考慮換線時(shí)間窗的地鐵網(wǎng)絡(luò)配送路徑優(yōu)化問題

摘" 要：目前，地面車輛配送難以滿足日益增長的貨運(yùn)需求，地下物流將成為未來解決貨運(yùn)問題的有效方式。地鐵作為現(xiàn)有的地下資源，可依托其開展地下貨運(yùn)配送。以貨物在地鐵網(wǎng)絡(luò)中送達(dá)時(shí)間最短為目標(biāo)，考慮地鐵列車發(fā)出時(shí)間表、換線點(diǎn)選取、換線點(diǎn)時(shí)間窗等現(xiàn)實(shí)約束，構(gòu)建考慮換線時(shí)間窗的地鐵網(wǎng)絡(luò)配送路徑優(yōu)化模型。將地鐵站點(diǎn)間的運(yùn)行時(shí)間和換線時(shí)間作為權(quán)重，引入換線時(shí)間窗限制，并設(shè)計(jì)改進(jìn)Dijkstra算法求解該模型。文章基于武漢市地鐵網(wǎng)絡(luò)的算例驗(yàn)證了所提模型的可行性，該模型更貼合地鐵網(wǎng)絡(luò)的現(xiàn)實(shí)情況，且能有效地提高配送效率。

" 關(guān)鍵詞：路徑優(yōu)化；改進(jìn)Dijkstra算法；硬時(shí)間窗；地鐵換線

" 中圖分類號(hào)：F252.14" " 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A" " DOI：10.13714/j.cnki.1002-3100.2024.21.006

Abstract： At present， ground vehicle distribution is difficult to meet the growing demand for freight transportation， and underground logistics will become an effective way to solve freight transportation problems in the future. As an existing underground resource， the subway can be relied on to carry out underground freight distribution. Taking the shortest delivery time of goods in the subway network as the goal， and considering the subway train issuing schedule， line-change point selection， line-change point time window and other realistic constraints， we construct the subway network distribution path optimization model considering the line-change time window. The running time between subway stations and line change time are taken as weights， line change time window restriction is introduced， and an improved Dijkstra's algorithm is designed to solve the model. This paper verifies the feasibility of the proposed model based on the example of Wuhan metro network， which is more suitable for the reality of metro network and can effectively improve the distribution efficiency.

Key words： route optimization; improvement of Dijkstra algorithm; hard time window; change line

0" 引" 言

隨著生活節(jié)奏的不斷加快，現(xiàn)有的地面配送方式難以滿足目前城市中心高密度的貨運(yùn)需求。因此，需要探索新的城市配送模式來減輕交通擁堵，提高配送效率。1990年，國外就開始關(guān)注城市地下物流系統(tǒng)（Underground Logistics System， ULS），其又稱之為地下貨運(yùn)系統(tǒng)[1]。無論是管道式與隧道式ULS，新建ULS的建造成本、運(yùn)營成本以及施工風(fēng)險(xiǎn)均較高[2]。而地鐵作為現(xiàn)有的地下資源，可以直接被用于運(yùn)輸和配送貨物。荷蘭最先對(duì)地鐵貨運(yùn)進(jìn)行了實(shí)踐性的嘗試[3]。目前，日本東京都會(huì)在早高峰前使用輕軌運(yùn)送貨物，日本企業(yè)YAMATO也已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了利用地鐵運(yùn)送貨物[4]。Dampier A et al.[5]從地鐵系統(tǒng)的優(yōu)勢(shì)、技術(shù)等不同方面分析了利用地鐵進(jìn)行配送服務(wù)的必要性和可行性。劉崇獻(xiàn)[6]分析了利用地鐵作為城市物流系統(tǒng)的可行性以及技術(shù)要求。He K et al.[7]提出了基于軌道交通的城市物流配送系統(tǒng)概念模型，并設(shè)計(jì)了成本計(jì)算模型和線路選擇策略。Masson R et al.[8-9]提出在客運(yùn)低峰實(shí)施客貨混運(yùn)，并在夜晚開通貨運(yùn)專列。

