fā)射［11］。相比于傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)，該三維點(diǎn)陣整星結(jié)構(gòu)不僅能實(shí)現(xiàn)有效的減重，且能夠節(jié)省燃料，降低成本，縮短生產(chǎn)周期［12］。點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)還具有優(yōu)異的降噪與減振功能［13-15］。例如，飛機(jī)、火箭由于推進(jìn)過程產(chǎn)生的顛簸會加劇自身零部件的磨損；高鐵運(yùn)行過程中車體外部也會產(chǎn)生隨機(jī)聲學(xué)振動。研究表明，若對點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能分布進(jìn)行設(shè)計(jì)，可實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)噪聲和振動的有效控制［16-17］。因此，點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)是未來航空航天中的重要結(jié)構(gòu)形式之一。

增材制造技術(shù)的發(fā)展使得具有復(fù)雜幾何外形和特殊力學(xué)性能的力學(xué)超材料加工成為可能。與傳統(tǒng)的減材制造模式相比，它通過光固化、熔融沉積成型、選擇性激光燒結(jié)等成型工藝，可以較低的成本打印具有復(fù)雜外形的結(jié)構(gòu)件［18-20］。目前，采用不同制造技術(shù)制備的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)在表面粗糙度與成型精度方面均有較大的差異。其原因是不同的成型工藝在成本、精度、尺寸以及材料兼容性方面各有不同［21］。如采用光固化技術(shù)（Stereolithography，SLA）生產(chǎn)的零件尺寸精度高、表面質(zhì)量高，可以制作較為復(fù)雜的模型，但其設(shè)備使用和維護(hù)成本較高［22］。熔融沉積技術(shù)（FusedDeposition Modeling，F(xiàn)DM）成型原理簡單、維護(hù)成本低，但其成型精度以及表面粗糙度均不如SLA，且成型速度較慢［23］?？傮w來說，成型精度高的工藝其設(shè)備成本也較高。此外，每種成型工藝能夠打印的最大外形尺寸通常受設(shè)備自身大小的限制。目前，一般的解決方法是增大打印設(shè)備的尺寸［24-25］，或通過多個可移動打印機(jī)來實(shí)現(xiàn)任意尺寸模型的打?。?6］，但這種大尺寸設(shè)備或可移動設(shè)備一般較難保證產(chǎn)品的精度。因此，如何在精度、尺寸以及成本之間權(quán)衡成為各類增材制造技術(shù)必須考慮的問題。此外，傳統(tǒng)的一體化打印技術(shù)通常采用單一材料或單一體素形式，無法依據(jù)需求實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)與材料屬性精確調(diào)控，使點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的可設(shè)計(jì)性降低。

可逆裝配結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)不僅克服了打印設(shè)備的限制［4］1219［27］［28］1800213［29］34，還可較好地協(xié)調(diào)成本、尺寸、精度三者之間的矛盾，而且可以通過不同組合構(gòu)建力學(xué)性能豐富的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)，形成一種新的力學(xué)超材料。在可逆裝配的力學(xué)超材料方面，國內(nèi)外學(xué)者已開展大量的研究。2013年，美國麻省理工學(xué)院開發(fā)出一種新型數(shù)字材料，其采用鎖鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)可方便地增加或去除零件，且能夠快速地將單個體素組裝在一起，從而制造出類似機(jī)翼的大型結(jié)構(gòu)件［30］。CHEUNG 等［4］1219 提出了一種基于增材制造技術(shù)的可逆裝配法，將幾個相同的小部件通過卡扣法連接組裝成立方八面體晶格，結(jié)果表明，該點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)在滿足輕質(zhì)的同時(shí)能夠達(dá)到實(shí)體結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能，但這種連接方式僅依靠零部件自身之間的約束易產(chǎn)生滑脫，降低了結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。XU等［31］采用同樣的方式制備熱塑性復(fù)合材料可逆裝配點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)，并在接頭處分別用注塑釘和鋼釘固定。研究結(jié)果表明，鋼釘加固點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的有效模量和強(qiáng)度顯著高于注射釘加固結(jié)構(gòu)，但在接頭處仍會產(chǎn)生應(yīng)力集中。JENETT等［21］采用注塑成型工藝制備基礎(chǔ)點(diǎn)陣體素，并采用螺接法裝配元件級零件，使用該連接方式不僅可以保證該結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，而且避免了接頭處的應(yīng)力集中，但這種成型工藝會導(dǎo)致元件的彈性模量與屈服強(qiáng)度依賴于澆口位置，距離澆口位置越遠(yuǎn)，彈性模量越低，且接合處的屈服強(qiáng)度也會大幅度降低。上述研究工作證明了可逆裝配點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的巨大應(yīng)用潛力，但在成型工藝或連接方式等方面均有不足之處，這些因素使得可逆裝配點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的工程應(yīng)用仍有較大的難度和局限性。

