一道平面幾何加試題的探究與推廣
2024-12-31 00:00:00吳成強(qiáng)
中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2024年7期
題目 如圖1，PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，過(guò)點(diǎn)P的割線交⊙O于點(diǎn)C、D，PA的中點(diǎn)為M，CM交AB于點(diǎn)E.求證：DE∥PA.
該題是2013年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)復(fù)賽加試第1題，是一道精彩的平面幾何題.其構(gòu)思巧妙，可以很好的鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力，下面筆者對(duì)該加試試題進(jìn)行證法探究，并推廣到圓錐曲線中.
類似可證雙曲線與拋物線也有如下性質(zhì)：
定理2 已知PA、PB分別切雙曲線Γ：x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）于點(diǎn)A、B，過(guò)點(diǎn)P的割線交雙曲線于點(diǎn)C、D，PA的中點(diǎn)為M，CM交AB于點(diǎn)E.求證：DE∥PA.
定理3 已知PA、PB分別切拋物線Γ：y2=2px（pgt;0）于點(diǎn)A、B，過(guò)點(diǎn)P的割線交拋物線于點(diǎn)C、D，PA的中點(diǎn)為M，CM交AB于點(diǎn)E.求證：DE∥PA.
定理2、定理3留給有興趣的讀者證明.
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