有序思考，從過程視角觀照小學(xué)生數(shù)學(xué)思維

【編者按】數(shù)學(xué)學(xué)科本身亦被稱為思維的體操。會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要內(nèi)涵。可見，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維在數(shù)學(xué)教學(xué)中占有舉足輕重的地位。在實(shí)際教學(xué)中，數(shù)學(xué)思維往往是內(nèi)隱的、不可見的，一般情況下教師難以準(zhǔn)確把握學(xué)生的數(shù)學(xué)思維過程，疏于對(duì)其的考查，有效的教學(xué)活動(dòng)推進(jìn)便存在表面化的可能。為此，廣大一線教師嘗試著對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維過程進(jìn)行分析，總結(jié)出了若干值得借鑒的做法，本期專輯一起來探討。

【摘 要】對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程的關(guān)注重點(diǎn)。思維本身就是一個(gè)不斷生長的過程，但如何清晰地呈現(xiàn)這個(gè)過程并不容易。為此，我們放大思維的可見過程，從“教材結(jié)構(gòu)”與“學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)”兩個(gè)方面切入，條分縷析，嘗試打開學(xué)生思維“黑箱”，發(fā)現(xiàn)、建立、發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維過程，尋求實(shí)現(xiàn)小學(xué)生數(shù)學(xué)思維的全面提升。

【關(guān)鍵詞】過程視角 有序思考 數(shù)學(xué)思維過程

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生知識(shí)獲取的過程，也是思維發(fā)展的過程。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）明確了數(shù)學(xué)教育的素養(yǎng)導(dǎo)向。當(dāng)數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)語言作為核心素養(yǎng)具體呈現(xiàn)時(shí)，我們對(duì)數(shù)學(xué)思維的理解和把握就需要有一個(gè)過程視角。在此基礎(chǔ)上，筆者提出有序思考的概念，希望放大數(shù)學(xué)思維的可見過程，引導(dǎo)學(xué)生按照一定的邏輯和順序進(jìn)行分析、推理和表達(dá)，培養(yǎng)學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。當(dāng)然，要清晰把握數(shù)學(xué)思維過程并非易事，本文試從過程視角探析小學(xué)生數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)，并厘清一些相關(guān)問題。

一、數(shù)學(xué)思維與過程視角的理性思辨

關(guān)于“思維”，《辭?！方o了三個(gè)含義：①思考的過程，思維的基本形式之一；②理性認(rèn)識(shí)或理性認(rèn)識(shí)的過程，包含對(duì)事物本質(zhì)特征的深入理解和理解過程；③意識(shí)、精神，強(qiáng)調(diào)思維是一種超越物質(zhì)存在的心智活動(dòng)。從對(duì)思維的解釋中我們可以了解到，思維的成長需要經(jīng)歷知識(shí)形成過程、問題解決過程和素養(yǎng)提升過程，這其中體現(xiàn)了思維發(fā)展的有序性?；谶@樣的認(rèn)識(shí)，筆者將數(shù)學(xué)思維理解為：通過數(shù)學(xué)活動(dòng)進(jìn)行思考，按照一定的思維規(guī)律認(rèn)識(shí)、理解并解決數(shù)學(xué)問題，提升抽象思維能力的動(dòng)態(tài)全過程。

需要說明的是，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的思維活動(dòng)主要包括：數(shù)學(xué)家（編寫者）的思維活動(dòng)（體現(xiàn)在教材內(nèi)容中），教師的思維活動(dòng)，學(xué)生的思維活動(dòng)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，我們很難割裂地關(guān)注單個(gè)方面的思維活動(dòng)，而是需要將這三種思維活動(dòng)和諧統(tǒng)一、不斷演進(jìn)，從而真正調(diào)控學(xué)生的思維活動(dòng)，促使學(xué)生形成良好的思維意識(shí)及思維品質(zhì)。

再來看“過程視角”?！斑^程”是懷特海過程哲學(xué)的核心范疇，這種過程思想彰顯的是學(xué)習(xí)過程本身比結(jié)果更具有促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的價(jià)值。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程蘊(yùn)藏著數(shù)學(xué)思維動(dòng)態(tài)和持續(xù)發(fā)展的過程。進(jìn)一步地，我們可以從數(shù)學(xué)思維的過程來探明學(xué)生的學(xué)習(xí)過程。這就要求教師在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維時(shí)需要有過程視角。