此外，可逆裝配點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)具有外形自適應(yīng)的特點(diǎn)，是未來航空航天中主動變形結(jié)構(gòu)的一種較好的結(jié)構(gòu)形式。文獻(xiàn)［29］44、文獻(xiàn)［32-35］等研究表明，基于可逆裝配點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的變形機(jī)翼在嵌入作動系統(tǒng)時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)主動變形，并具有輕量化和高可靠性的特點(diǎn)。但現(xiàn)有可逆裝配點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)力學(xué)性能單一，無法實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的力學(xué)性能分布的要求。因此，需要構(gòu)建變幾何的可逆裝配基礎(chǔ)體素，在不同的空間位置布置力學(xué)性能不同的體素，以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的精確調(diào)控。

鑒于此，本文提出了一種新型的可逆裝配的力學(xué)超材料結(jié)構(gòu)概念及基礎(chǔ)體素的連接方法，并構(gòu)建了剛性、柔性和擴(kuò)張型3種具有較大力學(xué)性能差異的基礎(chǔ)體素構(gòu)型。它可有效克服制造裝備的尺寸限制，還可以較好地協(xié)調(diào)成本、尺寸、精度三者之間的矛盾，并可以通過不同排列組合構(gòu)建力學(xué)性能豐富的宏觀點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)。針對可逆裝配的基礎(chǔ)體素型式，本文進(jìn)一步通過參數(shù)化建模的方法分析了體素幾何特征、相對密度和體素?cái)?shù)目等參數(shù)對其力學(xué)性能的影響，從而明確了其變形機(jī)理，給出了各體素的幾何參數(shù)與力學(xué)性能之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，并與力學(xué)性能實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了對比驗(yàn)證。

1體素構(gòu)型設(shè)計(jì)與可逆裝配方法

1. 1體素構(gòu)型設(shè)計(jì)

如前文所述，基于可逆裝配力學(xué)超材料的復(fù)雜結(jié)構(gòu)需要，在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的不同部位具有不同的力學(xué)性能，有的部位需要高強(qiáng)度和剛度，有些部位需要具備大變形的能力；同時(shí)，需要滿足整體剛度可調(diào)、可重復(fù)拆卸/裝配的要求。因此，如何構(gòu)建不同力學(xué)性能的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)體素是需要解決的首要問題。現(xiàn)有研究表明，晶格類型會直接影響點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和剛度［36］1035［37］，而晶格的類型主要由節(jié)點(diǎn)連通性（節(jié)點(diǎn)處連接桿件的數(shù)目Z）決定。對于三維晶格結(jié)構(gòu)，連通性Z 大于12為拉伸主導(dǎo)型晶格；連通性小于6為彎曲主導(dǎo)型晶格［36］1036。研究表明，拉伸主導(dǎo)晶格［圖1（a）］比彎曲主導(dǎo)晶格［圖1（b）］具有更高的節(jié)點(diǎn)連通性和更高的比剛度［2］1375。本文選擇立方八面體晶格，該晶格連通性（Z=8）介于高連通性與低連通性之間，但其仍具有拉伸主導(dǎo)行為［3］109，可作為承載能力強(qiáng)的第1類剛性基礎(chǔ)體素。

進(jìn)一步，以立方八面體晶格為基本體素并對其演化，得到其它體素形式。通過將直梁替換為帶S形彎梁，演化出第2類柔性體素；將立方八面體晶格的各個平面結(jié)構(gòu)替換為三維內(nèi)凹結(jié)構(gòu)，演化出第3類擴(kuò)張型體素。所形成的3種力學(xué)性能不同的體素構(gòu)型，為后續(xù)剛度可調(diào)的復(fù)雜點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)提供基礎(chǔ)體素。圖2（a）～圖2（c）分別為剛性體素、柔性體素、擴(kuò)張?bào)w素對應(yīng)的最小級元件。其中，剛性體素由4個長度一致的正方形截面的梁單元組成，其變形僅依靠材料自身的彈性拉伸或壓縮；整體上呈高剛度特性，保證幾何結(jié)構(gòu)輕量化的同時(shí)，又具有足夠高的承載能力。柔性體素的S形梁導(dǎo)致其梁單元主要通過軸向的縮短和彎曲來承受外部載荷。擴(kuò)張?bào)w素在受載時(shí)主要依靠面外梁和面內(nèi)梁在節(jié)點(diǎn)處類彈簧的彎曲來實(shí)現(xiàn)變形和承載。柔性體素和擴(kuò)張?bào)w素均以彎曲變形為主，具有較大的變形能力，可滿足點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)在變形方向的增加或縮小。此外，擴(kuò)張?bào)w素是典型的負(fù)泊松比體素。依據(jù)實(shí)際需求，對這3類體素進(jìn)行不同序列的組合裝配，有望構(gòu)建同時(shí)滿足高強(qiáng)度和大變形能力的復(fù)雜力學(xué)性能點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)。因此，由上述3類體素形成的宏觀結(jié)構(gòu)是一種力學(xué)超材料結(jié)構(gòu)。

