數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的實踐與思考

摘 要：數(shù)形結(jié)合思想能夠?qū)?fù)雜的數(shù)學(xué)問題與圖形結(jié)合起來，幫助學(xué)生搭建數(shù)學(xué)解題的框架，理清數(shù)學(xué)解題的思路.這就要求高中數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中滲透數(shù)形結(jié)合思想，做到以形助數(shù)，化難為易；以數(shù)解形，化繁為簡；數(shù)形互變，有效解題.旨在聚焦數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運(yùn)用，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，深化學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的把握.

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想；高中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)

中圖分類號：G632

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1008-0333（2024）33-0051-03

收稿日期：2024-08-25

作者簡介：姚九見（1993.1—），男，安徽省潁上縣人，本科，中學(xué)二級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

數(shù)學(xué)解題教學(xué)是在學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基本知識的基礎(chǔ)上，以一定數(shù)學(xué)問題作為載體，旨在深化學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的把握和數(shù)學(xué)能力的提升，指向?qū)W生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的數(shù)學(xué)教學(xué)活動.然而，當(dāng)前很多高中生在數(shù)學(xué)解題過程中并沒有完成解決數(shù)學(xué)問題的任務(wù)，集中表現(xiàn)為解題缺乏思路、思維轉(zhuǎn)化不足、解題正確率不高等問題^[1]面對高中數(shù)學(xué)解題過程中遇到的挑戰(zhàn)，數(shù)形結(jié)合思想為學(xué)生的數(shù)學(xué)解題活動指明了方向.這就要求高中數(shù)學(xué)教師深入探索數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運(yùn)用.

1 數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運(yùn)用價值 作為一種典型的數(shù)學(xué)思想，數(shù)形結(jié)合思想與數(shù)學(xué)解題教學(xué)的實際密切相關(guān)，能夠幫助學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題的過程中實現(xiàn)數(shù)學(xué)成長和發(fā)展，同時也能夠優(yōu)化數(shù)學(xué)解題教學(xué)，開辟數(shù)學(xué)解題教學(xué)的新思路^[2].

1.1 滲透教學(xué)思想，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出，通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能提升數(shù)形結(jié)合的能力，發(fā)展幾何直觀和空間想象能力.在高中數(shù)學(xué)教師指導(dǎo)下，學(xué)生深度把握數(shù)形結(jié)合思想，明確數(shù)形結(jié)合對數(shù)學(xué)問題解決的價值，掌握數(shù)形結(jié)合解決數(shù)學(xué)問題的方法，才能真正實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.更為重要的是，數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用也能夠促使學(xué)生在數(shù)學(xué)解題過程中打破傳統(tǒng)的思維模式，將抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化呈現(xiàn)出來，在文字、圖形和符號互動過程中發(fā)展學(xué)生思維.當(dāng)然，數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用還能夠促使學(xué)生在數(shù)學(xué)解題過程中深化對數(shù)學(xué)知識的把握，提升解題能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1.2 轉(zhuǎn)變教學(xué)思路，提升教學(xué)效果

作為極為重要的數(shù)學(xué)思想之一，數(shù)形結(jié)合思想與高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的深度融合，也能夠推動高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的發(fā)展.在傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中，高中數(shù)學(xué)教師過于注重解題的結(jié)果，忽視了解題的過程.同時，很多高中數(shù)學(xué)教師也只注重學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的鞏固和掌握，缺乏對于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的思考.在這種情況下，高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的本質(zhì)沒有得到充分挖掘.而將數(shù)形結(jié)合思想融入高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中，高中數(shù)學(xué)教師不僅能夠向?qū)W生傳遞數(shù)學(xué)解題的方法，同時也能夠優(yōu)化數(shù)學(xué)解題教學(xué)，轉(zhuǎn)變數(shù)學(xué)解題教學(xué)思路，提升數(shù)學(xué)解題教學(xué)的質(zhì)量和效果.

2 數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用策略 毫無疑問，數(shù)形結(jié)合思想已經(jīng)成為高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的一大“利器”.但是，數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運(yùn)用并未達(dá)到預(yù)期目標(biāo).這就要求高中數(shù)學(xué)教師要重視數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)價值，真正做到以下幾個方面.

