初中生數(shù)學(xué)逆向思維能力的培養(yǎng)策略

【摘要】逆向思維能力是思維能力的重要組成部分，教師需要在教學(xué)過程中充分重視逆向思維能力的培養(yǎng)，采取有效的措施，幫助學(xué)生提高創(chuàng)新能力、自主學(xué)習(xí)能力、邏輯推理能力，突破思維定式，使學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)難題時(shí)，能夠通過舉一反三、轉(zhuǎn)換思想解決問題.文章主要從培養(yǎng)初中生數(shù)學(xué)逆向思維能力的原則與策略兩個(gè)方面展開探究，旨在引導(dǎo)學(xué)生建立逆向思維的意識(shí)，有效培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力.

【關(guān)鍵詞】初中生；數(shù)學(xué)教學(xué)；逆向思維能力；培養(yǎng)策略

引 言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《新課標(biāo)》）中指出，教師應(yīng)在教學(xué)中，教會(huì)學(xué)生如何用數(shù)學(xué)的思維方法，運(yùn)用數(shù)學(xué)與其他相關(guān)學(xué)科的知識(shí)，綜合地、有邏輯地分析問題，提升學(xué)生的思維能力，以及逐漸形成“會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”的核心素養(yǎng).因此，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)提高對(duì)學(xué)生思維能力培養(yǎng)的重視程度，通過培養(yǎng)學(xué)生良好的逆向思維，使其能夠在日后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中更好地掌握知識(shí)與解決實(shí)際問題，促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)效性的提升.

一、培養(yǎng)初中生數(shù)學(xué)逆向思維能力的原則

為保證初中數(shù)學(xué)逆向思維能力培養(yǎng)的成效，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)在教學(xué)過程中遵循以學(xué)生為主體、引思結(jié)合和循序漸進(jìn)原則，設(shè)計(jì)能夠突出學(xué)生主體地位和引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究的教學(xué)活動(dòng)，并注意控制活動(dòng)設(shè)計(jì)的難度，由簡(jiǎn)到難，才能夠真正培養(yǎng)學(xué)生良好的逆向思維能力，為學(xué)生的未來發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

（一）以學(xué)生為主體原則

逆向思維能力是一種內(nèi)在的品質(zhì)和素養(yǎng)，需要教師在教學(xué)中，充分尊重學(xué)生的課堂主體地位，以激發(fā)和轉(zhuǎn)變學(xué)生的內(nèi)在思維為主，避免直接向?qū)W生灌輸生硬、復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí).結(jié)合以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)可知，知識(shí)是能夠通過直接講解傳授給學(xué)生的，然而，思維能力的培養(yǎng)卻并不是通過講解如何進(jìn)行逆向思維思考、如何轉(zhuǎn)變思維方式就能夠?qū)崿F(xiàn)培養(yǎng)的，而是需要學(xué)生在接受過專項(xiàng)的思維訓(xùn)練通過自我建構(gòu)獲得的.因此，在培養(yǎng)初中生逆向思維能力時(shí)，教師需要把握好師生角色定位，將自己作為課堂教學(xué)的組織者、引導(dǎo)者和輔助者，而將學(xué)生定位為課堂的學(xué)習(xí)行為主體與活動(dòng)主體，給予學(xué)生充足的思考機(jī)會(huì)，從而有效培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力.

（二）引思結(jié)合原則

引思結(jié)合原則強(qiáng)調(diào)，教師應(yīng)在課堂教學(xué)和作業(yè)設(shè)計(jì)中，通過引導(dǎo)學(xué)生思考與探究，提升學(xué)生的逆向思維能力.逆向思維能力是可以因生活經(jīng)歷、學(xué)習(xí)經(jīng)歷而無師自通的，然而，如果完全依靠學(xué)生的個(gè)人經(jīng)歷形成逆向思維效率過低，也不利于實(shí)現(xiàn)班級(jí)全體學(xué)生的共同進(jìn)步.而為了能夠使班級(jí)全體學(xué)生均能夠在逆向思維能力上取得進(jìn)步和提升，教師需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)科學(xué)的教學(xué)活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的思維潛能，讓所有學(xué)生均能夠擁有逆向思維的意識(shí)和能力.而為了實(shí)現(xiàn)這一教學(xué)目標(biāo)，教師就不能夠在教學(xué)中完全依賴學(xué)生的自覺與非自覺發(fā)展，而是需要教師有目的和意識(shí)地將逆向思維培養(yǎng)融入課堂教學(xué)中，從而將學(xué)生帶到逆向思維的環(huán)境中去訓(xùn)練，為學(xué)生形成良好的逆向思維奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

