《數(shù)學(xué)通報(bào)》2704號(hào)問題的另證與拓展

2023年第1期《數(shù)學(xué)通報(bào)》刊登了向中軍老師提供的問題2704號(hào)如下：

1.問題呈現(xiàn)

如圖1分別過ΔABC的頂點(diǎn)B，C作ΔABC的外接圓的切線，交點(diǎn)為D，連結(jié)AD交BC于E，過E作AB的平行線交AC于G，過E作AC的平行線交AB于F，求證：過F，G的直線是ΔFBE的外接圓和ΔGEC的外接圓的公切線.

向中軍老師在解答時(shí)引入輔助線，多次利用四點(diǎn)共圓等幾何知識(shí)解答此題，現(xiàn)給出另外一種平面幾何證法以及對此題進(jìn)行的拓展.

2.問題證明

證明： 如圖2，過點(diǎn)A作ΔABC的外接圓切線，與DC，DB的延長線分別交于P，Q兩點(diǎn)，設(shè)ΔABC，ΔBFE，ΔECG的圓心分別為O，O1，O2，設(shè)⊙O1和⊙O2交于另一點(diǎn)為M.由DB為⊙O的切線，則∠QBA=∠ACB，又EF∥AC，得∠FEB=∠ACB，從而∠QBA=∠FEB，即DB為⊙O1的切線，DB為⊙O和⊙O1的公切線.

同理可證DC為⊙O和⊙O2的公切線.

易知點(diǎn)D為⊙O，⊙O1，⊙O2的根心，又E為⊙O1和⊙O2的交點(diǎn)，則直線DE為⊙O1和⊙O2的根軸，又M為⊙O1和⊙O2的交點(diǎn)，則M在根軸DE上，即A、M、D、E共線.

于是AF·AB=AM·AE=AG·AC， 則F、G、B、C共圓，則∠ABC=∠AGF，又PQ為⊙O的切線，則∠PAC=∠ABC，于是∠PAC=∠AGF，從而PQ∥FG.

因?yàn)镺1F∥OA∥O2G，OA⊥PQ，所以FG⊥O1F，F(xiàn)G⊥O2F 從而過F，G的直線是ΔFBE的外接圓和ΔGEC的外接圓的公切線.

3.拓展

拓展1 如圖3，分別過ΔABC的頂點(diǎn)B，C作ΔABC的外接圓O的切線，交點(diǎn)為D，連結(jié)AD交BC于E，過B，E兩點(diǎn)作⊙O1 ，使其與⊙O相切于點(diǎn)B，且交邊AB于點(diǎn)F，過E ，C作⊙O2，使其與⊙O相切于點(diǎn)C，且交邊AC于點(diǎn)G.求證：

⑴四邊形AFEG為平行四邊形；

⑵過F，G的直線是ΔFBE的外接圓和ΔGEC的外接圓的公切線.

證明：⑴過點(diǎn)A作ΔABC的外接圓切線，與DC，DB的延長線分別交于P，Q兩點(diǎn)，由題目知BD是⊙O和⊙O1的公切線， 則有∠QBA=∠FEB=∠ACB，所以EF∥AC，同理可以證明EG∥AB，所以四邊形AFEG為平行四邊形.

⑵證明方法同2704問題的證明.

拓展2 如圖4 ，分別過ΔABC的頂點(diǎn)B，C作ΔABC的外接圓O的切線，E為邊BC上任意一點(diǎn)，過B，E兩點(diǎn)作⊙O1 ，使其與⊙O相切于點(diǎn)B，且交邊AB于點(diǎn)F，過E ，C作⊙O2，使其與⊙O相切于點(diǎn)C，且交邊AC于點(diǎn)G.求證： ⑴四邊形AFEG為平行四邊形；

⑵與⊙O1相切于點(diǎn)F的直線和與⊙O2相切于點(diǎn)G的直線互相平行.

證明：⑴證明方法同拓展1的證明.

⑵因?yàn)镺1F∥OA∥O2G，且OA⊥PQ，所以，與⊙O1相切于點(diǎn)F的直線與直線PQ平行，與⊙O2相切于點(diǎn)G的直線也與直線PQ平行，故與⊙O1相切于點(diǎn)F的直線和與⊙O2相切于點(diǎn)G的直線互相平行.

拓展3 如圖5，⊙O1，⊙O2交于點(diǎn)M，E，且內(nèi)切于ΔABC的外接圓⊙O，切點(diǎn)分別為B，C兩點(diǎn)，且A、M、E三點(diǎn)共線，邊AB，AC與⊙O1，⊙O2分別交于點(diǎn)F，G兩點(diǎn).求證：

⑴四邊形AFEG為平行四邊形的充要條件是B、E、C三點(diǎn)共線；

⑵過F，G的直線是ΔFBE的外接圓和ΔGEC的外接圓的公切線.

證明：⑴若四邊形AFEG為平行四邊形，則EF∥AC，所以∠BAC=∠BFE，又DB為⊙O1的切線，所以∠QBA=∠FEB=∠ACB，所以∠ABC=∠ABE，所以B、E、C三點(diǎn)共線.若B、E、C三點(diǎn)共線，過F，G的直線是ΔFBE的外接圓和ΔGEC的外接圓的公切線的證明方法同拓展1（1）.

⑵證明方法同2704問題的證明.

拓展4 如圖6，⊙O1，⊙O2交于點(diǎn)M，E，且內(nèi)切于ΔABC的外接圓⊙O，切點(diǎn)分別為B，C兩點(diǎn)，且邊AB，AC與⊙O1，⊙O2分別交于點(diǎn)F，G兩點(diǎn).

⑴與⊙O1相切于點(diǎn)F的直線和與⊙O2相切于點(diǎn)G的直線互相平行；

⑵FG是⊙O1與⊙O2的公切線的充要條件是A在直線ME上.

證明：⑴證明方法同拓展2⑵.

⑵若FG是⊙O1與⊙O2的公切線，則由⑴知FG∥PQ，從而

∠FGA=∠PAG=∠ABC，所以F、B、C、G四點(diǎn)共圓.因此，AF·AB=AG·AC，故點(diǎn)A到⊙O1和⊙O2的冪相等，所以點(diǎn)A在根軸ME上.

若點(diǎn)A在根軸ME上，則FG是⊙O1與⊙O2的公切線的證明方法同2704問題的證明.

由拓展4知，數(shù)學(xué)通報(bào)2704號(hào)問題為其特殊情況（注：拓展4為2006年意大利國家隊(duì)的選拔考試題）

波利亞語：“沒有一道題目是可以解決得十分完美的，總剩下一些工作要做，經(jīng)過充分的探討總結(jié)，總有點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn)，總能改進(jìn)這個(gè)解答，而且在任何情況下，都能提高自己對這個(gè)解答的理解水平”.

參考文獻(xiàn)

［1］沈文選， 張垚， 冷崗松.奧林匹克數(shù)學(xué)中的幾何問題［M］.長沙：湖南師范大學(xué)出版社，2014：133-138.