1. 2可逆裝配方法

力學(xué)超材料的設(shè)計(jì)需滿足可逆裝配這一基本要求，以確保結(jié)構(gòu)件在部分損壞時(shí)可以替換。因此，需建立一種統(tǒng)一的連接方式。與JENETT 等［21］做法相似，本文在體素內(nèi)部以及體素與體素間均采用螺接的連接方式。如圖3所示，對最小級元件的4個角點(diǎn)進(jìn)行設(shè)計(jì)；具體地，在元件的平面上和45°斜面接頭上各預(yù)留1個圓孔，前者用于體素與體素之間連接，后者用于體素內(nèi)部之間的連接。將兩個元件的45°角拼接可實(shí)現(xiàn)體素的1個直角，如圖4所示。每個單胞需要通過12個螺釘進(jìn)行內(nèi)部連接，為簡化裝配和拆卸過程，本文統(tǒng)一選擇十字沉頭螺釘。

通過這種裝配方式，可以實(shí)現(xiàn)如圖5所示的體素與體素之間的連接。在設(shè)計(jì)體素時(shí)，3種體素最小級元件上預(yù)留的孔的位置和大小均一致。因此，可以根據(jù)任意需求組裝成1個復(fù)雜的多功能結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。理論上，此類體素結(jié)構(gòu)通過裝配可以實(shí)現(xiàn)空間無限大的結(jié)構(gòu)體，可較好地解決傳統(tǒng)增材制造結(jié)構(gòu)件尺寸限制的問題。

點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的1個重要幾何參數(shù)是體素外形尺寸，實(shí)際應(yīng)用中體素?cái)?shù)目在滿足強(qiáng)度、剛度要求下要盡可能地少，以減小裝配工作量。同時(shí)，考慮到打印設(shè)備的速度、連接螺釘?shù)某叽缂嫒菪缘?，本文的體素基本外形尺寸選為70 mm，并通過直徑為2 mm的螺釘進(jìn)行連接。并在第二節(jié)著重分析梁截面寬度、S形梁寬度和高度、內(nèi)凹深度等參數(shù)對力學(xué)性能的影響。

2參數(shù)化建模與力學(xué)性能分析

2. 1參數(shù)化建模方法

為了明確各類體素的變形機(jī)制，明晰各類體素的幾何參數(shù)與力學(xué)性能之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，并為后續(xù)復(fù)雜變形點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的研究提供理論指導(dǎo)，本文對3類體素的幾何參數(shù)變量進(jìn)行了梳理，結(jié)果如圖6所示。其中，剛性體素的最小級元件由4個正方形截面的直梁組成，在體素總體尺寸確定的情況下，僅有梁截面寬度1個變量；由于S形梁的存在，柔性體素中主要包括S形梁寬度、S形梁高度、梁截面寬度3個變量；擴(kuò)張?bào)w素由于具有面外變形，其幾何變量主要包括內(nèi)凹深度和梁截面寬度。理論上，為了實(shí)現(xiàn)上述目的，需進(jìn)行大量有限元分析，耗時(shí)較長。因此，為了節(jié)省計(jì)算時(shí)間與成本，本文提出采用參數(shù)化建模的方法進(jìn)行幾何特征參數(shù)與3類基礎(chǔ)體素力學(xué)性能之間關(guān)系的分析。

理論上，依據(jù)不同的體素布置序列以及體素類型編號可實(shí)現(xiàn)任意點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的參數(shù)化建模，如圖7所示。即通過不同的組合序列可構(gòu)建力學(xué)性能豐富的宏觀點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)。但由于本文僅針對各類體素的力學(xué)性能分析，因此，下文中分析計(jì)算均采用同一種體素。