（三）循序漸進(jìn)原則

循序漸進(jìn)原則強(qiáng)調(diào)教師在培養(yǎng)初中生逆向思維能力時(shí)不能急于求成，而是要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平和接受能力，設(shè)計(jì)由淺入深、由易到難的教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生在逐步增加的難度和挑戰(zhàn)中不斷提升逆向思維能力.在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)在學(xué)生掌握基本數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過拓展訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生理解逆向思維的概念，以及如何在數(shù)學(xué)解題、學(xué)習(xí)過程中應(yīng)用逆向思維.接著，教師需要設(shè)計(jì)一些簡(jiǎn)單的逆向思維問題，讓學(xué)生在問題解決的過程中逐步熟悉這種思維方式，并隨著學(xué)生對(duì)逆向思維的理解和應(yīng)用能力的提高，逐步增加問題的難度和復(fù)雜性，設(shè)計(jì)需要多步驟逆向推理的問題，從而進(jìn)一步提升學(xué)生的逆向思維能力.

二、初中生數(shù)學(xué)逆向思維能力的培養(yǎng)策略

為了培養(yǎng)初中生良好的逆向思維能力，教師在教學(xué)時(shí)，首先需要明確什么是逆向思維，從教學(xué)內(nèi)容中選取能夠融入逆向思維培養(yǎng)的關(guān)鍵點(diǎn)，以關(guān)鍵點(diǎn)為基礎(chǔ)組織各項(xiàng)教學(xué)實(shí)踐活動(dòng).除此之外，教師也可以組織逆向思維專項(xiàng)訓(xùn)練，通過選取經(jīng)典的逆向思維訓(xùn)練習(xí)題、分類訓(xùn)練等方式，有效提升學(xué)生逆向思維訓(xùn)練的質(zhì)量和成效.

（一）創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性

思維能力的發(fā)展對(duì)于部分學(xué)生而言較為困難，原因在于學(xué)生缺少對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，在思考過程中常常感到枯燥和乏味，導(dǎo)致逆向思維能力的培養(yǎng)成效不夠明顯.為了解決這一問題，教師可以創(chuàng)設(shè)具有趣味性、探究性、引導(dǎo)性的教學(xué)情境，激發(fā)和調(diào)動(dòng)學(xué)生的思考與探究欲望，使其更加積極主動(dòng)地進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài).在實(shí)際教學(xué)中，不同的學(xué)習(xí)活動(dòng)能夠達(dá)成的教學(xué)效果與培養(yǎng)的學(xué)習(xí)能力也不同，需要教師結(jié)合逆向思維能力培養(yǎng)的這一要點(diǎn)，巧妙地設(shè)計(jì)教學(xué)情境.

例如，在對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維訓(xùn)練時(shí)，教師可以通過一道經(jīng)典的逆向思維邏輯訓(xùn)練題“李白買酒”創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境.在教學(xué)開始時(shí)，教師可以邀請(qǐng)學(xué)生舉手回答問題，說一說知道的關(guān)于詩人李白的文化常識(shí)知識(shí)，并對(duì)學(xué)生回答的知識(shí)進(jìn)行總結(jié)，通過播放PPT畫面，引出詩人李白被稱為“詩仙”和“酒仙”.接著，教師出示李白買酒這一情境：“李白街上走，提壺去買酒.遇店加一倍，見花飲一斗（八口）.三遇店和花，喝光壺中酒.試問酒壺中，原有多少酒？”要求學(xué)生認(rèn)真讀題，嘗試用自己的話解釋這個(gè)問題.學(xué)生在解答這個(gè)問題時(shí)，需要使用逆向思維，從“喝光壺中酒”可以得知，李白的酒壺中最后已經(jīng)沒有酒了，所以最后酒壺中的斗數(shù)為零，那么當(dāng)詩人第三次遇到花時(shí)，飲一斗后剩0口酒，所以在見花前，壺中有0+8=8口酒，第三次遇店時(shí)，加一倍后變?yōu)?口酒，所以在遇店前壺中有8÷2=4口酒，以此類推，最終得出酒壺中最初有7口酒的答案.