2.1 以形助數(shù)，化難為易

數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題的運(yùn)用過程中，“數(shù)”和“形”是高中生需要重點(diǎn)關(guān)注的內(nèi)容.在高中數(shù)學(xué)解題過程中，學(xué)生往往通過閱讀抽象語言的方式來理解數(shù)學(xué)問題.然而，很多學(xué)生因為思維發(fā)展不充分，在思維理解和轉(zhuǎn)化的過程中存在問題，無法將數(shù)學(xué)抽象語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)具象圖象.在這種情況下，學(xué)生數(shù)學(xué)解題的積極性和主動性不高，畏難心理嚴(yán)重.這就要求高中數(shù)學(xué)教師要對學(xué)生進(jìn)行積極引導(dǎo)，促使學(xué)生在深入分析數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)上，根據(jù)數(shù)學(xué)問題繪制直觀圖形，通過“數(shù)”化“形”，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化^[3].

人教版高中數(shù)學(xué)必修一教材中，集合的基本運(yùn)算就涉及數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.以教材并集教學(xué)板塊的例2為例：設(shè)集合A={x|-1lt;x＜2}，集合B={x|1lt;xlt;3}，求A∪B.通過對上述題目進(jìn)行分析可以發(fā)現(xiàn)，上述題目考查的是如何求兩個集合的并集.在解題的過程中，面對兩個集合，學(xué)生需要先計算集合B，掌握集合B的范圍.在明確兩個集合范圍的基礎(chǔ)上，學(xué)生能夠利用數(shù)軸直觀呈現(xiàn)A∪B的求解過程，也能夠直觀呈現(xiàn)A∪B的求解結(jié)果，如圖1.

在上述求解集合并集的過程中，學(xué)生能夠在“計算未知集合—繪制數(shù)軸—表示集合”的解題思路指導(dǎo)下，通過數(shù)軸實現(xiàn)并集的計算.在數(shù)學(xué)圖形繪制過程中，學(xué)生能夠直觀解題.

2.2 以數(shù)解形，化繁為簡

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中，以數(shù)解形也是高中數(shù)學(xué)教師需要關(guān)注的重點(diǎn)問題.抽象數(shù)學(xué)語言與圖形的結(jié)合是高中數(shù)學(xué)問題設(shè)置的典型狀態(tài).在理解抽象數(shù)學(xué)語言的過程中，高中生能夠把握數(shù)學(xué)問題考查的內(nèi)容，進(jìn)而運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識有效解題.然而，很多學(xué)生在數(shù)學(xué)解題過程中雖然能夠了解抽象數(shù)學(xué)語言，卻發(fā)現(xiàn)圖形過于簡單，在觀察時難以找到規(guī)律.對此，高中數(shù)學(xué)教師要注重學(xué)生主體性的發(fā)揮，解放學(xué)生的感官，促使學(xué)生將抽象數(shù)學(xué)語言中的細(xì)節(jié)呈現(xiàn)在圖形上，進(jìn)而挖掘和推敲更多信息，將圖形關(guān)系轉(zhuǎn)換為數(shù)量關(guān)系，更好地解題^[4].

人教版高中數(shù)學(xué)必修二教材中，立體幾何是極為重要的教學(xué)內(nèi)容，也是學(xué)生需要重點(diǎn)學(xué)習(xí)的內(nèi)容.立體幾何不僅考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，更考查學(xué)生的空間想象能力.以球的表面積和體積教學(xué)板塊的練習(xí)題為例：一個長、寬、高分別是80 cm，60 cm，55 cm的水槽中裝有200 000 cm³的水.現(xiàn)放入一個直徑為50 cm的木球.如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否會從水槽中溢出？

在對上述數(shù)學(xué)題目進(jìn)行分析時可以發(fā)現(xiàn)，該題目主要考查的是球的體積和圓柱的體積的相關(guān)知識.高中生只要掌握相關(guān)計算公式，明確圖形細(xì)節(jié)，就能夠有效解題.但是，如何促使學(xué)生將抽象數(shù)學(xué)語言、圖形結(jié)合起來，就需要高中生將抽象數(shù)學(xué)語言中的信息標(biāo)注在圖形上，從而確定相應(yīng)的證明原理.對此，高中數(shù)學(xué)教師鼓勵學(xué)生閱讀問題，在理解題意的基礎(chǔ)上，自行繪制上述問題的示意圖，如圖2.