基于此，過程視角下的學(xué)生數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)，是教師從過程視角出發(fā)，在教學(xué)活動(dòng)的實(shí)施過程中系統(tǒng)把握教材結(jié)構(gòu)、學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)，以此推動(dòng)小學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有序發(fā)展。

二、從過程視角觀照小學(xué)生數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的要點(diǎn)

學(xué)生的數(shù)學(xué)思維過程與知識(shí)本身的結(jié)構(gòu)有關(guān)，與學(xué)習(xí)的過程結(jié)構(gòu)有關(guān)，與自己的認(rèn)知過程有關(guān)。同時(shí)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展是需要經(jīng)過引導(dǎo)，遵循規(guī)律、依據(jù)順序、循序漸進(jìn)實(shí)現(xiàn)的。因此，我們需要在教材中梳理出專家的思維過程，在教學(xué)中梳理出學(xué)生的思維過程，才能真正培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

（一）基于教材結(jié)構(gòu)，顯現(xiàn)專家的思維過程

專家思維一般通過演繹推理，將較為復(fù)雜的思維過程簡化為精煉的結(jié)論，并以書面形式呈現(xiàn)在教材中。這種方式是基于數(shù)學(xué)學(xué)科的特性及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)際需求確立的。然而，僅僅機(jī)械地模仿教材中簡潔的內(nèi)容，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生無法真正經(jīng)歷完整的思維過程，他們的數(shù)學(xué)思維也會(huì)止步于一般的整理性思維層面。筆者認(rèn)為，要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)思維過程，首先，需要用知識(shí)鏈的方式聯(lián)結(jié)教材中的相關(guān)內(nèi)容，幫助學(xué)生樹立整體意識(shí)和結(jié)構(gòu)化思維。要做到這一點(diǎn)，就要求教師在教材解讀方面有統(tǒng)攝全局的意識(shí)和能力。其次，教師應(yīng)深入了解知識(shí)中隱藏著的數(shù)學(xué)思維過程。這意味著教師不僅要關(guān)注知識(shí)的最終結(jié)果，更要關(guān)注知識(shí)是如何形成與發(fā)展的。在這一過程中，教師應(yīng)盡量挖掘知識(shí)的數(shù)學(xué)原理和方法，努力讓學(xué)生通過實(shí)踐與體驗(yàn)來感悟這些內(nèi)容的深層意義。這樣可以幫助學(xué)生在更全面地理解知識(shí)的同時(shí)，提升數(shù)學(xué)思維水平。

例如，在面積單位相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容中，平方千米是學(xué)生在小學(xué)階段學(xué)習(xí)的最后一個(gè)面積單位。教師在備課時(shí)需關(guān)注通過回顧和整理，讓學(xué)生能夠掌握面積單位之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：在具體的引導(dǎo)和理解過程中，需要讓學(xué)生意識(shí)到公頃與平方米之間的轉(zhuǎn)換率具有獨(dú)特性。另外，還可以通過補(bǔ)充概念，以知識(shí)鏈的形式彌補(bǔ)學(xué)生認(rèn)知體系中的盲點(diǎn)，解決認(rèn)知過程中的疑惑點(diǎn)，進(jìn)一步完善從平方米到平方千米的認(rèn)知體系。（如圖1所示）

實(shí)際上，教師在開展單元整體教學(xué)視域下的學(xué)習(xí)活動(dòng)時(shí)，可以嘗試建立一條完整、直觀的知識(shí)鏈。這種方式有助于學(xué)生構(gòu)建結(jié)構(gòu)化的思維模式，從而在一定程度上推動(dòng)他們整體觀念的形成。因此，教師在設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)時(shí)，全面考慮并幫助學(xué)生構(gòu)建一個(gè)相對(duì)全面的聯(lián)系體系顯得尤為重要。