學(xué)生在小學(xué)、初中階段已經(jīng)接觸過詩人李白的詩句，部分學(xué)生知道李白愛酒，因此，以“李白買酒”為基礎(chǔ)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境符合初中生認(rèn)知，能夠調(diào)動(dòng)初中生的思考和探究興趣.實(shí)際教學(xué)中，為了更清晰地呈現(xiàn)的思考過程，教師可以首先寫出正向推導(dǎo)的順序，列出已知條件并畫出推導(dǎo)過程，再通過逆向思維從最后酒壺中沒有酒向前推，從而加深學(xué)生對(duì)逆向思維這一“反其道而思之”思考方式的理解.

（二）學(xué)習(xí)公式定理，養(yǎng)成良好思維習(xí)慣

公式和定理是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要組成部分，通過在公式定理的教學(xué)過程中融入逆向思維培養(yǎng)，有利于學(xué)生養(yǎng)成良好的逆向思維習(xí)慣，并在日后的學(xué)習(xí)過程中也能夠應(yīng)用逆向思維理解新的公式和定理，提升學(xué)習(xí)效率.

1.在定理教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維

相較小學(xué)數(shù)學(xué)，初中數(shù)學(xué)的教學(xué)難度有了明顯的提升，不僅給學(xué)生增加了一定的學(xué)習(xí)壓力，也使得學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的困難逐漸增加.這一情形下，部分學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中存在的基礎(chǔ)薄弱的問題逐漸暴露，嚴(yán)重影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)成效，而數(shù)學(xué)的概念和定理作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最為基礎(chǔ)的部分，教師可以將逆向思維引入概念定理教學(xué)中，在引導(dǎo)學(xué)生通過正向思維思考的基礎(chǔ)上，運(yùn)用逆向思維從不同的角度看待數(shù)學(xué)定理和概念，從而在有效培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的同時(shí)，也能夠鞏固學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，提升教學(xué)成效.

例如，人教版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)“平行線”一節(jié)課的教學(xué)中，本節(jié)課的主要目標(biāo)是讓學(xué)生理解平行線的概念，以及掌握平行線的性質(zhì)和判定方法，其中，平行線的概念作為基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，對(duì)學(xué)生學(xué)會(huì)如何判定平行線具有重要意義，而為了能夠讓學(xué)生更好地掌握平行線的概念，教師可以在教學(xué)中融入逆向思維，通過給學(xué)生提供錯(cuò)誤命題，引導(dǎo)學(xué)生從思考與質(zhì)疑中真正理解何為平行線.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以首先提出問題，在生活中的哪些地方見到過平行線，以及平行線有哪些特點(diǎn)，學(xué)生經(jīng)過思考，會(huì)給出“平行”“不相交”等答案.接著，教師可以故意給出錯(cuò)誤命題：“只要兩條線不相交，那么這兩條線就是平行線.”為了驗(yàn)證這個(gè)命題是否正確，學(xué)生需要思考，不相交但也不平行的兩條線是什么樣子的，很快，部分學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，如果將兩條線脫離了平面而放到三維空間中，便會(huì)出現(xiàn)既不相交也不平行的兩條直線.基于學(xué)生的這一發(fā)現(xiàn)和認(rèn)知，教師可在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)平行線概念中“在同一平面內(nèi)”描述的重要性，加深學(xué)生對(duì)平行線概念的認(rèn)識(shí)和理解.