為實(shí)現(xiàn)參數(shù)化建模，以PyCharm集成開發(fā)環(huán)境和Abaqus 有限元軟件為平臺，基于Abaqus 軟件二次開發(fā)，建立參數(shù)化建模程序。建模程序由主程序和子程序兩部分構(gòu)成。主程序主要包含了點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)模型的建立、相鄰體素之間連接方式、邊界條件的設(shè)置及結(jié)果輸出；子程序中完成了單個體素的建模、材料屬性、梁單元屬性以及網(wǎng)格尺寸的設(shè)置。主程序示意圖如圖8所示，首先，依據(jù)體素布置序列確定體素?cái)?shù)目，依據(jù)其編號確定體素類型；其次，在體素與體素角點(diǎn)之間設(shè)置綁定約束，其目的是將相鄰體素間角點(diǎn)牢固地粘接在一起，保證其在分析過程中不被分開，模擬該類點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)螺接的連接方式。最后，完成邊界條件的設(shè)置并提取計(jì)算結(jié)果。此外，在主程序中，將梁截面寬度、壓縮位移大小、體素幾何尺寸等參數(shù)設(shè)置為變量，以便于后續(xù)參數(shù)化分析。

在選材方面，為了提高基礎(chǔ)體素的制造精度和表面質(zhì)量，本文選擇Durable V2工程樹脂材料，該材料具有低模量、高伸長率以及高沖擊強(qiáng)度等特點(diǎn)，力學(xué)性能參數(shù)如表1所示。使用該材料生產(chǎn)的零件表面光滑，抗變形能力較強(qiáng)。

在單元選擇方面，由于變化參數(shù)較多、計(jì)算量大，模擬時(shí)選擇梁單元進(jìn)行模擬。常用的梁單元有歐拉梁和鐵木辛柯梁兩類。兩者的主要區(qū)別是：歐拉梁主要用于模擬細(xì)長梁，而鐵木辛柯梁既適合細(xì)長梁，也適合短粗梁［38］。本文中由于梁截面寬度參數(shù)變化范圍大，為適應(yīng)不同幾何參數(shù)，統(tǒng)一使用鐵木辛柯梁。

通常情況下，線性分析僅適用小位移、小變形、小撓度、小轉(zhuǎn)角條件。而本文所提出的幾類體素變形時(shí)具有較大的位移和轉(zhuǎn)角，分析時(shí)需要考慮幾何非線性效應(yīng)。圖9中分別計(jì)算了線性和非線性分析下剛性點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。結(jié)果表明，幾何非線性效應(yīng)對點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)力學(xué)行為響應(yīng)影響較大。因此，驗(yàn)證了考慮幾何非線性的必要性。

2. 2算例驗(yàn)證

為驗(yàn)證該參數(shù)化建模方法的準(zhǔn)確性與可靠性，采用該方法新建一個尺寸為4×4×4的八面體點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)分別進(jìn)行拉伸模擬與壓縮模擬，并提取其應(yīng)力-應(yīng)變曲線與文獻(xiàn)中結(jié)果對比，如圖10所示。結(jié)果表明，通過本文的方法計(jì)算的結(jié)果與原文獻(xiàn)［28］1800213計(jì)算結(jié)果基本一致。因此，驗(yàn)證了該參數(shù)化建模方法的可行性。模擬參數(shù)如下：該八面體體素外形尺寸為76. 2 mm，梁截面尺寸為1. 55 mm×1. 08 mm；材料的彈性模量與泊松比分別為6250 MPa和0. 38；梁單元類型為鐵木辛柯梁。

2. 3力學(xué)性能分析結(jié)果

通過上述參數(shù)化分析方法，本小節(jié)給出了3類體素在各幾何參數(shù)下的分析結(jié)果。為了獲得晶格材料的宏觀特性，通常情況下會采用周期性邊界條件來簡化分析模型［39］。然而如引言所述，為使變形結(jié)構(gòu)（如點(diǎn)陣變形機(jī)翼）實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的幾何外形需求，其基礎(chǔ)體素的排布組合方式包括多種可能性。這意味著實(shí)際應(yīng)用中，它并非由單一體素周期性排列組成，可能有著不同的排列組合順序。因此，力學(xué)性能分析中需考慮各體素的宏觀性質(zhì)與體素?cái)?shù)目之間的關(guān)系，故本文不采用周期性邊界條件分析體素的力學(xué)性能。

2. 3. 1剛性體素

為評估體素的力學(xué)性能，需要給出宏觀結(jié)構(gòu)的彈性模量和泊松比的定義方式。本文中，將彈性模量定義為應(yīng)力-應(yīng)變曲線中線性段應(yīng)力與應(yīng)變的比值；泊松比為點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變的比值?？v向應(yīng)變?yōu)辄c(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的壓縮位移；橫向應(yīng)變的提取方式如圖11中圓圈所示，為了避免邊界效應(yīng)，提取位置盡可能選在體素中心。柔性體素和擴(kuò)張?bào)w素的泊松比及彈性模量的提取方式與剛性體素類似。