再來看這個(gè)例子，3的倍數(shù)特征從表面看，與2、5的倍數(shù)特征不一樣，2、5的倍數(shù)特征只需看個(gè)位，3的倍數(shù)特征看的是各個(gè)數(shù)位上數(shù)的和，但從除法本質(zhì)上看，這幾個(gè)數(shù)的倍數(shù)特征反映的都是各個(gè)數(shù)位上分得的余數(shù)情況。在解讀、設(shè)計(jì)這一課時(shí)，應(yīng)將重點(diǎn)放在讓學(xué)生在一系列的數(shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行觀察、猜想、操作、驗(yàn)證，豐富對(duì)“倍數(shù)特征”的感知上。具體可以細(xì)化為以下三個(gè)層次：（1）用1～2顆珠子擺數(shù)并判斷是否為2、3、5的倍數(shù)，作為復(fù)習(xí)鞏固知識(shí)的手段，進(jìn)一步豐富學(xué)生對(duì)除法內(nèi)涵的經(jīng)驗(yàn)。（2）用3顆珠子擺數(shù)判斷是否為2、3、5的倍數(shù)，作為學(xué)生自我建構(gòu)知識(shí)的過程，積累構(gòu)造3的倍數(shù)特征模型經(jīng)驗(yàn)。（3）用任意顆珠子擺數(shù)判斷是否為2、3、5的倍數(shù)，作為學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，進(jìn)一步溝通、豐富對(duì)2、3、5的倍數(shù)特征的經(jīng)驗(yàn)。

上述案例中，每個(gè)獨(dú)立的“環(huán)”是具體的某一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，“環(huán)環(huán)相扣”是幫助學(xué)生挖掘知識(shí)的本質(zhì)，要學(xué)會(huì)舉一反三，觸類旁通。解讀專家的思維過程實(shí)際上是讓學(xué)生回歸知識(shí)本位去開展學(xué)習(xí)，領(lǐng)悟知識(shí)背后的內(nèi)涵，追溯本源，為深度思考打下基礎(chǔ)。

（二）基于學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)，凸顯學(xué)生的思維過程

在《課程標(biāo)準(zhǔn)》中，我們認(rèn)識(shí)到對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)是一個(gè)比較全面的過程，而讓學(xué)生經(jīng)歷自身的數(shù)學(xué)思維過程是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最有意義的部分，因?yàn)閷＜一蚪處煹乃季S過程最終都代替不了學(xué)生自己的思維過程。只有在教學(xué)實(shí)踐中充分展示學(xué)生思維，有效突出學(xué)生的思維過程，從而彰顯有序思考的重要性，才能幫助他們?cè)趯W(xué)習(xí)中形成更為規(guī)范和系統(tǒng)的思維習(xí)慣。

1. 拉長探究過程，讓學(xué)生思維從“已知”到“可知”。

突出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的思考性，讓學(xué)生思維處于比較活躍的狀態(tài)，不僅能實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)內(nèi)容的整體認(rèn)識(shí)，還能高效地提升學(xué)生的思維水平。從這個(gè)角度來看，教師要有意識(shí)地放大學(xué)生解決問題的關(guān)鍵過程，為學(xué)生獲得更為豐富的思維體驗(yàn)提供有力的幫助。

例如，無論是長度、面積還是體積，都是在表達(dá)相應(yīng)度量單位的累加。一般像“計(jì)量單位認(rèn)識(shí)”的課例，教師往往容易窄化學(xué)生的探究過程，將重點(diǎn)放在識(shí)記單位之間的進(jìn)率轉(zhuǎn)化上，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)計(jì)量單位的認(rèn)知淺，抽象、邏輯等思維水平?jīng)]有得到有效提升。此時(shí)如果拉長探究過程，效果便完全不同。

在教學(xué)人教版三上“噸的認(rèn)識(shí)”時(shí)，教師可以放緩探究“1噸有多重”這一環(huán)節(jié)的腳步，讓學(xué)生進(jìn)行從多個(gè)維度解釋“1噸有多重”的學(xué)習(xí)活動(dòng)，具體感受“1噸”的大小。教師提供學(xué)習(xí)素材：1桶汽油重100千克；1個(gè)學(xué)生的體重25千克；1個(gè)蘋果重200克。要求學(xué)生在探究后用多種方式記錄思考過程。（如圖2所示）生1：“10桶汽油合在一起的質(zhì)量是1噸?！鄙?：“2個(gè)學(xué)生的體重是50千克，4個(gè)就是100千克，而10個(gè)100就是1000千克，是1噸?！鄙?：“5個(gè)蘋果是1千克，5個(gè)蘋果為一組，1000組就是1000千克，所以1000×5=5000，5000個(gè)蘋果就是1噸?！?/p>