上述教學(xué)中，教師通過提出錯(cuò)誤的命題引導(dǎo)學(xué)生從逆向展開思考，不僅有利于學(xué)生掌握平行線的基礎(chǔ)概念知識(shí)，為日后平行線的性質(zhì)、證明等的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，還有利于培養(yǎng)學(xué)生思考與質(zhì)疑的能力，加深學(xué)生和教師之間在思想層面上的互動(dòng)與交流，有效提升教學(xué)成效和質(zhì)量.

2.在公式教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維

數(shù)學(xué)公式通常都是恒等式，可以從左邊到右邊計(jì)算，也可以從右邊向左邊推導(dǎo).在正向思維為主的教學(xué)模式下，教師往往通過在課堂中布置具有代表性的例題，讓學(xué)生在例題解決的過程中逐步推導(dǎo)出公式，而在教學(xué)中融入了逆向思維后，教師可以通過先為學(xué)生介紹公式，再要求學(xué)生將公式逆向應(yīng)用于問題解決中的教學(xué)方法，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)公式的理解，養(yǎng)成學(xué)生舉一反三的思維習(xí)慣.

通過這樣的教學(xué)方法，學(xué)生將不僅能夠在學(xué)習(xí)中跳出固定的思維模式，還能從正向和逆向兩個(gè)角度理解和應(yīng)用公式解決數(shù)學(xué)問題，從而有效提升自身的逆向思維能力以及對(duì)公式的理解和應(yīng)用能力.

（三）加強(qiáng)習(xí)題訓(xùn)練，提高學(xué)生思維水平

在培養(yǎng)學(xué)生逆向思維時(shí)，教師可以借助一些具有典型特征的習(xí)題，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的逆向思維訓(xùn)練與提高學(xué)生的思維水平.在習(xí)題講解過程中，教師可以為學(xué)生介紹審題方法、梳理解題思路以及教會(huì)學(xué)生如何通過逆向思維解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題.

例如，在解決下面這道問題時(shí)，教師便可以應(yīng)用逆向思維法幫助學(xué)生解決問題.

例1 如圖1，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的圓O分別交AC，BC于點(diǎn)D和E，連接OD，OE，DE.

在解答第一個(gè)問題時(shí)，若想求證BE=CE，就需要證明E為BC的中點(diǎn)，而根據(jù)題目中給出的條件AB=AC，可以連接AE，利用三線合一定理證明.在解答第二個(gè)問題中的第一小問時(shí)，求△ABC的周長(zhǎng)可以由中點(diǎn)，利用斜中定理求解；解答第二個(gè)小問時(shí)，則可以由菱形的性質(zhì)，先推出∠B的度數(shù)，再通過論證∠CED=∠B，得出∠CED的度數(shù).

實(shí)際解題過程中，教師要先教會(huì)學(xué)生如何審題，接著，引導(dǎo)學(xué)生從逆向思維解決這道復(fù)雜的三角形證明問題.學(xué)生需要認(rèn)真仔細(xì)地閱讀題目，了解題目中給出的條件和要求，理解需要解決的問題，并在圖形上標(biāo)注出所有已知的信息，便于學(xué)生更加直觀地理解題目.針對(duì)第一個(gè)問題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生假設(shè)BE=CE，反向思考需要哪些條件來證明該假設(shè)，從而發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵點(diǎn)在于證明E為BC的中點(diǎn)；而在解決第二個(gè)問題時(shí)，教師則可以同樣引導(dǎo)學(xué)生反向思考，若想求出△ABC的周長(zhǎng)需要哪些條件，以及若想證明四邊形OEDB是菱形需要哪些條件.

通過在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生解決典型的逆向思維習(xí)題，有助于學(xué)生充分感知在實(shí)際的數(shù)學(xué)問題解決中應(yīng)該如何應(yīng)用逆向思維，從而有效提高學(xué)生的思維能力以及養(yǎng)成學(xué)生良好的解題習(xí)慣，使學(xué)生能夠從不同角度理解和解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成效.

