一道未定式極限習(xí)題的解法研究

摘要：極限是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個重點，是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)與理論工具，但基于極限問題的形式多樣性，因此它也是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個難點，尤其是未定式極限的求解方法更是靈活多樣。00型未定式極限常用的方法主要有洛必達法則、等價無窮小的代換等，∞∞型未定式極限常用的方法除了洛必達法則外，還要考慮使用重要極限、無窮大與無窮小的轉(zhuǎn)化、重要結(jié)論等。本文針對一道∞∞型的未定式極限習(xí)題，利用洛必達法則及其與多種形式的三角恒等變換的結(jié)合給出了六種解法，并對每一種解法進行了詳細的分析。最后，總結(jié)在該題中得到的結(jié)論，旨在提高學(xué)生的計算能力和發(fā)散思維。

關(guān)鍵詞：未定式極限；洛必達法則；三角恒等變換；發(fā)散思維

AnalysisofAnIndeterminateformLimitExercise

YouJunyan

SchoolofMathematicsandStatistics，HezeUniversityShandongHeze274000

Abstract：Limitsareanimportantfocusinthestudyofadvancedmathematics，anditisanimportantfoundationandtheoreticaltoolforstudents'subsequentlearning.However，duetothediverseformsoflimitproblems，itisalsoadifficultpointforstudents，especiallythemethodsofsolvingindeterminateformsoflimitsareflexibleanddiverse.Thecommonlyusedmethodsforsolving00tepyindeterminatelimitsareL'Hopital'sruleandthesubstitutionofequivalentinfinitesimals，etc.InadditiontoL'Hopital'srule，methodsforsolving∞∞tepyindeterminatelimitsalsoincludetheuseofimportantlimits，thetransformationbetweeninfinityandinfinitesimals，andimportantconclusions，etc.Inthispaper，foranexerciseof∞∞tepyindeterminateformlimit，sixsolutionsaregivenbyusingL'Hospital'sruleanditscombinationwithvariousformsoftrigonometricidentitytransformation，andeachsolutionisanalyzedindetail.Finally，theconclusionisdrawntoimprovethestudents'calculationabilityanddivergentthinking.

Keywords：Indeterminateformlimit；L'Hospital'srule；TrigonometricidentityTransformation；Divergentthinking

1概述

在極限的教學(xué)過程中，一方面，教師要強調(diào)理論知識與方法的重要性，有效引導(dǎo)學(xué)生掌握極限的多種求解方法，提升學(xué)生的計算能力；另一方面，教師還要重點培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，尤其是創(chuàng)新思維的核心組成部分——發(fā)散思維。發(fā)散思維的訓(xùn)練不僅可以夯實學(xué)生的基礎(chǔ)知識，拓寬學(xué)生的知識層面，還可以提升學(xué)生解決問題的能力及綜合應(yīng)用知識的能力，最終實現(xiàn)學(xué)校學(xué)以致用的培養(yǎng)目標(biāo)［12］。

未定式極限是極限問題中常見而且重要的一類問題，其求解方法靈活多樣，對于學(xué)生綜合應(yīng)用知識的能力要求極高。本文主要針對一道∞∞型未定式極限的習(xí)題展開研究，詳細分析探討了其六種解法。在一題多解的思想之下展現(xiàn)了未定式極限的綜合性及復(fù)雜性，幫助學(xué)生更好地理解洛必達法則的使用條件，培養(yǎng)學(xué)生敢于思考、勇于解決問題的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提升學(xué)生的創(chuàng)新思維。同時，在不同解法中結(jié)合使用多個三角恒等變換式將問題轉(zhuǎn)化，可以培養(yǎng)學(xué)生細致嚴謹?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，提升學(xué)生解決問題的發(fā)散思維。

2問題分析

本文分析的問題出自同濟大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院編寫的教材《高等數(shù)學(xué)》（第八版·上冊）中第134頁習(xí)題32中第1題的第8小題，題目為用洛必達法則求極限limx→π2tanxtan3x［3］。

在此值得一提的是，學(xué)習(xí)洛必達法則之前，同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)過運用等價無窮小的代換的方法來求解未定式極限，尤其是對x→0時，tanx～x記憶深刻，但是在此題求解過程中若盲目使用此等價無窮小的代換則會導(dǎo)致錯誤結(jié)果，具體如下：

錯解：limx→π2tanxtan3x=limx→π2x3x=13。

錯因分析：等價無窮小的代換在00型極限問題中才能使用［4］，而在本題中當(dāng)x→π2時，tanx→+∞，tan3x→+∞，故本題不是00型極限，且x與3x此時也不是無窮小量。因此x→π2時，把tanx等價代換為x、tan3x等價代換為3x是錯誤的。

顯然，這是一道與三角函數(shù)有關(guān)的∞∞型的未定式極限問題，可以考慮使用洛必達法則［5］，但不能直接使用等價無窮小的代換。接下來，本文將根據(jù)題目特點，在洛必達法則使用的基礎(chǔ)上，結(jié)合多種形式的三角恒等變換分別給出六種解法，并對每種解法進行詳細的分析，旨在提升學(xué)生的發(fā)散思維。