1噸有多重，學(xué)生如果只知道1噸=1000千克，很明顯并沒有建立對(duì)“噸”這一計(jì)量單位的認(rèn)識(shí)。像上述教學(xué)設(shè)計(jì)，看似是一個(gè)簡單的畫、寫與算的過程，實(shí)際上是拉長學(xué)生對(duì)“1噸有多重”的探究過程。解釋大計(jì)量單位，學(xué)生嘗試借助小計(jì)量單位的累加來完成，多維度的經(jīng)歷其實(shí)就是在逐漸實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維從“已知”向“可知”的邁進(jìn)，逐步形成有序的思維方式。

2. 對(duì)數(shù)學(xué)概念的延伸，促進(jìn)學(xué)生從單一思維向多元思維進(jìn)發(fā)。

對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解與掌握不能僅依賴于對(duì)相關(guān)文字的認(rèn)知，更需要借助多元思維進(jìn)行深入把握。這種理解應(yīng)該體現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行多方探索與分析，以促成學(xué)生對(duì)概念的全面認(rèn)知，促進(jìn)思維的多元發(fā)展。概念延伸包括對(duì)現(xiàn)有知識(shí)的深入理解，還涉及將它們應(yīng)用于新的情境中，以解決更為復(fù)雜的問題。

以人教版四下“三角形的認(rèn)識(shí)與分類”教學(xué)為例，如何設(shè)計(jì)含有數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的學(xué)習(xí)任務(wù)讓學(xué)生充分體驗(yàn)從一般到特殊的認(rèn)識(shí)過程尤為重要。教師可以“從角的維度來認(rèn)識(shí)三角形”為核心目標(biāo)設(shè)計(jì)思維活動(dòng)。（如表1）

角的概念是學(xué)生在二年級(jí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)內(nèi)容，他們?cè)谡莆铡敖堑恼J(rèn)識(shí)”后，將概念逐步延伸到四年級(jí)“三角形的認(rèn)識(shí)”，這體現(xiàn)了概念的逐步深化。從理解“一個(gè)角”開始，學(xué)生可以進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到“兩個(gè)角相等”所對(duì)應(yīng)的等腰三角形，接著通過“兩個(gè)角相等”延伸到“三個(gè)角相等”來了解等邊三角形。通過層層深入的思考，學(xué)生在想象與驗(yàn)證的過程中，能夠?qū)?duì)圖形的理解從形象化提升到抽象化層次，再從抽象轉(zhuǎn)化為直觀的體驗(yàn)。因此，概念的延伸為學(xué)生思維的多元化發(fā)展提供了契機(jī)，促進(jìn)了他們從單一思維向多元思維的轉(zhuǎn)變。在參與思維活動(dòng)的過程中，學(xué)生體驗(yàn)到有序思考的重要性，解決問題能力得以提升，學(xué)生的思維方式亦更加豐富。

3. 豐富數(shù)學(xué)表達(dá)，體現(xiàn)學(xué)生思維過程從“無痕”到“有痕”。

數(shù)學(xué)表達(dá)是用數(shù)學(xué)語言（包括符號(hào)、文字、圖形等）來描述和解釋數(shù)學(xué)概念、關(guān)系和過程。要實(shí)現(xiàn)“讓數(shù)學(xué)思維看得見也抓得住”的目標(biāo)，就需要通過直觀的表達(dá)方式顯現(xiàn)學(xué)生的思維過程。一段時(shí)間以來，許多教師都在探尋數(shù)學(xué)思維的可視化途徑，引導(dǎo)學(xué)生將隱性的思想方法和思維過程進(jìn)行顯性化表達(dá)，其根本目的是幫助學(xué)生累積活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)思維生長，鍛煉與提升數(shù)學(xué)思維能力。