（四）分類引導(dǎo)訓(xùn)練，提升問題解決效率

在逆向思維訓(xùn)練時(shí)，教師可以通過分類引導(dǎo)訓(xùn)練，通過為學(xué)生分類、歸納與整合某一類型的習(xí)題，提升學(xué)生的問題解決效率.同時(shí)，分類訓(xùn)練方法也有利于使學(xué)生在日后的學(xué)習(xí)過程中逐漸形成系統(tǒng)化的解決思路，從而進(jìn)一步提高學(xué)生的做題效率.

例如，在人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)“整式的乘法”中“同底數(shù)冪的乘法”與“冪的乘方”兩節(jié)課的教學(xué)中，這兩節(jié)課主要為學(xué)生介紹了冪的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，而在課堂練習(xí)過程中，教師可以通過分類訓(xùn)練，為學(xué)生講解如何應(yīng)用逆向思維解決冪的相關(guān)問題.

教師通過為學(xué)生講解冪的相關(guān)專項(xiàng)分類問題，系統(tǒng)地歸納和整合同一類型的習(xí)題，有助于學(xué)生在實(shí)際的解題過程中，更快地識(shí)別問題的類型，從而迅速找到解決問題的有效方法，提升學(xué)生的問題解決效率.除此之外，分類化的訓(xùn)練方法也能使學(xué)生在解題過程中逐漸形成系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的逆向思維方式，這將有助于學(xué)生在日后的學(xué)習(xí)過程中學(xué)會(huì)如何應(yīng)用逆向思維解決問題，并在逐步掌握問題解決的方法和技巧中獲得學(xué)習(xí)的成就感與自信心.

（五）開展實(shí)踐活動(dòng)，打破思維瓶頸

實(shí)踐活動(dòng)是培養(yǎng)初中生數(shù)學(xué)逆向思維能力的一種有效方法，能夠?yàn)閷W(xué)生在實(shí)際問題中應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)提供機(jī)會(huì)，有助于學(xué)生打破思維瓶頸.教師可以設(shè)計(jì)一些實(shí)踐性強(qiáng)，且需要通過逆向思考才能夠解決的問題，讓學(xué)生在解決問題的過程中，逐漸意識(shí)到逆向思維的應(yīng)用優(yōu)勢(shì)，從而有效擺脫思維定式的束縛.

例如，教師可以設(shè)計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)踐問題，要求學(xué)生通過逆向思維解決.假設(shè)有編號(hào)從A至E的五個(gè)人，禮堂中的某排座位表為A1至E1，如果最多有兩個(gè)人能夠?qū)μ?hào)入座，那么請(qǐng)問有幾種排列組合的方法？學(xué)生在解決這個(gè)問題時(shí)，可以通過列出不同的座位排列方式，并根據(jù)座位表的限制排除出不符合題目條件的部分，從而最終找到符合條件的所有排列組合方式.實(shí)際教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換思維：“根據(jù)條件，我們可以知道，只有兩個(gè)人能夠?qū)μ?hào)入座，那么其他三個(gè)人的位置會(huì)是怎樣的？”經(jīng)過思考以及通過列舉所有情況，可以得到，若A和B對(duì)號(hào)入座，C，D，E有6種排列方式；若A和C對(duì)號(hào)入座，B，D，E有6種排列方式；其他情況以此類推，最終得出共有60種排列方式.

通過實(shí)際操作，學(xué)生將體會(huì)到逆向思維在解題過程中的重要性.教師還可以提出問題如“為什么逆向思維能幫助我們更快找到答案？在實(shí)際生活中，我們還可以在哪些場(chǎng)合應(yīng)用逆向思維？”等，引導(dǎo)學(xué)生展開對(duì)學(xué)習(xí)過程的反思，從而更好地理解和掌握逆向思維的應(yīng)用.

結(jié) 語

綜上所述，逆向思維能力的培養(yǎng)對(duì)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率與解題能力具有重要意義.在具體實(shí)踐中，教師需要遵循以學(xué)生為主體原則與引思結(jié)合原則，通過加強(qiáng)分類引導(dǎo)訓(xùn)練、開展實(shí)踐探究活動(dòng)等教學(xué)方法，幫助學(xué)生掌握逆向思維的技巧，提升學(xué)生的逆向思維能力，為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)和發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

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