圖12反映了梁截面寬度對剛性體素變形特征的影響。在體素外形尺寸固定情況下，梁截面寬度由2. 5 mm增加至4. 5 mm。首先，從圖12（b）中可看出，梁截面寬度對彈性模量影響較大并呈正相關(guān)。其次，隨著體素?cái)?shù)目的增加，其彈性模量顯著增加并逐漸趨于定值；其原因是當(dāng)多個體素連接時(shí)，相鄰體素間可形成足夠的連通性，為點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)提供較大的支撐和剛性。最后，討論了梁截面寬度對泊松比的影響。結(jié)果表明，當(dāng)梁截面寬度較小時(shí)，泊松比出現(xiàn)降低趨勢。其原因是當(dāng)梁截面寬度較大時(shí)，模型在壓縮模擬過程中一直處于線彈性變形階段；而當(dāng)梁截面寬度較小時(shí)，應(yīng)力-應(yīng)變曲線中包含非線性彈性變形階段。在該變形階段，橫向應(yīng)變并不隨著縱向應(yīng)變的增加而增加，導(dǎo)致其泊松比降低。

對于本文的3類體素結(jié)構(gòu)，改變梁截面寬度即改變結(jié)構(gòu)的相對密度，圖14為3類體素的相對彈性模量與相對密度之間的關(guān)系，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均用對數(shù)表示。以n=10的剛性點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的模擬結(jié)果為例，相對密度指數(shù)β=1. 068，呈線性趨勢，因此可以驗(yàn)證剛性體素為拉伸主導(dǎo)點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)。

2. 3. 2柔性體素

柔性體素幾何外形參數(shù)包括梁截面寬度、S形梁寬度和S形梁高度。在研究梁截面寬度的影響時(shí)，S形梁寬度和高度分別固定為W=0. 07L 和H=0. 2L，梁截面寬度t=0. 5～4. 5 mm，增量為1 mm；在研究S形梁高度影響時(shí)，S形梁寬度和梁截面寬度固定，分別為W=0. 05L 和t=2. 5 mm，S形梁高度H=0. 1L～0. 2L，增量為0. 05L，如圖15（a）所示；研究S形梁寬度影響時(shí)，S形梁高度和梁截面寬度固定，分別為H=0. 2L和t=2. 5 mm，S形梁寬度W=0. 05L～0. 09L，增量為0. 02L，如圖15（b）所示。

圖16反映了S形梁高度對柔性體素變形特征的影響。由圖16（a）、圖16（b）可知，隨著S形梁高度的增大，不同體素?cái)?shù)目下柔性晶格的應(yīng)力-應(yīng)變曲線變形趨勢基本一致。由此表明，柔性體素的S形梁高度對其變形方式有較大的影響。即通過改變S形梁的高度即可改變?nèi)嵝泽w素的變形特征。

圖16（c）、圖16（d）分別分析了S形梁高度對柔性體素彈性模量與泊松比的影響。由圖16（c）、圖16（d）可以看出，隨著S形梁高度的增加，彈性模量與泊松比均呈減小趨勢。進(jìn)一步表明增加S形梁高度可提高柔性體素的變形能力。此外，當(dāng)S形梁高度較高時(shí)，柔性體素的彈性模量在各體素?cái)?shù)目下均保持一致。其原因是柔性體素中的S形梁可以看作“彈簧”，當(dāng)“彈簧”并聯(lián)時(shí)，其“彈簧”有效剛度為K=K₁+K₂+K₃+…+K_n （K 為并聯(lián)后“彈簧”的剛度系數(shù)；K₁，K₂，K₃，…，K_n分別為每個“彈簧”的剛度系數(shù)）。在該模型中，隨著“彈簧”數(shù)目的增加，其有效面積也在增加，且“彈簧”數(shù)目與有效面積均與其單邊體素?cái)?shù)目的平方成正比。因此，不同體素?cái)?shù)目下柔性體素的彈性模量基本一致。

同時(shí)，對柔性點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的相對模量與相對密度間的關(guān)系進(jìn)行分析計(jì)算，如圖14所示。以W=0. 07L、H=0. 2L、n=10的模型為例，計(jì)算得到相對密度指數(shù)β=1. 895。與剛性點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)所示的線性相關(guān)相比，該類點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)顯示出近似二次相關(guān)，這表明雖然柔性體素屬于拉伸主導(dǎo)晶格，但其變形方式主要以彎曲變形為主。