" 針對(duì)基于地鐵進(jìn)行物流配送的研究，彭玫貞等[10]分析了地下物流系統(tǒng)與地鐵在技術(shù)操作、網(wǎng)絡(luò)布局、實(shí)施與運(yùn)營上的異同，提出二者協(xié)同運(yùn)輸具有較大可行性。周曉曄等[11]提出了地鐵與貨車聯(lián)合運(yùn)輸，通過地鐵配送路徑設(shè)計(jì)改進(jìn)自適應(yīng)遺傳算法求解。崔瑤等[12]提出了基于地鐵-貨車聯(lián)動(dòng)的動(dòng)態(tài)選點(diǎn)-路徑問題，并針對(duì)模型特征設(shè)計(jì)了兩階段啟發(fā)式算法和雙層啟發(fā)式集成算法，有效提高了配送的精準(zhǔn)性。周芳汀等[13]以配送時(shí)間最小化為目標(biāo)建立了地鐵貨運(yùn)配送選址-路徑規(guī)劃模型，設(shè)計(jì)了改進(jìn)遞歸粒度算法進(jìn)行求解。Ghilas V et al.[14]考慮時(shí)間窗下預(yù)定路線的取貨和交付問題，并提出了自適應(yīng)大鄰域搜索啟發(fā)式算法來解決PDPTW-SL問題。楊婷等[15]提出了帶軟時(shí)間窗的地鐵網(wǎng)絡(luò)路徑優(yōu)化問題，并利用地鐵客貨共線的特點(diǎn)實(shí)現(xiàn)地鐵與貨車的聯(lián)合運(yùn)輸。周芳汀等[16]研究了帶時(shí)間窗的地鐵網(wǎng)絡(luò)配送路徑優(yōu)化問題，整體優(yōu)化地鐵與地上交通銜接的轉(zhuǎn)運(yùn)點(diǎn)選擇，以及后續(xù)的路面配送路徑。

" 地鐵網(wǎng)絡(luò)配送路徑優(yōu)化問題是一個(gè)經(jīng)典的組合優(yōu)化問題[17]，雖然已有研究考慮了客戶收貨時(shí)間窗和單條地鐵線路的配送路徑優(yōu)化問題，但均未考慮到地鐵網(wǎng)絡(luò)中多條線路之間產(chǎn)生的換線因素對(duì)時(shí)間總成本的影響。因此，本文以地鐵網(wǎng)絡(luò)為對(duì)象，考慮現(xiàn)實(shí)約束對(duì)地鐵配送路徑的影響，利用列車發(fā)車時(shí)刻表界定換線時(shí)間窗限制，綜合優(yōu)化地鐵列車班次的客戶分配、換線點(diǎn)的選取及地鐵配送路徑選擇。構(gòu)建考慮換線硬時(shí)間窗的地鐵網(wǎng)絡(luò)路徑優(yōu)化模型，并設(shè)計(jì)改進(jìn)Dijkstra算法進(jìn)行求解。

1" 地鐵網(wǎng)絡(luò)配送路徑優(yōu)化問題

1.1" 問題描述

在由若干地鐵線路組成的地鐵物流網(wǎng)絡(luò)中，有V個(gè)地鐵初始點(diǎn)、V個(gè)換線點(diǎn)和V個(gè)終點(diǎn)。地鐵線路、列車時(shí)間表、時(shí)間窗均已知。貨物從地鐵初始站點(diǎn)進(jìn)入地鐵網(wǎng)絡(luò)，需要途經(jīng)多個(gè)地鐵站點(diǎn)運(yùn)送至終點(diǎn)。如何對(duì)地鐵線路進(jìn)行規(guī)劃，以最小化貨物配送時(shí)間成本是本文研究重點(diǎn)。

" 由于地鐵線路網(wǎng)絡(luò)中存在多個(gè)換線點(diǎn)，貨物在途經(jīng)換線站點(diǎn)時(shí)，需要對(duì)地鐵線路進(jìn)行重新決策規(guī)劃，一旦選擇換線，則會(huì)產(chǎn)生貨物搬運(yùn)時(shí)間和換線等待時(shí)間。為減少貨運(yùn)需求的延遲時(shí)間，設(shè)置換線硬時(shí)間窗約束，即貨物需要在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成換線搬運(yùn)活動(dòng)。

1.2" 問題假設(shè)