“計(jì)算經(jīng)過時(shí)間”是人教版三上第一單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容，其中與時(shí)間相關(guān)的數(shù)學(xué)表征有：（1）通過觀察鐘面和直觀演示，把直觀觀察和線路圖對(duì)應(yīng)起來；（2）出示時(shí)間軸，讓學(xué)生在上面標(biāo)出出發(fā)時(shí)刻和到達(dá)時(shí)刻，將抽象的時(shí)刻與直線上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)起來?？磥?，如何將“無痕的時(shí)間”用“有痕的方法”直觀呈現(xiàn)，是學(xué)生思維發(fā)展的關(guān)鍵，也是這節(jié)課的核心目標(biāo)。我們不妨在教學(xué)核心環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)“計(jì)算8：45到9：20共經(jīng)過多少時(shí)間”這一任務(wù)，用以觀察學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)。具體情況如表2所示。

從總體看，對(duì)于“計(jì)算經(jīng)過時(shí)間”這一課的教學(xué)目標(biāo)不應(yīng)僅局限于計(jì)算時(shí)間，還需要讓學(xué)生結(jié)合生活實(shí)際體驗(yàn)時(shí)間的長短。學(xué)生體驗(yàn)的過程可以通過直觀的感知，借助具體的操作活動(dòng)來實(shí)現(xiàn)，這是一種形象化的學(xué)習(xí)方式。書面表達(dá)則更側(cè)重于思維的抽象，要求學(xué)生將直觀感知的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)或表達(dá)式。鐘面數(shù)格、時(shí)間尺數(shù)段，都是將抽象的時(shí)間變得直觀，并且能讓學(xué)生充分感受時(shí)間疊加，為“經(jīng)過時(shí)間”表象的建立積累經(jīng)驗(yàn)，顯化數(shù)學(xué)思維過程。教師引導(dǎo)學(xué)生將自身的思維過程由“無痕”轉(zhuǎn)變?yōu)椤坝泻邸?，不僅能夠提升他們的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，還能夠?qū)﹀e(cuò)綜復(fù)雜的信息進(jìn)行有效數(shù)學(xué)化提煉，顯現(xiàn)出思維的系統(tǒng)性、邏輯性與條理性，有效促進(jìn)有序思考的形成。

當(dāng)然，不管是教材結(jié)構(gòu)，還是學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)，每一個(gè)教學(xué)維度的考量都應(yīng)以學(xué)生思維為重。如何實(shí)現(xiàn)“有意義的學(xué)習(xí)與保持”，除了在課堂上創(chuàng)設(shè)思維空間和智力背景外，過程評(píng)測(cè)也是一種選擇。筆者針對(duì)“周長”概念的教學(xué)就設(shè)計(jì)了一套過程測(cè)評(píng)題組，旨在通過前認(rèn)知的前置性測(cè)評(píng)、學(xué)習(xí)過程中的結(jié)構(gòu)性測(cè)評(píng)以及學(xué)習(xí)后的延展性測(cè)評(píng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生有關(guān)周長概念學(xué)習(xí)情況的全面掌握?？傮w來看，前置性測(cè)評(píng)展現(xiàn)學(xué)生思維的原有結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)了學(xué)生思維的基礎(chǔ)性。結(jié)構(gòu)性測(cè)評(píng)呈現(xiàn)學(xué)生思維的發(fā)展結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)了學(xué)生思維的發(fā)展性。延伸性測(cè)評(píng)關(guān)注學(xué)生思維的應(yīng)用結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)了學(xué)生思維的靈活性。以上幾方面均是學(xué)生思維發(fā)展過程的具體表現(xiàn)。

如果把學(xué)生的思維培養(yǎng)比作學(xué)習(xí)探究之旅，專家思維過程就是旅行的科學(xué)規(guī)劃過程，也指向旅行的目的地；學(xué)生的思維過程就是旅行的實(shí)踐過程；而測(cè)評(píng)過程就是旅行過程中對(duì)方向的精準(zhǔn)指認(rèn)。有了明確的目的地與科學(xué)規(guī)劃，有了旅行途中的充分實(shí)踐，有了方向的精準(zhǔn)指認(rèn)，學(xué)生一定能夠順利地到達(dá)目的地。

（作者單位：浙江省嘉興經(jīng)開實(shí)驗(yàn)教育集團(tuán)）

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參考文獻(xiàn)：

［1］李亞群. 助推學(xué)生“量感”培育的過程性測(cè)評(píng)設(shè)計(jì)——以“周長”概念測(cè)評(píng)題為例［J］. 新課程評(píng)論，2023（10）：90-97.