圖17分別為S形梁寬度及梁截面寬度對柔性體素變形特征的影響。結(jié)果表明，柔性體素的彈性模量受S形梁寬度和梁截面寬度的影響較大。增大S形梁的寬度和減小梁截面寬度均會導(dǎo)致彈性模量的降低，提高結(jié)構(gòu)的變形能力。其原因是S形梁寬度越大、梁截面寬度越小，S形梁的彎曲相比拉伸更占主導(dǎo)地位；而柔性體素的泊松比基本不受S形梁寬度和梁截面大小的影響。

同理，本文進(jìn)一步分析了柔性體素的變形特征。

對柔性體素施加10 mm 位移，變形特征圖如圖18 所示。圖18（b）中Δx、ΔP₁、θ 分別為單側(cè)橫向變形值、梁軸向長度、梁變形彎曲角度。并將不同S形梁高度下Δx、ΔP₁、θ 值與同一梁截面寬度下的剛性體素對比，如表3所示。實(shí)際上，剛性體素是S形梁高度為0L 時(shí)的一種特例。隨著S形梁高度由0L 增加到0. 2L，其Δx由3. 83 mm減小到2. 75 mm、ΔP₁ 從-0. 42 mm變化到-1. 27 mm、其θ 角由10. 24°減小到9. 07°。由此可看出，柔性體素主要通過平面S形梁在軸向的縮短和彎曲來承受外部載荷，在設(shè)計(jì)時(shí)可通過改變S形梁高度來調(diào)控柔性體素的變形特性。

2. 3. 3擴(kuò)張?bào)w素

擴(kuò)張?bào)w素包括內(nèi)凹深度和梁截面寬度2 個變形參數(shù)。研究內(nèi)凹深度的影響時(shí)，將梁截面寬度固定t=2. 5 mm，內(nèi)凹深度d=0. 2L～0. 4L，增量為0. 1L，如圖19（a）所示；研究梁截面寬度的影響時(shí)，將內(nèi)凹深度固定d=0. 3L，梁截面寬度t=0. 5～4. 5 mm，增量為1 mm。

圖19（b）、圖19（c）反映了不同內(nèi)凹深度對擴(kuò)張?bào)w素彈性模量和泊松比的影響。當(dāng)內(nèi)凹深度為0. 2L 時(shí)，其彈性模量最終穩(wěn)定在0. 18 MPa；當(dāng)內(nèi)凹深度為0. 4L時(shí)，其彈性模量最終穩(wěn)定在0. 08 MPa。結(jié)果表明，隨著內(nèi)凹深度的增加，其彈性模量降低，即其剛性降低；且隨著體素?cái)?shù)目的增加，其彈性模量均呈現(xiàn)先增加后穩(wěn)定的趨勢。此外，當(dāng)n=1時(shí)，泊松比隨著內(nèi)凹深度的增加而增大；對于n 大于1的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)，泊松比隨著內(nèi)凹深度d 的增加而減小。其原因是邊界效應(yīng)會導(dǎo)致單個體素的泊松比變化趨勢相反；當(dāng)體素?cái)?shù)目較多時(shí)，隨著內(nèi)凹深度d的減小，連桿長度P₁也隨之減小。較短的連桿會導(dǎo)致折疊角處彎曲變形較小，剛性占主導(dǎo)地位。因此，導(dǎo)致整體結(jié)構(gòu)的有效剛度較高，柔性較低。

圖20（a）、圖20（b）分別為梁截面寬度對擴(kuò)張?bào)w素彈性模量和泊松比的影響。由圖20可知，隨著梁截面寬度的增大，彈性模量與泊松比均呈增加趨勢；較小的梁截面寬度會使擴(kuò)張點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)更易產(chǎn)生彎曲變形。以d=0. 3L、n=10 的模型為例，計(jì)算其相對密度指數(shù)β=1. 963。該體素的相對模量與相對密度同樣顯示出近似二次相關(guān)，這表明擴(kuò)張?bào)w素也屬于以彎曲變形為主的拉伸主導(dǎo)型晶格。