" 不失一般性，該問題的假設(shè)為：

（1）地鐵換線站是貨物不出地鐵站就可直接轉(zhuǎn)換到另一條線路的站點(diǎn)，一般為地鐵換乘站；

（2）地鐵列車按照運(yùn)行時(shí)間表發(fā)車，每列地鐵列車能夠裝下所需貨物；

" （3）貨物沒有固定分配給哪一個(gè)換線站點(diǎn)；

（4）貨物到達(dá)換線站必須滿足換線站的硬時(shí)間窗限制；

" （5）貨物不可以迂回、返回行走，且地鐵列車?？繒r(shí)間能夠滿足正在等待上車的貨物全部被搬運(yùn)上列車。

1.3" 參數(shù)設(shè)置

基于上述問題描述與假設(shè)，模型參數(shù)符號(hào)及含義如表1所示。

1.4" 模型構(gòu)建

minZ=txy+FtaZ" " " " " " " " " " " " " " " " " " " （1）

xq≤Q" " i∈V， k∈V， j∈V" " " " " " " " " " " " " " " " "（2）

p+t-1-

xM≤t" " i∈V， k∈V， j∈V" " " " " " " " " " " " " " " " （3）

t+t-1-

yM≤E" " k∈V， j∈V" " " " " " " " " " " " " " " " " "（4）

t=t+h" " k∈V" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "（5）

L=E+t" " k∈V" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "（6）

e≤E≤l" " k∈V" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " （7）

x≤a" " i∈V， k∈V" " " " " " " " " " " " " " " " " " " "（8）

a≤N" " k∈V" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "（9）

x=1" " i∈V， k∈V" " " " " " " " " " " " " " " " " " " （10）

x∈0，1" " i∈V， k∈V" " " " " " " " " " " " " " " " " " " （11）

y∈0，1" " k∈V， j∈V" " " " " " " " " " " " " " " " " " " （12）

a∈0，1" " k∈V" " " " " " " " " " " nbsp; " " " " " " " " " （13）

F∈0，1" " k∈V" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " （14）

其中：式（1）為最小化地鐵配送總成本，第一部分為運(yùn)輸時(shí)間成本，第二部分為地鐵換線時(shí)間成本。式（2）為地鐵列車容量限制。式（3）為線路O上r列車運(yùn)載貨物到達(dá)換線站k的時(shí)間約束，式（4）為貨物到達(dá)中轉(zhuǎn)站k且在此點(diǎn)中轉(zhuǎn)的時(shí)間約束，貨物在k點(diǎn)完成中轉(zhuǎn)的時(shí)間應(yīng)小于線路L上列車r'的到達(dá)時(shí)間。式（5）為在中轉(zhuǎn)站k處，列車r'的到達(dá)時(shí)間和出發(fā)時(shí)間約束，在此時(shí)間點(diǎn)內(nèi)，貨物能完成全部裝車活動(dòng)。式（6）為在換線點(diǎn)k處點(diǎn)換線活動(dòng)開始時(shí)刻和中止時(shí)刻關(guān)系。式（7）為換線點(diǎn)k的時(shí)間窗限制。式（8）每個(gè)中轉(zhuǎn)站僅被裝載該貨物的地鐵訪問一次。式（9）為換線站數(shù)量限制。式（10）從初始站到終點(diǎn)站之間只能選擇一條運(yùn)輸路徑。式（11）至式（14）為決策變量的取值。

2" 改進(jìn)Dijksra算法

地鐵網(wǎng)絡(luò)路徑優(yōu)化問題是NP-hard問題[17]，而考慮換線時(shí)間窗的地鐵網(wǎng)絡(luò)路徑優(yōu)化問題則更為復(fù)雜，同樣具有NP-hard特性。Dijksra算法優(yōu)點(diǎn)在于它能夠找到最短路徑，并且對(duì)于權(quán)重非負(fù)的圖，能夠保證結(jié)果的正確性，被廣泛用于求解最短路問

題[18-20]。傳統(tǒng)的Dijkstra算法以節(jié)點(diǎn)間的長度作為權(quán)值進(jìn)行最短路搜索。在多條地鐵線路組成的地鐵網(wǎng)絡(luò)中，當(dāng)初始點(diǎn)和終點(diǎn)在同一線路時(shí)，該方式可以快速獲得最優(yōu)解。然而，當(dāng)初始點(diǎn)和終點(diǎn)在不同線路時(shí)，貨物需要在換線點(diǎn)進(jìn)行換線。不同地鐵線路的運(yùn)行速度可能不同，這可能導(dǎo)致地鐵站點(diǎn)間線段長，但運(yùn)輸時(shí)間更短的情況。此外，當(dāng)貨物需要換線時(shí)，所花費(fèi)的運(yùn)輸時(shí)間也會(huì)增加。同時(shí)，列車班次也會(huì)影響換線時(shí)間和貨物在站臺(tái)的等待時(shí)間。因此，需要考慮貨物所在的線路要素和換線點(diǎn)決策。為了解決考慮換線時(shí)間窗地鐵網(wǎng)絡(luò)路徑優(yōu)化問題，本文設(shè)計(jì)了改進(jìn)的Dijkstra算法進(jìn)行優(yōu)化求解。