在對上述圖形進(jìn)行分析的過程中，高中生能夠直觀了解水槽和木球之間的關(guān)系，也能夠掌握圖形的相關(guān)數(shù)據(jù)，便于學(xué)生展開計算.在遵循“解讀數(shù)學(xué)語言—提取關(guān)鍵信息—繪制直觀圖形—標(biāo)記關(guān)鍵信息—聯(lián)想數(shù)學(xué)知識—有效解決問題”的思路過程中，學(xué)生通過計算可得：球的體積為65 450 cm³，在水中球的體積為43 633 cm³，球排開水的體積為264 000 cm³.其中，有水200 000 cm³，球推開水的體積為43 633 cm³，由于200 000 cm³+43 633 cm³=243 633 cm³lt;264 000 cm³，所以水槽中的水不會溢出來.

2.3 數(shù)形互變，有效解題

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決高中數(shù)學(xué)問題的過程中，數(shù)形互變也是數(shù)形結(jié)合思想的一種重要形式.在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中，作為數(shù)學(xué)解題的主體，高中生在具體解題過程中往往會通過繪制圖形的方式解讀抽象數(shù)學(xué)語言，也會在觀察圖形的過程中得出問題結(jié)論，最終回歸到抽象數(shù)學(xué)語言.在數(shù)形互變的過程中，高中生的解題難度得以降低，以往煩瑣的題目也因為數(shù)形相互轉(zhuǎn)換而變得條理清晰.在這個過程中，高中生數(shù)學(xué)解題的效率大幅提升.因此，在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中，高中數(shù)學(xué)教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)題目的具體內(nèi)容和情況，選擇數(shù)形互變的方式展開解題，深度貫徹數(shù)形結(jié)合思想，促使數(shù)學(xué)解題變得簡單，緩解高中生對數(shù)學(xué)解題的畏懼心理和抵觸心理^[5].

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中，函數(shù)問題是高中生需要重點(diǎn)掌握的問題，也是數(shù)形互變運(yùn)用頻率較高的問題.以人教版高中數(shù)學(xué)必修一教材中不同函數(shù)增長的差異教學(xué)板塊的練習(xí)題為例：y=log₂x，y=log₅x，y=lgx的圖象如圖3所示.

（1）試說明哪個函數(shù)對應(yīng)哪個圖象，并解釋為什么；

（2）以已有圖象為基礎(chǔ)，在同一直角坐標(biāo)系中畫出y=log_?x，y=log_?x，y=logx的圖象；

（3）從（2）的圖中你發(fā)現(xiàn)了什么？

上述題目主要設(shè)置3個問題，并且配備函數(shù)圖象.在對該題目進(jìn)行分析時可以發(fā)現(xiàn)，在對問題和函數(shù)圖象進(jìn)行解讀的過程中，問題能夠直觀地在折線圖上呈現(xiàn)出來.判斷函數(shù)對應(yīng)圖象時，學(xué)生能夠根據(jù)“當(dāng)?shù)讛?shù)全大于1時，在x=1右側(cè)，底數(shù)越大的函數(shù)圖象越靠近x軸”，能夠判斷出①對應(yīng)函數(shù)為y=lgx；②對應(yīng)函數(shù)為y=log₅x；③對應(yīng)函數(shù)為y=log₂x.同理，學(xué)生也能夠畫出y=log_?x，y=log_?x，y=logx的圖象.

3 結(jié)束語

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中，數(shù)形結(jié)合思想已經(jīng)成為數(shù)學(xué)解題教學(xué)的一股潮流.數(shù)形結(jié)合思想不僅滿足了高中生數(shù)學(xué)解題的需求，同時也能夠?qū)崿F(xiàn)高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.在提升數(shù)學(xué)解題教學(xué)效果，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的趨勢下，高中數(shù)學(xué)教師要向高中生傳遞數(shù)形結(jié)合思想，促使高中生在數(shù)形結(jié)合的過程中有效解題，鞏固知識.

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[責(zé)任編輯：李 璟]