為進(jìn)一步了解擴(kuò)張?bào)w素的變形特征，本文對單個擴(kuò)張?bào)w素在壓縮載荷下的變形特征進(jìn)行分析，如圖21所示。圖21（b）中θ₁、θ₂、Δ_x、ΔP₁ 分別為擴(kuò)張?bào)w素的兩個折疊轉(zhuǎn)角、單側(cè)橫向變形、連桿長度值。當(dāng)梁截面寬度t=2. 5 mm 時(shí)，對不同內(nèi)凹深度下的單個擴(kuò)張?bào)w素施加10mm壓縮位移，其θ₁、θ₂、Δx、ΔP₁值分別如表4所示。與前兩種體素有所不同，負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)在軸向壓縮載荷下，橫向也會壓縮。不同內(nèi)凹深度下θ₁和θ₂角變形前均為125°，變形后均存在不同程度的減小，而ΔP₁ 基本保持不變。綜上所述，擴(kuò)張?bào)w素主要通過面外梁和面內(nèi)梁在節(jié)點(diǎn)處類“彈簧”的彎曲來實(shí)現(xiàn)變形和承載，且可以通過改變內(nèi)凹深度d 來控制體素的負(fù)泊松比特性。

3實(shí)驗(yàn)方法與結(jié)果分析

為了驗(yàn)證其有限元計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，并觀察對比各體素的變形特征，進(jìn)行力學(xué)性能表征實(shí)驗(yàn)研究。

3. 1實(shí)驗(yàn)方法

為了保證打印精度，本文采用低壓立體光固化技術(shù)（Low Force Stereolithography，LFS），該技術(shù)的特點(diǎn)是打印過程中施加在零件上的剝離力較小，可以簡化支撐，利于移除。具體地，3D打印機(jī)型號為Form 3L，該打印儀器的水平精度為25 μm，軸向精度為25～300 μm。每次打印完成后需要后處理，首先需在無水乙醇（質(zhì)量分?jǐn)?shù)≥99. 7%）中將模型清洗20～30 min；然后放入配套的固化機(jī)（Form Crue L）中，在60 ℃下固化1 h。

本文對由3種基礎(chǔ)體素裝配的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)進(jìn)行單軸壓縮實(shí)驗(yàn)并分析其應(yīng)力-應(yīng)變曲線。實(shí)驗(yàn)中采用最大載荷為1 t的WDW-10型電子萬能試驗(yàn)機(jī)，該試驗(yàn)機(jī)在實(shí)驗(yàn)過程中可實(shí)時(shí)顯示力-位移的實(shí)驗(yàn)曲線。在實(shí)驗(yàn)開始前，對模型以及試驗(yàn)機(jī)進(jìn)行對中處理。實(shí)驗(yàn)應(yīng)變速率為1 mm/min，每個點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)重復(fù)3組實(shí)驗(yàn)，每次實(shí)驗(yàn)完成后均卸載靜置10 min，使模型盡可能恢復(fù)到加載前狀態(tài)。

3. 2結(jié)果分析

圖22分別為當(dāng)梁截面寬度t=2. 5 mm 時(shí)、體素?cái)?shù)目n=1～3時(shí)，剛性體素的變形前、后的實(shí)驗(yàn)圖對比圖及應(yīng)力-應(yīng)變曲線示意圖。表5為剛性點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)、模擬的彈性模量的數(shù)值對比；彈性模量均定義為線彈性變形階段應(yīng)力與應(yīng)變的比值，實(shí)驗(yàn)值對3次實(shí)驗(yàn)結(jié)果取平均。圖23為當(dāng)S形梁寬度W=0. 07L、S形梁高度H=0. 2L、梁截面寬度t=2. 5 mm、體素?cái)?shù)目n=1～3時(shí)，柔性體素的變形前、后的實(shí)驗(yàn)圖及應(yīng)力-應(yīng)變曲線示意圖。表6為柔性點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)、模擬的彈性模量數(shù)值對比。圖24 為當(dāng)內(nèi)凹深度d=0. 3L、梁截面寬度t=2. 5 mm、體素?cái)?shù)目n=1～3時(shí)，擴(kuò)張?bào)w素的變形前、后的實(shí)驗(yàn)圖及應(yīng)力-應(yīng)變曲線示意圖。表7為擴(kuò)張點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)、模擬的彈性模量數(shù)值對比。

分析各體素下應(yīng)力-應(yīng)變曲線，可以觀察到以下3個現(xiàn)象：①部分模型的應(yīng)力-應(yīng)變曲線結(jié)果顯示，在模型還未產(chǎn)生應(yīng)變時(shí)，已產(chǎn)生接觸應(yīng)力；②所有模型的應(yīng)力-應(yīng)變曲線中均可看出在第2次和第3次加載時(shí)，應(yīng)力-應(yīng)變中會先出現(xiàn)一段平臺期；③隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，平臺期的增量逐漸減小。