2.1" 算法思路

在地鐵網(wǎng)絡(luò)中，存在多個(gè)可供選擇的換線點(diǎn)。因此，在換線點(diǎn)處設(shè)置換線時(shí)間窗約束，當(dāng)貨物選擇在某個(gè)換線點(diǎn)進(jìn)行換線時(shí)，要求裝載貨物的列車必須在換線時(shí)間窗內(nèi)到達(dá)該換線點(diǎn)，并開始進(jìn)行換線活動(dòng)，以使配送時(shí)間最短，地鐵網(wǎng)絡(luò)如圖1所示。

如圖2所示，假設(shè)有一批貨物需要在站1處換線運(yùn)送至站3，并要求在時(shí)間窗規(guī)定時(shí)間內(nèi)，即時(shí)刻0到時(shí)刻5完成換線作業(yè)。已知地鐵列車發(fā)車時(shí)間表，如果希望貨物在時(shí)刻5登上班次1，那么根據(jù)倒推可知，在時(shí)刻0該批貨物必須到達(dá)站1。

如果在時(shí)刻0之后到達(dá)，那么該批貨物只能由班次2和班次3運(yùn)送，這將導(dǎo)致貨物的等待時(shí)間增加。硬時(shí)間窗反映了貨運(yùn)的及時(shí)性，即貨物在換線站的等待時(shí)間不超出某個(gè)范圍。如圖2陰影部分所示，假設(shè)貨物在站1換線，如果無法在陰影區(qū)間內(nèi)到達(dá)站臺(tái)并完成換線活動(dòng)，那么貨物將無法登上班次1，即要求貨物不能晚于班次1離開站1的時(shí)間。

" 本文通過標(biāo)記地鐵站點(diǎn)之間的連接邊來計(jì)算地鐵的運(yùn)行時(shí)間。每個(gè)站點(diǎn)間的連接邊信息包含其所在線路，用于確定換線點(diǎn)和計(jì)算貨物換線所需的時(shí)間。通過記錄標(biāo)記后的路線集合和對(duì)應(yīng)的時(shí)間花費(fèi)集合，可以得到當(dāng)前線路的總時(shí)間。當(dāng)起始站為換線站時(shí)不計(jì)算換線時(shí)間也不考慮換線時(shí)間窗限制。

" 在搜索過程中，首先確定起始站和終點(diǎn)站所在線路，并標(biāo)記所有可換線的換線點(diǎn)。然后，對(duì)于每個(gè)站點(diǎn)，按照最短時(shí)間到達(dá)的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行標(biāo)記，形成初步的最短路徑。同時(shí)，記錄每個(gè)站點(diǎn)的列車到達(dá)時(shí)間和承載貨物的列車到達(dá)每個(gè)站點(diǎn)的時(shí)間。

" 最后，根據(jù)同一線路站點(diǎn)間運(yùn)行時(shí)間由長到短以及不同線路相差一個(gè)換線站時(shí)間常量之差進(jìn)行回溯。在回溯的過程中，需要考慮列車班次帶來的時(shí)間差是否滿足時(shí)間窗限制，以確定在哪個(gè)換線點(diǎn)進(jìn)行換線，比較每個(gè)換線點(diǎn)的到達(dá)時(shí)間與時(shí)間窗要求，選擇滿足時(shí)間窗限制且等待時(shí)間最短的換線點(diǎn)作為最優(yōu)選擇。這樣可以確保貨物能夠在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成換線，并使得整體運(yùn)輸時(shí)間最短。