3解法研究

解法一：單純使用洛必達法則，不需要nL1yhhx2Gt8SqJ2MB6YomA==三角恒等變換，然后運用逆向思維在過程中找特點，在求解中找結(jié)論。但此方法對學(xué)生思維能力的要求較高，計算能力和思考能力較強的同學(xué)可以選擇使用，并能輕松找到答案。求解過程如下：

limx→π2tanxtan3x∞∞型，使用洛必達法則

=limx→π2sec2x3sec23x∞∞型，使用洛必達法則

=limx→π22sec2xtanx18sec23xtan3x

在第二個等號處如果繼續(xù)使用洛必達法則，則會出現(xiàn)如下煩瑣的結(jié)果：

原式=limx→π22sec2xtanx18sec23xtan3x∞∞型，使用洛必達法則

=19limx→π22sec2xtan2x+sec4x6sec23xtan23x+3sec43x

結(jié)果依然是∞∞型極限，但是不能再繼續(xù)使用洛必達法則往下求解，否則會出現(xiàn)更煩瑣的表達式而求不出結(jié)果，這里只能說明洛必達法則不是萬能的，在此它失效了，并不能說明此題是無解的［6］。

因此，在解法一中對于第二個等號處的結(jié)果，要求學(xué)生具有敏銳的觀察力和靈活的思維方式，比較第二個等號和原式可知，表達式出現(xiàn)了循環(huán)，那么要使等號恒成立，則只有除原式外剩余部分是等于1的，即有l(wèi)imx→π2sec2x9sec23x=1，再比較這個小結(jié)論和第一個等號可得limx→π2sec2x3sec23x=3，從而可得：limx→π2tanxtan3x=limx→π2sec2x3sec23x=3。

解法二：洛必達法則與三角恒等變換secx=1cosx的結(jié)合使用［7］，雖然步驟看起來有點多，但是此方法簡單易想，是大多數(shù)學(xué)生首選的方法。求解如下：

limx→π2tanxtan3x∞∞型，使用洛必達法則

=limx→π2sec2x3sec23xsecx=1cosx

=limx→π2cos23x3cos2x00型，使用洛必達法則

=limx→π2-6cos3xsin3x-6cosxsinx當(dāng)x→π2時，sin3x→-1，sinx→1

=-limx→π2cos3xcosx00型，使用洛必達法則

=-limx→π2-3sin3x-sinx當(dāng)x→π2時，sin3x→-1，sinx→1

=3

解法三：在解法二的基礎(chǔ)上，判斷出解法二的第三個等號處的表達式是00型的，此時不對sin3x與sinx取值，而是直接使用洛必達法則。求解如下：

原式=limx→π2-6cos3xsin3x-6cosxsinx00型，使用洛必達法則

=limx→π23（cos23x-sin23x）cos2x-sin3x（當(dāng)x→π2時，cos3x→0，cosx→0，且sin3x→-1，sinx→1）

=3（0-1）0-1

=3

解法四：在解法二的基礎(chǔ)上，對解法二中第三個等號處的sin3x與sinx先不取值，而是對表達式直接使用二倍角公式進行三角恒等變換，然后再使用洛必達法則。求解如下：

原式=limx→π2-6cos3xsin3x-6cosxsinx（2cos3xsin3x=sin6x，2cosxsinx=sin2x）

=limx→π2sin6xsin2x00型，使用洛必達法則

=limx→π26cos6x2cos2x（當(dāng)x→π2時，cos6x→-1，cos2x→-1）

=3

解法五：注意到題目中的表達式是和正切函數(shù)有關(guān)的，則先利用三角關(guān)系式tanx=sinxcosx將函數(shù)進行三角恒等變換，再結(jié)合使用洛必達法則。求解如下：

limx→π2tanxtan3xtanx=sinxcosx

=limx→π2sinxcos3xcosxsin3x當(dāng)x→π2時，sinx→1，sin3x→-1

=-limx→π2cos3xcosx00型，使用洛必達法則

=-limx→π2-3sin3x-sinx（化簡）

=-limx→π23sin3xsinx當(dāng)x→π2時，sinx→1，sin3x→-1

=-3·（-1）1

=3

解法六：在解法五的基礎(chǔ)上，對于解法五中第一個等號處的sin3x與sinx先不取值，而是直接使用三角函數(shù)中的積化和差公式sinxcos3x=sin4x-sin2x，cosxsin3x=sin4x+sin2x，對第一個等號處的表達式做三角恒等變換，然后結(jié)合使用洛必達法則進行求解。求解如下：

原式=limx→π2sinxcos3xcosxsin3x（sinxcos3x=sin4x-sin2x，cosxsin3x=sin4x+sin2x）

=limx→π2sin4x-sin2xsin4x+sin2x00型，使用洛必達法則

=limx→π24cos4x-2cos2x4cos4x+2cos2x（當(dāng)x→π2時，cos4x→1，cos2x→-1）

=4+24-2

=3

4教學(xué)總結(jié)

一題多解的訓(xùn)練可以實現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的目標(biāo)，通過對本文中這道具有代表性的習(xí)題六種解法的具體分析研究，下面結(jié)合例題把幾點想法總結(jié)如下：