通過觀察和分析實(shí)驗(yàn)件，得出以下解釋。現(xiàn)象①產(chǎn)生的原因是支撐拆卸后表面未打磨光滑，導(dǎo)致在未施加位移時(shí)已產(chǎn)生部分應(yīng)力；現(xiàn)象②產(chǎn)生的原因是在第1次壓縮完成后，雖然有靜置處理，但模型中的裝配間隙已無法恢復(fù)，導(dǎo)致后兩次實(shí)驗(yàn)初始壓縮時(shí)無載荷響應(yīng)；現(xiàn)象③產(chǎn)生的原因是隨著壓縮次數(shù)的增加，裝配間隙逐漸穩(wěn)定，導(dǎo)致平臺期的增量逐漸減小。

此外，本文將3次實(shí)驗(yàn)結(jié)果取平均值，計(jì)算其彈性模量。結(jié)果表明，模擬數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)趨勢基本一致，但是在數(shù)值上有較大差別，模擬數(shù)據(jù)均比實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)高一個數(shù)量級。該問題主要與材料特性、固化工藝等有關(guān)。例如，本文選取的Durable V2工程樹脂材料，是典型的光敏樹脂材料。使用該材料生產(chǎn)的零件具有精度高、表面質(zhì)量好及成型速度快等優(yōu)點(diǎn)。然而，光敏樹脂在使用過程中仍存在一些問題，如成本高、存儲穩(wěn)定性差［42-43］等，長期不使用的光敏樹脂易硬化；其次，光敏樹脂固化成型后的零件力學(xué)性能并不穩(wěn)定，其固化效率及放置時(shí)間均會對零件力學(xué)性能產(chǎn)生較大影響。固化效率的差異會導(dǎo)致同一批次的體素元件具有不同的彈性模量；在本文中，受打印機(jī)尺寸限制，實(shí)驗(yàn)樣件由多批次打印完成，而固化后放置時(shí)間的差異導(dǎo)致不同批次的體素也具有不同的彈性模量。此外，實(shí)驗(yàn)中部分體素連接出現(xiàn)松動和脫落，且不同的體素表面的平整度差異較大，導(dǎo)致體素內(nèi)部出現(xiàn)了裝配應(yīng)力，也會對實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生影響。

4結(jié)論

針對增材制造成型工藝尺寸、精度、成本難以協(xié)調(diào)和點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)力學(xué)性能分布單一等問題，提出了基于可逆裝配連接方式的力學(xué)超材料結(jié)構(gòu)及3種基礎(chǔ)體素的結(jié)構(gòu)形式，并通過參數(shù)化分析方法對3類體素的幾何特征參數(shù)與力學(xué)性能之間的影響進(jìn)行了詳細(xì)分析。得出以下結(jié)論：

1）幾何非線性效應(yīng)對體素力學(xué)性能影響較大，在各體素的模擬計(jì)算中均應(yīng)考慮幾何非線性效應(yīng)。

2）3種體素中剛性體素彈性模量最高，整體呈現(xiàn)為正泊松比特性。這類體素通過直梁的拉伸或壓縮抵抗外部載荷，其相對模量與相對密度成線性相關(guān)，是拉伸主導(dǎo)型體素。

3）柔性體素彈性模量比剛性體素低一個數(shù)量級，泊松比可依據(jù)S形梁高度進(jìn)行調(diào)整。其主要通過S形梁的軸向縮短和少量彎曲響應(yīng)外部載荷；且相對模量與相對密度成二次相關(guān)，即柔性體素屬于拉伸主導(dǎo)晶格，但其變形方式主要以彎曲變形為主。

4）擴(kuò)張?bào)w素的彈性模量與柔性體素?cái)?shù)量級相當(dāng)，整體呈現(xiàn)負(fù)泊松比特性。該類體素通過面外梁和面內(nèi)梁在節(jié)點(diǎn)處類“彈簧”的彎曲來實(shí)現(xiàn)變形和承載；相對模量與相對密度成二次相關(guān)，是以彎曲變形為主的拉伸主導(dǎo)型晶格。

5）3種體素在剛度和泊松比的力學(xué)性能方面差異較大，可以作為復(fù)雜點(diǎn)陣系統(tǒng)的基礎(chǔ)體素，未來可通過對體素分布序列的優(yōu)化，滿足不同應(yīng)用場景需求下的力學(xué)性能分布。

6）實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與模擬數(shù)據(jù)趨勢一致，但模擬數(shù)據(jù)均比實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)基本高一個數(shù)量級。其原因是光敏樹脂固化成型后的零件力學(xué)性能并不穩(wěn)定，其固化效率及固化后放置時(shí)間均會對零件力學(xué)性能產(chǎn)生較大影響。