" 本文基于Dijkstra算法的改進(jìn)思路，引入不同線路的換線時(shí)間權(quán)重和換線點(diǎn)選擇作為新的決策機(jī)制，并引入時(shí)間窗約束，而不僅僅考慮路徑長度。這使得算法適用于考慮換線時(shí)間窗的地鐵物流網(wǎng)絡(luò)路徑優(yōu)化問題。傳統(tǒng)的Dijkstra算法在存儲(chǔ)數(shù)據(jù)時(shí)大多使用鄰接矩陣，而這種方式不僅空間浪費(fèi)多，算法時(shí)間復(fù)雜度也較高。本文使用鄰接表法存儲(chǔ)數(shù)據(jù)，并利用優(yōu)先隊(duì)列法排序，在優(yōu)化儲(chǔ)存結(jié)構(gòu)的同時(shí)提高了算法的運(yùn)行速度。

2.2" 算法步驟

" 步驟1：設(shè)置兩個(gè)不同的節(jié)點(diǎn)集合S和T，集合S表示已經(jīng)被標(biāo)記過的節(jié)點(diǎn)集合，即已經(jīng)找到的最短路徑的節(jié)點(diǎn)，集合T表示未被標(biāo)記過的節(jié)點(diǎn)集合，即未找到最短路徑的節(jié)點(diǎn)。

" 步驟2：初始化，集合S中只包含起始點(diǎn)i。

" 步驟3：分別在集合T和集合S中尋找與起始點(diǎn)i直接連接的點(diǎn)，并比價(jià)二者與起始點(diǎn)i的權(quán)重選擇，權(quán)重最小的點(diǎn)做標(biāo)記，將其加入到集合S中。

" 步驟4：將上一步驟中連接值最小的點(diǎn)作為新的起始點(diǎn)，并在T中尋找與之直接相連的點(diǎn)，計(jì)算兩點(diǎn)間的權(quán)重g，尋權(quán)重更小的點(diǎn)，若gi，jgt;gk，j+ gi，k，則意味著起始點(diǎn)i經(jīng)過節(jié)點(diǎn)k到節(jié)點(diǎn)j的代價(jià)比起始點(diǎn)i直接到j(luò)的代價(jià)要小，因此將gi，j更新為gk，j+gi，k，并將新的節(jié)點(diǎn)k加入到集合S中。

" 步驟5：當(dāng)訪問到的點(diǎn)為換線點(diǎn)時(shí)，判斷與之相連的前一個(gè)點(diǎn)和后一個(gè)點(diǎn)所在線路，該線路列車到達(dá)換線點(diǎn)時(shí)間能否滿足時(shí)間窗約束。若能則計(jì)算換線時(shí)間和等待時(shí)間，若不能，等待下一趟列車或更換換線點(diǎn)，比較不同換線點(diǎn)之間路徑的總時(shí)間。選擇時(shí)間權(quán)重最小的換線點(diǎn)加入集合S中。

" 步驟6：重復(fù)步驟3至步驟5，最終可找到源點(diǎn)i到所有點(diǎn)的權(quán)重值最小的路徑。

" 步驟7：依次輸出起始點(diǎn)、中間點(diǎn)、終點(diǎn)連成路徑。

2.3" 算例說明

" 假定有A、B兩條地鐵線路，a、b兩個(gè)換線點(diǎn)。貨物從初始站出發(fā)運(yùn)輸至終點(diǎn)，現(xiàn)有兩條可選路徑如圖3所示。選擇路線A、B，當(dāng)列車均在0時(shí)刻出發(fā)時(shí)，在a處換線，貨物需要等待4分鐘、b處換線需要等待5分鐘，且均在31時(shí)刻到達(dá)。但任意調(diào)節(jié)某一趟列車發(fā)車時(shí)間使B在2時(shí)刻出發(fā)，A仍然在0時(shí)刻出發(fā)，貨物運(yùn)輸總時(shí)間發(fā)生變化如表2所示：當(dāng)在a處換線時(shí)需要等待6分鐘在33時(shí)刻到達(dá)，而在b處換線則只需要等待1分鐘在26時(shí)刻到達(dá)。

2.4" 算例說明

以武漢市為例，選取了5個(gè)遠(yuǎn)離市中心但緊鄰地鐵的配送中心，客戶地理位置隨機(jī)選取，換線時(shí)間窗在06：00，24：00范圍服從隨機(jī)分布，地鐵站點(diǎn)均以阿拉伯?dāng)?shù)字進(jìn)行編號(hào)。貨物在換線站的搬運(yùn)時(shí)間為3min，地鐵列車在站臺(tái)?？繒r(shí)間足夠長，以確保貨物全部搬運(yùn)上車。被選取的地鐵線路的發(fā)車間隔和速度如表3所示。