（1）對于與三角函數(shù)有關(guān)的未定式極限問題，結(jié)合使用洛必達法則與三角恒等變換可以大大提高解題效率。

例1：求極限limx→0tanx-xx2sinx。

解：這是一道與三角函數(shù)有關(guān)的00型未定式極限，它可以有多種解法，但是在求解過程中若結(jié)合使用洛必達法則、等價無窮小的代換及三角恒等變換可以大大提高計算效率，相比其他方法這是較為簡便的一種方法。求解如下：

limx→0tanx-xx2sinx00型，當(dāng)x→0時，sinx～x

=limx→0tanx-xx300型，使用洛必達法則

=limx→0sec2x-13x2（sec2x-1=tan2x）

=limx→0tan2x3x2（當(dāng)x→0時，tanx～x）

=13

（2）洛必達法則失效的情形。洛必達法則不是萬能的，遇到一些其解決不了的問題，并不能說明極限不存在，只能說明此方法失效了，需要尋找新的合適的方法重新求解［8］。洛必達法則失效的情形主要有以下幾種：

失效情形一：當(dāng)使用洛必達法則后極限表達式中分子或分母的導(dǎo)數(shù)變得很繁雜時，洛必達法則失效。

例如，解法一中的分析：

原式=limx→π22sec2xtanx18sec23xtan3x∞∞型，使用洛必達法則

=19limx→π22sec2xtan2x+sec4x6sec23xtan23x+3sec43x

失效情形二：當(dāng)極限表達式不再是00型或∞∞型未定式極限時，洛必達法則失效。

例2：求極限limx→1x3-3x+2x3-x2-x+1。

錯解：limx→1x3-3x+2x3-x2-x+1=limx→13x2-33x2-2x-1=limx→16x6x-2=limx→166=1。

此時，limx→06x6x-2已不再是00型未定式極限，不能繼續(xù)使用洛必達法則。

正解：limx→1x3-3x+2x3-x2-x+1=limx→13x2-33x2-2x-1=limx→16x6x-2=64=32。

失效情形三：當(dāng)使用洛必達法則后，判斷出極限不存在或極限表達式中部分表達式極限不存在，則洛必達法則失效。

例3：求極限limx→∞x+cosxx+sinx。

錯解：使用洛必達法則求得limx→∞x+cosxx+sinx=limx→∞1-sinx1+cosx，此時sinx與cosx的極限都不存在，洛必達法則失效。

正解：先利用無窮大與無窮小的關(guān)系將極限表達式進行恒等變形，然后使用無窮小量的運算性質(zhì)，計算得到limx→∞x+cosxx+sinx=limx→∞1+1xcosx1+1xsinx=1。

失效情形四：當(dāng)使用洛必達法則后極限表達式出現(xiàn)循環(huán)形式時，洛必達法則失效。

例4：求極限limx→+∞x1+x2。

錯解：使用洛必達法則求得limx→+∞x1+x2=limx→+∞1+x2x=limx→+∞x1+x2，此時極限表達式出現(xiàn)循環(huán)形式，洛必達法則失效。

正解：利用無窮大與無窮小的關(guān)系，計算得到limx→+∞x1+x2=limx→+∞11x2+1=1。

（3）對于00型未定式極限，在結(jié)合使用等價無窮小的代換時，一定要注意代換是否成立，否則容易走進代換誤區(qū)，導(dǎo)致錯誤結(jié)果的出現(xiàn)。本文中涉及的代換誤區(qū)主要有：

誤區(qū)1：參見上述問題分析中提到的誤解，在此不再贅述。

誤區(qū)2：沒有理解等價無窮小的代換的兩個量首先都需要是無窮小量，否則代換錯誤。例如，在解法四中的第二個等號處，若使用等價無窮小的代換得到原式=limx→π2sin6xsin2x=limx→π26x2x=3，雖然結(jié)果相同，但卻是錯誤解法。錯解的原因是當(dāng)x→π2時，sin6x與sin2x是無窮小量，但此時6x與2x卻不是無窮小量。因此當(dāng)x→π2時，sin6x不能代換為6x，sin2x不能代換為2x。

例5：求極限limx→πsin3xtan5x。

錯解：使用等價無窮小的代換，計算得到limx→πsin3xtan5x=limx→π3x5x=35。

錯因分析：當(dāng)x→π時，雖然sin3x與tan5x是無窮小量，但此時3x與5x卻不是無窮小量。因此當(dāng)x→π時，sin3x不能代換為3x，tan5x不能代換為5x。

正解：這是一道00型未定式極限，直接利用洛必達法則，計算得到limx→πsin3xtan5x=limx→π3cos3x5sec25x=-35。

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［8］孫巧閣.關(guān)于洛必達法則的幾點思考［J］.科學(xué)咨詢（科技管理），2021（03）：9697.

基金項目：OBE理念下大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)“課程思政”體系的構(gòu)建研究（編號：230713003307000）

作者簡介：油俊彥（1987—），女，漢族，山東菏澤人，碩士，講師，從事高等數(shù)學(xué)教育與研究。