2.5" 結(jié)果分析

本文采用遺傳算法和改進(jìn)Dijsktra算法分別進(jìn)行求解，兩種算法的優(yōu)化結(jié)果如表4所示。經(jīng)過分析比較，改進(jìn)Dijsktra算法的速度更快，收斂速度也更快、最優(yōu)解的質(zhì)量也更高。本文在Dijsktra算法中引入新的權(quán)重來作為決策原則，在搜索過程中多循環(huán)一次搜索到的節(jié)點(diǎn)。使得復(fù)雜程度從OV上升到OV。

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，分別計(jì)算了20個(gè)客戶點(diǎn)的地鐵和貨車兩種配送的最優(yōu)方案如表5至表7所示，表格中括號(hào)內(nèi)數(shù)值為貨物到達(dá)該站點(diǎn)的時(shí)間。根據(jù)不同線路之間的發(fā)車間隔和運(yùn)輸時(shí)間，確定貨物的發(fā)出時(shí)間和列車裝載班次。在時(shí)間窗約束下，通過改變列車班次來減少貨物在站臺(tái)的等待時(shí)間，并選擇其他換線點(diǎn)來優(yōu)化配送方案。由于該方法非常依賴時(shí)間這一緯度，所以當(dāng)改變發(fā)車時(shí)間時(shí)，選擇裝載貨物的地鐵列車也不同，因此在不同時(shí)間點(diǎn)最優(yōu)解可能會(huì)發(fā)生變化。因此表6的配送方案是在運(yùn)行30次后，取被選中最多次的路徑值。通過多次實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)在列車發(fā)車間隔越大的情況下，考慮換線時(shí)間窗的優(yōu)化結(jié)果更明顯。

3" 結(jié)" 論

本文構(gòu)建了考慮換線時(shí)間窗的地鐵物流網(wǎng)絡(luò)路徑優(yōu)化模型，建立了以貨物運(yùn)輸總時(shí)間成本最短為目標(biāo)的數(shù)學(xué)模型，并設(shè)計(jì)了改進(jìn)的Dijkstra算法求解該問題?；谖錆h市地鐵網(wǎng)絡(luò)的算例結(jié)果表明，考慮換線時(shí)間窗的地鐵物流網(wǎng)絡(luò)路徑優(yōu)化能夠提供更加準(zhǔn)時(shí)高效的配送服務(wù)，合理優(yōu)化地鐵網(wǎng)絡(luò)配送路徑。未來可考慮地鐵列車的容量以及各站點(diǎn)的儲(chǔ)存能力，以及多線路地鐵網(wǎng)絡(luò)配送路徑優(yōu)化問題。

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收稿日期：2023-10-26

基金項(xiàng)目：教育部人文社會(huì)科學(xué)研究規(guī)劃基金項(xiàng)目（21YJAZH050）；湖北省教育廳哲學(xué)社會(huì)科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目（22D022）；武漢市知識(shí)創(chuàng)新專項(xiàng)曙光計(jì)劃項(xiàng)目（2022010801020317）；湖北省高等學(xué)校優(yōu)秀中青年科技創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)計(jì)劃項(xiàng)目（T2022003）；武漢科技大學(xué)資助項(xiàng)目“智慧物流數(shù)字運(yùn)營平臺(tái)開發(fā)研究”（2022H20537）

作者簡介：彭秀秀（1998—），女，湖北黃石人，武漢科技大學(xué)管理學(xué)院碩士研究生，研究方向：物流系統(tǒng)優(yōu)化；劉" 翱（1987—），本文通信作者，男，江西吉安人，武漢科技大學(xué)管理學(xué)院，副教授，研究方向：管理優(yōu)化與決策；李儒博（1994—），男，湖北黃石人，武漢科技大學(xué)管理學(xué)院博士研究生，研究方向：物流系統(tǒng)優(yōu)化；任" 亮（1985—），男，湖北黃岡人，武漢科技大學(xué)管理學(xué)院，講師，研究方向：管理優(yōu)化與決策。

引文格式：彭秀秀，劉翱，李儒博，等. 考慮換線時(shí)間窗的地鐵網(wǎng)絡(luò)配送路徑優(yōu)化問題[J]. 物流科技，2024，47（21）：24-28，38.